Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 61
Текст из файла (страница 61)
т, = ( (иг'и,)затя, (45.8) х = А сон (пзу — Р), 347 В этом случае рассматривается задача об ударе груза по упругой системе с сосредоточенной в точке удара приведенной массой те (рис. 45.5). Величину приведенной массы определяют так, чтобы она обладала той же кинетической энергией, что и действительная система при заданной форме движения':: где и!и, — отношение перемещения элементарной массы йт к перемещени~о точки приведения. Соударение груза т с приведенной массой т„считают неупругим, так что после соударения они двигаются с общей скоростью а =- и,, где а, — скорость соударения. Далее рассматривают колебания системы, имевшей одну степень свободы (с массой т + т,).
Для максимального динамического перемещения вместо формулы (45.3) получают формулу хюах = )~2Тоот)(гп — пт1) (45. 9) Таким образом, приближенный учет собственной массы упругой системы приводит к некоторому уменьшению расчетных динамических перемещений, что соответствует и результатам более точных расчетов. Расчет динамических напряжений с приближенным учетом собственной массы системы проводить нецелесообразно, так как получаемые при этом результаты оказываются менее точными, чем в том случае, когда зта масса не учитывается вовсе, Рекомендуемый в некоторых книгах метод приведения массы, основанный на условии сохранения количества движения, ошибочен, так как, задавая форму движения, мы накладываем дополнительные связи, что приводит к изменению количества движения, 1'ЛАВА 1Х НЕКОТОРЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИЛО)КЕНИЯ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 3 46.
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ВИВРОИЗОЛЯЦИИ Вводные замечания. Колебания, возникающие при работе различного рода машин, передаются прилегающим конструкциям и нарушают нормальную работу других устройств, вредно влияют на здоровье людей. Поэтому возникает задача изоляции колеблющегося объекта от прилегающих конструкций. С другой стороны„часто приходится устанавливать различного рода приборы и другие объекты на колеблющемся основании. В этом случае требуется изолировать объект от основания так, чтобы ему не передавалнсь колебания последнего.
В обоих случаях задача виброизоляции решается одинаковыми средствами — между объектом и основанием устанавливают упругие элементы, а иногда и демпферы сухого или вязкого трения. В настоящем параграфе рассматриваются линейная система виброизоляции при гармоническом возмущении, влияние нелинсйностей, возникающих при установке ограничителей хода (упоров), а также поведение системы изоляции при Р с~азу кратковременных воздействиях. Вопросы расчета виброизаляции при случаяных воздействиях освещены в гл.
тгП. И Поведение системы изоляции при гармонических воздействиях. Рассмотрим простейшую систему виброзащиты, представленную на рис. 46.1. Здесь объект массой т, на который действует гармоническая возмущаюп1ая сила Р(1) = Расозозг, Рпс. 4б.! соединен с основанием упругой связью жесткости с и элементом вязкого трения с коэффициентом трения и. Рассматривая колебания такой системы в з 5, мы установили, что перемещения груза меняются по закону А —; Р = агс(я— Ра 2пч~ с 3 (! — ыз/рх)а+4пз з)рч р — '"' Здесь и;= ау(2т) — коэффициент затухания; р =- ) сс/и — частота собственных колебаний консервативной системы. В задаче виброизоляции существенны не столько перемещения объекта х, сколько динамическое усилие )т, передаваемое основанию.
6 =- асозоо1, а смещение объекта— Ра ')' ) + 4по "'Р' 7 -"- Р~ 1 (1 — в'-',Р~)~-) 4п'-' а~у~ (46. 1) Рос. 46.,3 Рис. 46.2 34( 348 Это усвлие складывается из силы в упругой связи сх и силы вязкого трения ах: й = сх+ их -- А )с соя(о1 — 1) — иоогйп(Ы вЂ” р)). Эту формулу представим в виде Й = Рогоз(оз( — ия); Я,-АУ"-+~ )о =Р, У) 4""'" () .. (Р)Р-')й.~ 4пп„2)Р! 1, .= о --агс1п(2гм'ри). Отношение амплитуды Яо силы, передаваемой основанию, к амплитуде Р, возмущающей силы называется к о э ф ф и ц и е н т о м виброизоляции у: На рис. 46.2 показаны графики зависимости коэффициента виброизоляции у от отношения частоты возмущающей силы к собственной частоте системы.
В случае, если система виброизоляции служит для защиты объекта т от передачи ему колебаний основания (рпс. 46,3), коэффициентом виброизоляции называется отношение ускорения объекта к уско- рению основания. Этот коэффициент у также выражается формула (46. 1). В самом деле, уравнение движения объекта (рнс. 46.3) имеет ви тх+ а(х — й) + с(х — $) = О, (46.1 где х — смещение объекта; 5 — смещение основания. При гармоническом возбуждении смещение основания определяе1 ся формулой х =- А соз(в1 — о).
Подстановка этих значений в уравнение (46.2) приводит к равенству А = а (со -+ и'в')/1(с — тоР)'+ а'ы'1 . Коэффициент виброизоляции находится как у — —. х ~ $ -= А!а== 'г~ (с' -1- а'и')/((с — тоР)о -1- иоыо) Это выражение в точности совпадает с формулой (46.1), и, следователь но, график на рис. 46.2 относится в равной мере к обоим случая виброизоляции. Легко видеть, что система виброизоляции эффективна ~олька в то случае, если ы р велико, т.
