Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Единственную особенность составляет учет гироскопических моментов. Как было установлено выше, центробежные силы неуравновешенных масс вызывают круговые колебания вала, причем изогнутая его ось вращается со скоростью ы в ту же сторону, в которую вра!цается сам вал. Таким образом, имеет место прямая синхронная прецессия (ы .=. Р). В этом случае (см. формулу (47.11)1 гироскопический момент, с которым диск воздействует на вал, и направлен против угла поворота д . Сравнив эту величину момента с величиной инерционного момента Яо при отсутствии вращения вала (ы .= 0), когда видим, что для определения критической скорости вала с учетом гироскопических моментов при прямом вращении можно применять те же формулы, что и для подсчета собственных частот балок, если подставлять в них вместо 7! величины — (Уо — 7!). Некоторые трудности могут возникнуть только при использовании метода Рэлея или метода последовательных приближений. Так, с учетом гироскопических моментов в формуле Рэлея обобщенная масса Ф выражается в виде Знак минус перед вторым слагаемым в этой формуле связан с тем, что гироскопические моменты направлены против углов поворота.
Пользоваться формулой Рэлея можно только в том случае, если второе слагаемое в формуле (47.22) мало по сравнению с первым (т. е. влияние гироскопических моментов невелико). Большой удельный вес второго слагаемого в формуле (47.22) или даже отрицательный знак Л свидетельствует о том, что форма колебаний задана неправильно, и в действительности благодаря влиянию гироскопических моментов углы поворота В! под дисками меньше, чем это принято. При проведении расчета методом последовательных приближений в некоторых случаях может быть получено отрицательное значение р' (прогибы при нулевом н первом приближениях имеют разные знаки). Мнимое значение частоты, разумеется, не имеет физического смысла.
В этом случае следует довести процесс приближения до конца, найти собственную форму, соответствующую мнимому значению частоты, и затем, используя ортогонализацию, определять форму колебаний и действительную критическую скорость так, как обычно определяются высшие формы собственных колебаний (см. 9 27). В некоторых случаях (см. 1211) наблюдались колебания вала при Р.)си 364 обратном синхронном вращении его изогнутой оси (р -= — и)). В этом случае гироскопический момент И = (7„+ 7,) риб направлен в сторону увеличения угла б, увеличивает деформации вала и, следовательно, снижает собственную частоту. Относительно колебаний, происходящих при обратном вращении изогнутой оси вала, следует отметить два обстоятельства, снижающие их опасность: во-первых, эти колебания не могут возбуждаться инерционными силами, вызванными не- 1 сбалансированностью вала (так как векторы этих сил вращаются в сторону вращения вала); таким образом, для возбуждения этих колебаний необходимо наличие с внешних возмущающих сил; во-вторых, с колебания при обратном вращении изогнутой оси вала связаны с весьма болыпими потерями на гистерезис.
Действительно, при колебаниях такого рода каждая точка поперечного сечения вала дважды итечение Рис. 47.10 одного оборота переходит из растянутой зоны в сжатую и обратно, что видно из рис. 47.10, где схематически показаны четыре последовательных положения поперечного сечения вала (через четверть оборота).
Поэтому в реальных конструкциях обратная прецессия наблюдается крайне редко. Однако она может возникнуть в случае, если имеется болыпая разница жесткости опор вала вдвух направлениях(см. 122)). Устойчивость движения вала. Влияние трения. Необходимость исследования устойчивости движения вала вызвана тем, что вращающийся вал, соединенный с двигателем, не является консервативной системой. При определенных условиях энергия двигателя может переходить в энергию колебаний. Как показывает опыт эксплуатации турбомашин, явления неустойчивости движения в самом деле наблюдаются в практике, особенно для гибких (т.
е. работающих при скоростях болыпих критической) роторов, Среди причин, вызынающих неустойчивость движения ротора, следует отметить внутреннее трение в материале вала, трение об окружающую среду, движение масляного слоя в подшипниках. Рассмотрим влияние внутреннего трения в материале вала, Как известно, влияние внутреннего трения проявляется в том, что зависимость напряжений и деформаций не является однозначной.
