Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(42.6) Лвалогично, для спектральной функции ускорения можно пол! чпть 5/(в) =- в45„(в), Так как передаваемая основанию сила И =- сх -,' ах, то Р = (с+ !ов) х; Рл(йо) = (с т !ао!) Р„(гв). Следовательно, 5и (в) — -- ! Рл(гв) (а 51 (в) = с'5 (в) + ао5,(в). (42 6) Графики спектральных функции 5„, 5„5я в предположении во)р построены для значения коэффициента затухания пlр =- 0,2 на рис.
42.2, а, б. а/, !2* 323 Как видно из этих графиков, при постоянной плотности возд ствия спектр колебаний неравномерен. Система усиливает колебав с частотами, близкими к собственной ее частоте, и ослабляет высок частотные колебания. Определение дисперсии х, о, )г сводится к вычислению интеграа лов типа сг5 а) 5- 4. Р, = ~ Ях (в) бв= а = ) ! Р.
(( ) !'Ъ (в) бв = а 5. г 1 ~е аю с' ' (! — ыг)Рг)г 4-(2я/р)гыг)р а * См.: Г р а д ш т е й и И. С., Р ы ж и к И. М. Таблю!ы интегралов сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М., !962, с. 82 — 83. 324 5/ 5я (1--гг)а + (2п,'р)' г' е 11 Интеграл можно вычнслить, л разлагая подынтегральное выра- ' жение на простейшие дроби: 4' ! 2', (! -- га)г -1- 4раг-' 1 < г+2! 1 — Иг д 4 $~ 1 — и' ( гг + 2г ~~Т вЂ” ра +! г — 24 !в — (р = и/р),- Далее интегралы — табличные' и окончательно получаем 3 р 1 г)+ 2г,)'! — на+ 1 (п х са 8 ~' 1 — И' г! — 2гг Г' ! — иа -1- 1 1 Г;+ ~'! — ~' г| — )' !в — агс(я + агс(д ' " ~ (г, = в,/р).
4(г ~ и На рис, 42.3 показана зависимость дисперсии перемещения Р от отношения г, = — в,/р частоты среза спектра возмущения к собственной частоте системы при п/р = 0,2. Как видно из графика, Рх возрастает главным образом за счет колебаний с частотами, близкими к собственной частоте системы. Интересно отметить, что в том случае, когда спектр нагрузки неограничен (о>а — а. оо), дисперсия перемещения остается конечной. 1(ри ва — + со х 3 р с Б р 4 сер 4 сги Как и следовало ожидать, дисперсия (а значит, и среднеквадратическое перемещение ох = )'Р„) оказывается тем меньше,чем больше жесткость пружины с, демпфирование и и масса объекта, от которой зависит частота р. Для дисперсии скорости после вычисления соответствующих интегралов находим 392 — ', Рис.
423 г, — 1' 1 — и' г', + 2г,)г~ — 1" +1 )п гг — 2гг)' ! — (г'+ 1 8 ус1 — и.' При в -а- со Р также остается ограниченной и стремится к ве- О а личине Яа р4 Р = — ' 2 г;+ 4 с я Определим дисперсию силы /( воздействия на основание. Согласно формуле (42.6), Рн =- ссРх+ ~аР„. Подставив сюда значения Р, и Р„при в,— оо, получим для этого случая 325 11 — 318 Рн = ( /4) Бар(р/п+ 4п/р). Из полученного выражения видно, что дисперсия Ря возрастает неограниченно как при гг-и О (при этом возрастает амплитуда колебаний вблизи резонансной частоты), так и при и-а.
оо (т. с, прп непосредственной передаче возмущающей силы на основание). Минимум Рн имеет место при п = р/2 [б = (2/) 3)п — 3,64), причем Рвана " я3ар Таким образом, при случайном возбуждении типа белого шума наивыгоднейшим является весьма большое демпфирование системы (б =- 3,64). Так же как и при расчете системы виброизолянии на синусоидальное возбуждение, выясняется, что система тем более эффективна, чем ниже частота ее настройки р.
Случайные колебания автомобиля. Рассмотрим случайные коле. ' бания автомобиля в продольной плоскости при движении по дороге, характеризующейся заданной спектральной функцией неровностей. Упрощенная расчетная схема автомобиля показана на рис. 42.4, Колебания в продольной плоскости возникают при одинаковом про. филе дороги под левыми и правыми колесами. Различие в этом профиле вызывает колебания в поперечной пло. скости.
Вследствие линейности системы и симметрии конструкции автомобиля эти виды колебании можно рассматривать независимо. Составим уравнения движения автомобиля, выбрав в качестве координат вертикальные переме- щения переднего (х,) и заднего (х,) мостов н расположенных над ними точек кузова.
