Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В частности, для стационарной случайной функции постоянны дисперсия и средне- квадратическое отклонение. Нетрудно показать, что для стационарной случайной функции х(/) корреляционная функция Кх[/„ /2) не завиСнт От /! И /2 В ОтДЕЛЬНОСтн, а ЗаВИСИт ТОЛЬКО От РахЗНОСЧИ /2 — /1= =т. В самом деле, Кх (/1~ /2) = Кх (/1~ /1 + т) Но по определению стационарной случайной функции эта величина не зависит от /1. В этом случае будем пользоваться обозначением К, (/, / + т) = йх (т).
Из формулы (40.7) следует, что дисперсия стационарной случайной функции Ох = /гх (0). (40.7а) Наряду с корреляционной функцией характеристикой стационарной случайной функции является ее спектральная функция Я(в). Как увидим далее, спектральная и корреляционная функции тесно связаны между собой. Спектральное разложение случайной функции. Пусть нентри- о рованная случайная функция х(/) наблюдается в интервале 0 ~ / а Т. Тогда, если каждая реализация к„(/) функции удовлетворяет условиям Дирихле, ее можно представить в виде ряда Фурье х„(/) = ч'(а„дсозвд/ ' Ь,да]ив„1), 1=.О где в„--= /12я/Т. Очевидно, что для случайной функции справедливо то же разло жение: о х(/) == ~л (а, созвд/ '; Ьд Яп вд/), (40.
8) 312 а Ь !) чинны!- в ' ы. величины, значения которых различны для Будел! считать, что случайные величины ад, 1„ап вос л!атсматическое ожи сое ожидание и независимы (корреляция между ними отсутствует/. этом ). В ., случае, как известно, равны нулю корреляционные моменты этих величин*: М [а Ь!] == 0 М [адау] =- 0; М [Ьдб,] == О. Прн выполнении условий (40.9) разложение (40.8) случайной функо цип х(/) называется к а н о н и ч е с к и м. Вычислим корреляционную функцию для случайной функции, заданной каноническим разложением (40.8): о о Кх([о г) =М~~х(/)х(/)1=- — и1л!ч ..1, 1.'..с!1,,!! ~-е,,ч1~.
[д,/ Изменяя порядок суммирования и вычисления математического ожидания и выполняя перемножение, находим К (йп /,] = )'„(М [а„ау] созвд/1созв,/2+ М [Ь„Ь ] япвд~ея~ в!/2+ х д,! -'; М [а Ь ] созсо„1, яп в!/2+ М [Ьда/] япвд/тсозв,12). Учитывая равенства (40.9), устанавливаем, что в выражении в фи- гурных скомкал сох„ б с храняются только слагаемые с множителями М [ада/] и М[ЬдЬ/] прн /г =-/.
Следовательно, тК (/! 12) = )~~ [дтдв созе!211 соз вд!2 + ьтдь зги вдг! 5!и вдгв], х М ] /3 М[Ь] д Р ффц ГДЕ атд„-— — тад ДЬ =.= В случае стационарного случайного процесса рр ко еляпионная функция зависит только от разности /2 -- 1 =т. ' ля этого необходимо, чтобы дисперсии 1)д, и 1Эдь ылн од ылн о инаковыми: /7 в = /7 ь = -"22/7.
Тогда (40. 10) Кх(1 /2)=-йх(т) =~А Ос Как видим, корреляционная функция представляет собой четную функцию т, один п ериод которой раза!е!кается в интервале — Т/2( (т ( Т/2 (рнс. 40.3). Корреляционным моментам том случайных величин называется математнческое ожидание нк произведения. 313 Формула (40.10) устанавливает связь между корреляцио> " ф о еляционной унк. вием 40.8 и цней )г (т) стационарной случайной функции х(г), х , заданной разложе 1 ( . ) и дисперсиями коэффициентов этого разложения. Пола. гая в формуле (40.10) т — О, находим дисперсию случайной функции..
Рм = й„(0) = "~ й,Р. «0. П) Она равна сумме дисперсий коэффициентов при гармониках вс частот в выражении (40.8). никах всех 1> то по частотам пазы. аспределение дисперсии этих коэффициентов вается спектром (энергетическим) сл ~ п р о ц е с с а.
им случайного Для процесса, заданного в интервале Т, спектр являет чатым ( ис. 40.4), п (р .. ), причем расстояние по оси о> между соседними гар- 0 в» о>а а>а цта о>а л зя' Т Рпс. 40Л Рпс. 40.3 мониками составляет 2п!Т. С увеличением времени Т расстояние как их с между гармониками уменьшается, уменьшаются и величинь Л Р ( их сумма остается равной дисперсии случайной функции Р„).
В пределе мы приходим к непрерывному спектру, в котором дисперсия гармоник с частотами, заключенными между о> и «. —, г(ю, составляет * В некоторык работах аа спектральну>о функцию принимают г >нкцию. отличающуюся от Я(м) постоянным множителем. Так, нап име, в книге 461 введена спектральная функция Ю (ю) = м5(гв).
314 дР(ю) = 5(о>) г)о>. Функция 5(о>) называется спектральной функцией* с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а. Она представляет собой плотность распределения дисперсии по частоте. Формула (40.10), связывающая корреляционную функцию с дисперсией, при непрерывном спектре переходит в формулу lг (х) = ) 5(ц>) созютг1ю. 140, 12) о Формула (40.12) представляет собой частный вид преобразования Фурье (косинус-преобразование). Выполняя обратное преобразова- ине, можно теперь выразить спектральную фупкцшо через корреля- ционную: 5(ю) = — ~ )г(т)созе>тЖ.