При циклической деформации в координатах 5, а описывается замкнутая петля гистерезиса, площадь которой соответствует энергии, рассеиваемой за цикл в единице объема материала. Проще всего учесть в расчете вязкое трение, т. е. трение, пропорциональное скорости деформации. В этом случае связь л)ежду напряжением и деформацией (при одноосном напряженном состоянии)может быть записана в форме О = Е (с+ )па). П рн цИКЛИЧЕСКОй дЕфОрМацИИ (с.== с, СО524) раССЕяННая В Еднинце объема за цикл энергия )Ус =- ~ а а с(! =.—.
чйЕ'-'с), а коэффициент поглощения сс —. ))с)'(/ = я 71Е 125, 7(Ес',12) == 2я7с!! . Ес ли имеется невращающийся невесомый круглый стержень и какая-либо точка его приводится в движение по заданному закону (на- Рис. 47Л! Рис 47 1с пример, точка А на рис. 47.11), то усилия, которые для этого нужно приложить, легко найти, установив, что форма изогнутой оси при отсутствии и при наличии трения одинакова.
Отсюда следует, что Р =- с (с -1- Ы); Р„=- с ()! + Ип), (47.23) где с — жесткость стержня на изгиб. Формулы (47.23) показывают, что для невращающегося стержня внутреннее вязкое трение играет такую же роль, как и внешнее трение; силы трения (сй 5 и с)с)1) пропорциональны скорости перемещения нагруженной точки стержня. Теперь рассмотрим стержень, вращающийся с постоянной скоростью ы (рис, 47.12). Наряду с неподвижными координатными осями х, у введем оси с, 11, вращающиеся вместе со стержнем. В этих осях стержень л!ожно рассматривать как неподвижный, поэтому для проекций сил на эти оси справедливы формулы (47.23).
П ерейдем от вращающихся координат $, )! к неподвижным х, й' '. = хсо50)(+ ц 51п 0)1; т, =:=. — х51пи)1+ цсози)1; с = х соз и)! + у айп и)| — и) (х 51п и)1 — у созе)!); 'с) — — — — х 51п и)( — ', и со5 сс1 — и) (х созе)1 + ц 5! и и)1). Далее, учитывая, что Р, = Р, сова( — Р яп а(; Р = — Р, яп а(+ Р сова(, получаем окончательно: Р„ = сх т- йсх + йсау; Р = — су + йсу — йсах. (47.24) Рассмотрим некоторые частные случаи формул (47.24). Статическое нагруасение вращающегося вала вертикальной силой Р(рис. 47.13).
В этом случаех -О, у .— О, Р— О, Ри —. — Р. Имеем; Р 1 Р (си (47.25) Существенно отметить, что под влиянием внутреннего трения плоскость изгиба вала отклоняется от плоскости действия силы на угол »7 ~1йср = = йа = о((2я)!. Круговые колебания вала. Пусть точка А вала движется по окружности радиусом г с угловой скоростью р: х = =- гсозр(; у -= гз»пр(. Получаем: Рис.
47 (а Р, =- сг(совр( — й(р — а) япр(); Ру = сг ~в(п(1-1 lг(р — а) ссз р(). Проектируя эти силы на направление радиус-вектора г и пер»»ендикулярное ему (рис. 47.14), устанавливаем, что для поддержания такого движения надо приложить радиальную силу Р, =- сг и окружную Р, =. сгй(р — а). 'г Сила Р, — упругая, она в процессе движения не совершает работы, работа силы Р, затрачивается на преодоление внутреннего трения.
Эта работа за цикл составляет Ж' =- 2 иг Р,= 2 исг Ч(р — а). Збб Заметим, что знак работы 1>» зависит от знака разности (р — а). Если скорость вращения Рис. 47.!4 а меньше, чем частота круговых колебаний р, то >й")О и для преодоления сил внутреннего трения требуется расходовать работу. Если скорость вращения а больше, чем частота колебаний, то >1»'( О и не только не требуется расходовать работу на преодоление сил внутреннего трения, но, наоборот, эти силы создают работу, Разумеется, речь идет лишь о том, что сплы внутреннего трения при а ) р преврашаютэнергию вращения вала в энергию его колебаний. Таким образом, при и> ( р внутреннее трение способствует устойчивости движения, а при а) р — неустойчивости.