е. если собственная частота системы мал по сравнению с частотой возмущения. При р) о>Г~Г2 упругая пот веска приносит не пользу, а вред, так как коэффициент виброизол~ ции оказывается большим единицы. Демпфирование ухудшает эффег тивность виброизоляции в области высоких частот, но снижает резс нансные пики. Некоторое демпфирование полезно, так как позволяе сократить продолжт а) 6) Р тельность переходны процессов и ограничит амплитуды при пуске И остановке системы.
Для обеспечен и м низкой собственной чао таты колебаний изоли руемого объекта неос ходимо сделать систем Рис. 46.4 виброизолгп(ии ласта точно ~~д~тл~вой. Одна ко при этом возможна излишняя подвижность объекта при дей ствии медленно изменяющихся нагрузок. Так, например, при боры самолетного оборудования, система изоляции которы рассчитана на гашение вибраций, передаваемых от двигателя 330 — с( == С, + соз о; 1 — ри/и2 ас -- Сс соз Х + Со яп Х вЂ” соз с; рс/и2 могут получать недопустимо большие перемещения прн перегрузках, связанных с маневрами самолета.
Для ограничения возможных перемещений в этом случае устанавливают упоры (рис. 46.4, а). Следует иметь в виду, что при наличии упоров система амортизации становится нелинейной. Характеристика ее приобретает вид, показанный на рис. 46.4, б. В такой нелинейной системе возможны режнмы движения с ударами об ограничители. Такие режимы конечно, недопустимы. Для их исключения система виброизоляции должна быть рассчитана на основе нелинейной теории, изложенной в 2 8. гя' Выведем формулу для опредеа ас ления наименьшего допустимого расас, стояния до упоров в случае, если упоры являются весьма жесткими, расположены симметрично и удар о Рис. 466 них определяется коэффициентом восстановления скорости и. Другие виды демпфирования не учитываются. оассмотрим режим движения, при котором за один период возмущения имеют место удары о верхнюю и нижнюю опору.
Соответствующий график относительного движения объекта показан на рис. 46.5. Уравнение движения при кинематическом возмущении получает вид тх, + схс = — тоРа сов (оо/ + 22). (46. 3) Здесь х, = х — З вЂ” смещение объекта относительно вибрирующего основания; х, 5 †. а соз(со/ + со) — абсолютные смещения объекта и основания. Общее решение уравнения (46.3) для периода движения объекта между упорами имеет вид х, =-С,созрг+С,яп р/+,соз(оо/+ р).
(46 4) 1 — р'/ ' Совмещая начало отсчета времени с моментом отскока объекта от нижнего упора (что всегда можно сделать, выбрав надлежащим образом фазовый угол ср), будем иметь: при / =.= О х, —. — с(; при / = =л/оо хс =- с(. КРоме того, слеДУет Учесть Условие, свЯзываюЩее скорость удара об ограничитель со скоростью отскока от него: (х,)с=о =- == /с(хс)с = „/ . Три записанных условия достаточны для опредления трех постоянных (Сс, С,, ср), входящих в выражение (46.4).
Эти условия приводят к следующим равенствам: С„о — — сояпо =-/с( — С ряпк+ С,рсози+ яп 3) р2 „,2 1 — р2/и2 (Х .:= яр/со). Из первых двух уравнений находим: С, = — с/ — ' сов о Со =- — Ссс(я(//2). ) р222 Подстановка этих значений в третье уравнение дает соотношение и Г1+и с/ = ~ ' — (я — яп 2 — соз 221. 1 — р2/и2 ( 1 — /2 р 2 (46. 5) Очевидно, что стационарный режим движения с ударами об упоры возможен, если можно подобрать такое значение фазового угла ср, чтобы выполнялось равенство (46.5). Наоборот, удары об упоры невозможны, если зазор с( больше, чем максимальное значение правой части равенства (46.5).
Таким образом, получаем следующее достаточное условие отсутствия ударов об упоры: с( ) ссо; 1 — р2/с22 ~ ~с С 1 — /2 / р2 2и Из формулы (46.6) видно, что для предупреждения ударов зазор должен быть существенно болыпе, чем стационарная амплитуда колеи бания А = „,, рассчитанная по линейной теории. р2~ „21 На рис. 46.6 показана зависимость величины ссо/а от со/р при различных й. а Величина коэффициента восстановления /с очень сильно влияет на размеры необходимого зазора.
Поэтому в конструкциях упоров используют обычно материалы с большим поглощением энергии. :а=а, В выполненном выше расчете учтено только поглощение энергии при ударах. Если учесть также трение, связанное с движением объекта между упорами, то значение с(о будет меньшим. Приемы такого рода расчетов рассмотрены в книге (291. Одним из методов снижения частоты собственных колебаний сис- темы виброизоляции без уменьшения ее жесткости является искус- ственное увеличение массы объекта. Разумеется, этот метод применим далеко не всегда, но в некоторых случаях вполне может быть использован. В качестве примера на ~~=42 г 2 е.
а О2 1 2 3 О 6 6 7 Рис. 46.6 331 л«х -,'- сх = с8, (46. 7) при 0 ~ ! ( О х = /«(1 — совр/); Рис. 46.7 Ф ~М' а) Рис. 44 В 352 353 рис. 46.7 показана схема виброизоляции силового агрегата. Здесь масса агрегата увелвчена добавлением дополнительной железобетонной плиты. Агрегат вместе с плитой изолирован от фундамента с помощью упругих амортизаторов. Выше была рассмотрена виброизоляция для системы с одной степенью свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