2 я о (40. 13) Формулы (40.!2) и (40.13), связывающие между собой корреляционную и спектральную функции стационарного случайного процесса, называются соотношениями Хннчина -- Вин е р а. Дисперсия процесса вь>ракгается формулой Р, — /г„(0) = ( 5 (ю) йо. о (40. 14) Заметим, что спектральное разложение (40.8) на конечном интервале для стационарной случайной функции можно также записать в виде х (>') = ~~ сл соз (юв1 + уа), А=о где с„, м„— случайные величины. Так как сап = ае>, -1 (>аа, то Р>,:.= 2ЛвР. Отсюда следует, что вероятностные свойства такой стационарной случайной функции целиком определяются распределением дисперсии амплитуд с„, Фаза тра здесь несущественна (так как в связи с независимостью аа и (>„ца равномерно распределено в интервале 0...2ц).
В частности, прн непрерывном спектре спектральная функция 5(о>) равна половине плотности дисперсии амплитуды с(со). Экспериментальное определение корреляционной и спектральной функций. Эргодическая гипотеза. Вероятностные характеристики стационарной случайной функции никогда не бывают известны с полной точностью. О них можно судить лишь на основе статистического анализа некоторых доступных для наблюдения реализаций функции.
При этом точность результата зависит от числа и длительности подвергнутых статистической обработке реализаций. Так, для того чтобы вычисление корреляционной функции по формуле с конечным числом слагаемых 0 е ь(т) = ~~'х„(У>)х,(1, + т) т=! (40. 18) вместо формулы о о )г (т) = — М ~ х (1 >) х (Е, + т) 1 313 было надежпьи, необходимо располагать достаточно большим числом реализации )>>. Вместе с тем при недостаточном числе реалнза,е в ций Л> величина — '«~ х„(1,) х„(1, + т) окажется зависящей от вы- бора момента у„даже для заведомо стационарной случайной функ.' ции.
Очевидно, в этом случае целесообразно осреднить получаемые значения по времени. Таким образом, при продолжительности наблюдений Т придем к формуле Лс 1, ! и а : 1 — 7 х, (!) х, (! -у- т) 61, т о' т=! илп Возникает вопрос о количестве У реализаций, необхо, х „„ вычисления й(т). Очевидно, что ответ на этот вопрос зависит от того, насколько типичны реализации, принимаемые в расчет, и в какой мере они определяют поведение случайной функции в целом. В благоприятном случае достаточно одной длительной реализации. Такие стационарные процессы, при которых одна достаточно длительная реализация обладает статистическими свойствами, характеризующими процесс в целом, называются э р год и ч е с к и и и. Следует отметить, что при разумной классификации случайного процесса и разумном выборе расчетной его реализации гипотезу об эргоднчности процесса удается использовать в большинстве расчетов стационарных случайных процессов.
Рассмотрим, например, уже упомянутый случай дорожных неровностей. Можно считать, что высота дорожных неровностей представляет собой случайную функцию, реализациями которой явля!атея, например, профили дороги, проходимой автомобилем в течение рабочего дня. В этом случае реализации будут различными по своим статистическим свойствам в зависимости ат того, проходит ли маршрут автомобиля по асфальтобетонной дороге, булыжнику и т.
п. Очевидно, что целесообразно считать случайной функцией профиль дороги данного типа (например, асфальтобетонной). В этом случае различные реализации (например, профили мерных участков) будут статистически меньше различаться друг от друга. Однако и здесь возможно значительное различие, например за счет состояния дороги (новая, выбитая и т. п.). Есть два пути использования эргодической гипотезы в этом случае. Один состоит в дальнейшем уточнении понятия случайной функции (например, профиль новой (выбитой) асфальтобетонной дороги).."1ругой путь состоит в том, что расчетная реализация случайной функции (профиль асфальтобетонной дороги)составляется из профилей нескольких участков дорог, находящихся в различном техническом состоянии, причем они включаются в соотношениях, соответствующих распределению состояния дорог такого типа*. ' При использовании таках «составныха случайных функций нужна осторожность.
Так, если окажется, ыо при движении автомобиля по расчетной дороге его комфортабельность достаточно высока, то зто отнюдь не гарацти р! ет его комфортабельности в других условиях. 3!б Если стаи Р иона н2!и случаинын роцесс является эргодичесьим „актеристик осреднение по п и вычислении его статистических ха а б енено осреднением по времени: рса лизациям может ыть зим т„= — ) х(!) с)1; б г о й (г) = — ( х(!)х(! —,т)б! ! х(!) =-х(!) — тк(; о Т о 2 О = й„(0) = — ~ '1х(!)) 66 о ь еализации 7' выбирается достаточной для полуЛлительность реализации ет выполняться вручную чення стабильных значений.
асчет может весьма т доемко) или с помощью специальных приборов. " ф соответствии с формулой (40.13) ая нкция Для вычисления по формуле еля! ионной функции в соот рассчитывается спектральна фун!сция. либо подходящим ана й ф нкции используют выражение мации опытной корреляционной ! ункции и по. й (т) — ТУС соз 13 с. (40. 16) Э выражение содержит два параье р у .! т а и которые можно то я опытной к ивой подо рать из :с б у ловия наилучшего приближени (например, ! д хе, мето ом наименьших квадратов).
(40.16) соответствует спектральная Корреляционной функции функция 5(оз) = — ~ й(т) сов ытс1г ==- — ьту ~ 2 (-1 О. 17) Характер изменения й(г) фун ций й(т) и о(«о) - л',, З(аз) казан на рис. 40.6. Полезной абстракцией является представление случайного процесса как аз «белого шума» Зля белого г шума характерно равпомерное распределение днс- Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