Заметим, что если скорость вращения и> и частота круговых колебаний р совпадают (как это имеет место при колебаниях, вызываемых неуравновешенностью), то %' - О и внутреннее трение не оказывает влияния на движение. Причина этого очевидна: если а = р, то при вращении вала напряжения в его С волокнах не меняются и внутреннее тре. ние отсутствует (см, рис. 47.15, на кои> тором схематически показаны четыре последовательных положения вала через четверть оборота).
Рис. 47.15 Рис. 47.(Б Если имеется внешнее вязкое трение, то для приведения точки А вала в движение к ней надо приложить силу, равную произведению коэффициента вязкого трения а на скорость точки А и направленную по этой скорости. При круговом колебании (рис. 47.16) эта сила составляет Р; .=.—. агр. При наличии каквнутреннего, так и внешнего вязкого трения для поддержания движения нужно приложить окружную силу Р, равную сумме: Р = Ри +Р2 = г (и(» + сй (р — м)) Очевидно, что условием устойчивости движения является неравенство Р ) О или а ) сй (и> — р)/р.
(47.26) В этом неравенстве под р следует понимать частоту собственных колебаний системы без трения, так как при граничном значении и полная сила сопротивления Р равна нулю и трение не влияет на движение системы. Формула (47.26) показывает, что движение жесткого вала (т, е, вала, вращающегося со скоростью, меньшей критической) всегда устойчиво. Для гибкого вала (а) р) устойчивость движения зависит от соотношения между внешним и внутренним трением. Случай невязкого внутреннего трения рассмотрен в книге [11), там же приведена обширная библиография по этому вопросу.
Неустойчивость ротора в связи с трением в зазорах рассмотрена Зб7 Рис. 47.19 Рис. 47.17 Рис. 47.1В х) х'| .х, ал' а) Рис. 47.21 впервые П. Л. Капицей'. Сущность явления такова. При движении быстро вращающегося ротора в корпусе турбомашнны среда (жидкость или газ), заполняющая зазоры, увлекается во вращение. При этом если сместить ротор из центрального положения (рис. 47.17), то в узкой части зазора скорость п~ движения среды будет болыпе, чем в ши- рокой части (са).
В связи с этим и силы трения ротора о среду в этих частях окажутся различными, что приведет к возникновению составляющей силы трения 17, перпендикулярной смещению г. Как видим, здесь имеет место такое же явление, как и при внутреннем трении. Если сила Я больше, чем сила внешнего вязкого трения при круговом колебании ротора, при котором его центр перемещается с угловой скоростью р по окружности радиусом г, движение ротора будет неустойчивым. Неустойчивое движение такого рода действительно наблюдалось П. Л. Капицей на специальном приборе, который показан иа рис. 47.18.
Полый алюминиевый диск 2 диаметром 120 мм и высотой 20 мм, расположенный в кольце 1, приводился во вращение двигателем В. Зазор между диском н кольцом 9 мм, частота вращения диска 7000 об/мнн. Чиск с моторчиком подвешивался на стержне б к диафрагме 7, Частота собственных колебаний системы относительно точки подвеса р — 8 с'. Запись колебаний системы производилась фотографически с помощью светового пучка, отражающегося от зеркала 8, прикрепленного к стержню б.
демпфирование в системе создавалось с помощью диска 5, который был прикреплен к стержню 6 и погружен в сосуд 4, наполненный маслом. Сосуд 4 мог опускаться вниз, и такилг образом делепфер выключался. Полученные экспериментально траек- * См.: К а п и и а П. Л. Устойчивость и переход через критические обороты быстровращающихся роторов при наличии трения. — Техническая физика, 1939, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
