Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 52
Текст из файла (страница 52)
табл. 37.!): Следует обратить внимание на отличие формулы (37.14) от (31.27), что связано с другой нумерацией векторов Х„Х,. Если в начальном сечении оболочка связана со шпангоутом, то начальное значение матрицы динамической жесткости оболочки А принимается равным матрице динамической жесткости шпангоута. Для наиболее простого случая, когда центр тяжести сечения шпангоута лежит в срединной поверхности оболочки, а одна из главных осей сечения параллельна оси симметрии, матрица жесткости шпангоута имеет внд где Г,Г /1 -, '/г'(/~' — 1) /зИ' — гэ'Й'/и' й р2 / ! /,(ь2 1) ~2Я2 й — вэ/т'/а',) /р(й2Ву ! От/ )///4 м2рл .. /,(Я/ гС// )/Я~') О О Здесь Š— площадь поперечного сечения шпангоута У„У, — моменты инерции сечения относительно осей /, 3; /з =,/,/Р, аз = Е'р, 6,/„— жесткость сечения шпангоута прн кручении, р — плотность материала.
Инерция, связанная с поворотами сечения шпангоута, не учитывается. В случае оболочки, подкрепленной шпангоутами, переход через шпангоут выполняется чрезвычайно просто. Для этого следует только к матрице жесткости отсеченной части оболочки прибавить матрицу жесткости шпангоута, после чего продолжать интегрирование. После того как интегрирование уравнения (37.14) доведено до края оболочки з = 1, выясняется, удовлетворяются ли одновременно уравнения прогонки х,(/) = ь(/)х,(/) (четыре скалярных уравнения) и уравнения, выражающие граничные условия при з = 1. Равенство нулю определителя соответствующей системы свидетельствует о том, что частота н, при которой проводился расчет, является собственной частотой оболочки.
В противном случае расчет повторяется при измененном значении гз. При расчете оболочек, замкнутых в полюсе, при з — э.О жесткости стремятся к бесконечности. В этом случае следует выделить малый участок радиуса г, вблизи полюса и считать, что его жесткость не отличается от жесткости круглой пластины того же радиуса. Соответствую:цую матрицу жесткости нетрудно вычислить методами, рас-, смотренными в э 35. Она имеет вид (при й ~ 2) г" ' /а /'2/г — (1 — р) 2 — /г(1 — р)) (3 и) (! + и! г„(2 — л(1 — р) 2ь (1 „)) ' уа ° и /~""(2/г-! 1+ и) 'го/г[й(1+ р) -!. 2) з "о гсй!л(1+ р)-! 2) г,(2й-)- 1-1- р) Следует отметить, что при расчете высших частот, соответствующих данному числу узловых меридианов, могут возникнуть затруднения, связанные с неограниченным увеличением элементов матрицы жесткости, если расчетная частота является антирезонансной для выделенной части оболочки.
В этом случае следует обратить матрицу А, продолжить расчет методом податливостей и затем вновь вернуться к методу жесткостей, Другой возможностью является применение метода ортогаиализации С. К. Годунова (см. [49)). ГЛАВА т1 АВТОКОЛЕБАИИЯ В отличие от вынужденных или параметрических колебаний автоколебания возникают в системах при отсутствии внешнего периодического воздействия. Для возникновения автоколебаний в системе необходимо наличие источника энергии и механизма, благодаря которому энергия этого источника превращается в колебательную энергию.
Наконец, для того чтобы могли существовать стационарные колебания, система должна обладать нелинейностью. Автоколебательные системы широко распространены в технике. Так, в частности, автоколебательными являются часовые механизмы. Здесь источником энергии служит заведенная пружина, а механизм хода (например, анкерный) регулирует поступление энергии таким образом, что поддерживает незатухающие колебания маятника, Авто- колебательными являются также процессы работы паровой машины, 1 отбойного молотка нлн электронного генератора. Большое число автоколебательных систем рассмотрено с физической точки зрения в книге 153). В пределах настоящей главы мы ограничимся кратким рассмотрением лишь двух примеров автоколебаний — фрнкционных автоколебаний и флаттера крыла в дозвуковом потоке.
Автоколебания вращающихся валов рассмотрены в 9 47. 4 88. ФРикционные АвтоколеБАния Фрикционные колебания представляют собой простейший при р автоколебаний, возникающих в системе с одной степенью свободы, Рассмотрим тело массой и, находящееся на движущейся с постоянной скоростью и ленте и удерживаемое пружиной жесткостью с (рис.
38.1). На тело действует сила трения Я( ) скорости и движения тела по ленте, Если положение тела определить координатой х, то относительная скорость ц=о — х Отсчитывая х от положения, в котором пружина не напряжена, можно записать уравнение движения в виде 298 их + сх — й (и) =- О. (38.1) Очевидно, что уравнение равновесия будет выполнено при неподвижном грузе, если он получит статическое смещение (38.2) Характер равновесия в этом положении зависит от вида зависимости Е(и). Для большинства материалов зависимость силы трения от скорости скольжения имеет вид, показанный на рис. 38.2. В некотором диапазоне изменения скорости и ~ и, сила трения уменьшается, а затем начинает возрастать. Рассмотрим устойчивость положения равновесия груза, определяемого координатой х„.