Высоты неровностей под передними и задними колесами обозначим соответственно /! и /,. Рис. 42,4 Такой выбор координат позволяет получить уравнения движения для передней и задней осей в одинаковой форме. Обозначим также тн т, — неподрессоренные массы переднего и заднего мостов; т„, 1 — масса и момент инерции кузова относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости чертежа; с, с, а — жесткости шин, подвесок и коэффициенты вязкого трения в амортизаторах (под с и а понимаются суммарные величины для левых и правых элементов подрессоривания). Обозначив силы взаимодействия подвесок с кузовом ЄЫ, получим следующие уравнения для подвесок: сиа (/ — х ) — Р = т;х;; с!(У! х!)+ Я(У вЂ” х!) =Р! (! = 1, 2) (42.7) и уравнения движения кузова: т, (У!Ь/1 + у«а/1.) = — Р, + Р,; 1(у, — Ус)/1 = Р,а — Р,Ь.
Решим последние два уравнения относительно Р, и Р,: Р, = у,(т„Ь'+ 1) / 1.' + у, (т,аЬ вЂ” 1)/1;1 Р« = У! (т„аЬ вЂ” 1)/1Р+ у! (т„а + 1)/1« (42.8) 326 Для современных легковых и некоторых компоновок грузовых автомобилен отношение « — 1/[т,аЬ) ж 1. (42.9) В этом случае выражения (42.8) существенно упрощаются и принимают такай вид: Р! ™!у! Р«М«у! (42.10) (М, = т„Ь/1, М« = т,а/1.). Таким образом, при условии (42.9) колебания передней н задней частей автомобиля независимы.
Именно этот простейший случай мы здесь и рассмотрим. Для каждой из частей автомобиля, подставив значения Р из уравнения (42.10) в (42.7), получим независимые уравнения (индексы 1, 2 опускаем): М,.У --, 'тх-]- с х =-с /; М, у .' су -,'— «у -- сх — ах —.— О. — — !,.! . — пн Подставляя сюда /=-/«е!; х =-х,е'"; у == у,е и исключая х, находим комплексную частотную характеристику для вертикального перемещения кузова: Р(ио) = — =- / с„, (с + !«») ,11 „„,!. [М,.
[с, ~ с) + с!с] ««+ с„,с — !«[««(М;+ с!) Далее, зная спектральную функцию неровностей 5 (!с), можно вычислить и спектральную функцию перемещении: Б (се) =- ] Р(!е!)]'8/(сз). Разумеется, спектральная функция неровностей дороги, полученная по экспериментальной корреляционной функции /с (г), задается не в зависимости от !с, а в функции пространственной частоты лс 11/л!]: 3 а (сй) — ! /с (г) саз !2е!]г.
2« Как нетрудно установить, при движении со скоростью п(л!/с) В =— =- ы/о. Поэтому 8/ («') ' (1/а) 8« («'/а)" Таким образом, переход от пространственной спектральной функции к временнбй сводится к изменению масштабов по координатным 11* 327 'Г Р/ = 1,05 (м/се)-'. а/ = )7 Р/ = 1, 02 и/с"". 5/, и'г Ц09 г/(/ю) =. — юзг" (гго). 008 007 ООБ 005 пои 408 002 007 где Р/ = ~ 81(а) бы. о 328 осям. С увеличением скорости движения график о (гв) растягивается по горизонтали и сокращается по вертикали (при этом площадь под кривой о/, равная дисперсии О, остается постоянной). Статистические характеристики смещения кузова у не представляют существенного интереса.
Комфортабельность автомобиля в значительной степени зависит от ускорений / = г(зу/Йз. Легко видеть, что для этой величины комплексная передаточная функция определяется выражением Рассмотрим пример колебания передней части легкового автомобиля при движении по асфальтобетонной дороге. Подвеска характеризуется следующими данными; М = 800 кг; т =- 100 кг; с = 51 10' Н/лл; с„= 336 1О' Н/м", а = = 3,26 1Оа Н.с м. Примем, что корреляционная функция дороги выражается формулой (скс [46)) /г(г) =- Р/е где Р/=.-2,0 см-"; т.=о,!33 1/ и.
Этой функции соответствует пространственная спектральная функция Ба(о) =-(2/и) Р/т/((з-1- Нл). Соответственно при движении со скоростью и временнйя спектральная фувкция составит 87(ал) = (1,'о) 8а (лл/о) = (2,'и) Р/т,/( тз-1 з), где т, = то. Проведем расчет при скорости о =15 м/с (54 клг/ч). В этом случае =то =2 с л. Находим спектральную функцию ускорения кузова: 87 (' ) = 8/ (ай ( Р/ (/' ) ' " = ' л8/('а) ! Р (л ) 1 Подстановка значений приводит к формуле 2 ела (сз + азиз) лал 8/("') = Р а / з а Млт (л!~(а) (а П+" /с,» с с ', са,с а Г / Мл са,з Ф (и) = ыл — ыл ~ — ' + — -ь — + — р л' — л л 1 .ь (т .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