С этой целью допустим, что имеется бесконечно малое возмущение $((), так что х0-= й(о)/с х (/) =- х, + $ (/). При этом сила трения будет выражаться фор лои /((') = /(( — Х) == /( ( ) — (Я/бя)„„,'. (38гй) Подставляя значения х и Й в )равнение движения (38 1) и учиты вая равенство (38.2), приходим к уравнению и, (38.5) 999 из+ (д/(/ди)„=, $+ с8 =. О. (38. 4) Если (дР, а' ( Р/йи)„„) О, т. е. характеристика трения при данной скорости возрастающая, то решения уравнения (38.4) затухают со временем и положение статического равновесия является устойчивым по отноше- нюкмалым воз уще ия.. В противном Я случае 4 возрастает и положение равновесия неустойчиво. Таким образом, при характеристике трения, показанной на рис.
38.2, положение статического равновесия устойчиво, ! если скорость движения ленты больше и„, и неустойчиво, если о( ир. 0 а Примененный прием линеаризации характеристики трения в соответствии с Рис. З3.9 равенством (38.3) позволил определить устойчивость положения равновесия, но не дал никаких сведений об амплитудах развивающихся автоколебаний, Для решения этого вопроса целесообразно использовать метод осреднения (см. 9 9). Аналитический результат можно получить, аппроксимируя тем или иным способом зависимость Е(и). Представим /с(и) в виде полинома третьей степени; Е '(п — х) = Ь, + Ь,х + Ь,х'+ Ь, х'. а =- а (Ь, + '/, Ьов'а')/(2га), = — (оР— с/ао)/(2со). (38.8) откуда а, =-= — )' — '/о Ь~/Ь, (38.9) Ь + оР$ == Ф'($, $ ), (38.6) где 1п (а/)'' ~ 1-,'- ()а' ( ) == а/-~- С,.
С, . 1п '(ао ~ )/ ! 1 -1- Оа,) ), где 301 300 Если рассматривать этот полинам, как усеченный ряд Тейлора разложения функции Я(и) около точки и = о, то Ь,=В(о), 6,= — ( — ',") При аппроксимации силы трения выражением (38.5) дифференциальное уравненае движения относительно координаты 3(г) = х(1) — х„ где х, = Ь,/с, получит вид т$ — ~Ь, я + Ь, ".' )- ЬД'~ + сз = О, Разделив это уравнение почленно на т и приоавив к левой и правой его частям в' $, где в — искомая частота коле5аний, приведем его к виду Э (5, 5) = (во — с/т) '„+ (Ь~'- '-, ЬЛ ( ЬЛ ) ~ оп (38.7) В соответствии с методом осреднення (см. 2 9) представим решение уравнения (38.6) в виде $ = а яп (в/ -~- о), где а и <р — медленно меняю.циеся функции времени.
Скорости из- менения амплитуды и фазы определяются формулами (9.12) 'а = — В(а), р = — — С(а), 1 Ю мо В(а) =- — ( Ф(аяпЬ, авсоз0)созЬЙЬ, 2~,! о С(а) = — ( Ф(аяп0, авсоз 0) яп 000, 2к,) о а Ф(аяпЬ, авсэз0) — выражение (38.7), в котором $ заменено на аяпЬ и Ц на авсзз0, Произведя такую подстановку, вычислим: Ф(аяпЬ, авсоз0) =- (оР— с/т) аяп0+ + (Ь,ва соз Ь + ЬооРао созо Ь + Ь,оРа' созо Ь)/т, В (а) =1 6,ва + о/о Ьовзао)/(2т) С(а) = а(оР— сlт)/2.
Дифференциальные уравнения (9.12) получают внд При стационарном режиме движения должно быть а = О, <р = О. Отсюда находим, что частота стационарных колебаний в = ) с/т совпадает с частотой колебаний консервативной системы, а стационарная амплитуда а„определяется равенством Ьг + в/, Ьовоа.' =- О, Из полученного выражения видно, что стационарные колебания возможны только в том случае, если Ь, и Ь, в выражении (38.5), аппроксимирующем зависимость силы трения от скорости, имеют разные знаки. Рассмотрим нестационарные колебания. Заметим, что первое из дифференциальных уравнений (38.8) — уравнение с разделяющимися переменными. Обозначив 6,/2т == и, '/4воЬо/Ь, == 6, приведем его к виду да/(а (1+ ()а')) = аб/ и после интегрирования Определим постоянную С, нз условия аб=о = а, и разрешим полученное выражение относительно а': а' = ао/((1-'г ()ао) а '*' — ()ао!.
(38.10) Нетрудно видеть, что при а > О, 11 < 0 (т. е. при Ь,> О, Ьо< 0) с увеличением времени амплитуда а стремится к величине 1 1пп= — = а„„ каково бы ни было начальное значение амплитуды а,. Характер изменения амплитуды при а, < а„и ао а„показан на рис.38.3, а. Пусть теперь а>0, 8>0 (т. е. 6,>0, Ь,>0). Тогда при = — 1п((1+ ра~)/(рао)) знаменатель выражения (38.10) обра2п щается в нуль и амплитуды колебаний неограниченно возрастают (рнс. 38.3, б). При о<0, 6>0 (т.
е. Ь,<0, Ь,<0) знаменатель и ~ л ~ ~ ~ ~ ~ ! ! формулы (38.10) растет со временелл и а- О. В атолл случае положение статического равновесия устойчиво при любых возмущениях. Остается рассмотреть только случай а(0, р (0 (Ьу(0, Ь)0). При этом характер движения существенно зависит от от начальных условий. Если а, ( а„то знаменатель формулы (38.10), оставаясь положительным, неограа) ниченно увеличивается со временем н а- О. а л 1' [ио Если а,)а.„то при/-«/„, = — 1п 2[а[ [: [ из аи а-«ои. Характер изменения амплитуд в указанном случае представлен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
