Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 59
Текст из файла (страница 59)
4Д2 о — 1/с — Ь' ! ток (43. 13) У,= ] Р(О)У''(г — 0)бй о ударяющихся тел, связаны с контактной силой статическими зависимостями. Однако в отличие от теории Герца наряду с местныл|и (44.4) )к(Г) = )к1О (1) + УИ1(1) 334 335 что всего на 1',о отличается от точного значения. Графики изменения контактной силы согласно точному (!) и приближенному (2) решениям сопоставлены на рис. 43.3. Графики изменения перемещения практически совпадают. Разумеется, в данной простой задаче линеаризация зависимости Р(а) никакого смысла не имеет.
Однако в более сложных случаях (см. 3 44) этот прием позволяет существенно упростить расчет. За- метим прп этом, что учитывать величину а, не обязательно, так как ее учет приводит лишь к смещению времени начала и конца удара, но не влияет на изменение контактной силы во времени. Поэтому можно считать, что контактная податливость по Герцу может быть заменена линейной податливостью, величина которой зависит от величины максимальной контактной силы. 4 44. ТЕОРИЯ СОУДА1*КНИЯ УПРУ1"ИХ СИСТЕМ, У[111ТЫИА1ОЩАЯ МЕСТИЫК И ОБЩИК ИХ ДЕФОРД1Л1[ИИ Так же как и теория Герца, теория, излагаемая в настоящем параграфе, основана на гипотезе о том, что местные деформации, развивающиеся вблизи контакта со- деформациями принимают во вни- мание и общие деформации, кото[[к[ ° рые рассчитывают методамп теории колебаний.
В этом случае задача существенно усложняется, и лишь в редких случаях удается получить решение в замкнутой форме. Иетрудно, однако, указать общий алгоритм, позволяющий провести числовой расчет соударения тел в том случае, если решение зада [и о вынужденных их колебаниях известно Рассмотрим соударение двух упругих тел, например стержня и балки (рис. 44.1). Пусть начальная скорость соударения равна со и действием постоянных сил (например, веса) за время удара можно пренебречь. Условием контакта тел является совпадение координат точек их контакта: г,— г,=О. Если за начало отсчета времеви принять момент соприкосновения тел, то «о =- пог — а У[ — Уо.
Здесь а — сближение тел за счет контактных деформаций; у, и уо— перемещения точек контакта обоих тел, вызванные контактной силой РЯ, но подсчитанные без учета местных деформаций. Итак, при наличии контакта между телами ул + уо + а = ног; Р (Г) ) О. При отсутствии контакта У[+ Уо ~ "о!' а = 0' Р (1) =- О. (44.2) Если в уравнении (44.1) перемещения у„у, и а выразить через силу Р(1) взаимодействия тел, получим условие для определения этой силы. В соответствии с принятыми гипотезами сближение тел в связи с контактной деформацией связано с силой Р статической зависимостью Р = Р(а), а =- а(Р) (44. 3) ]при начальном касании в точке эта зависимость имеет вид (43.1)].
Перемещения у, и у, удобнее всего связать с контактной силой, используя реакцию каждого из соударяющихся тел на единичный импульс (см. 3 3): у, = ~ Р (й) у"' (г — о) бо. о Здесь 1 ~ "у' ~ — Реакции на единичный импульсдля двух соударяю 3 ССь )к([1 Сн шихся тел. Подставляя выражения (44.4) в условие контакта (44.1), получаем следующее интегральное уравнение, определяющее контактную силу: с ~ Р (О) )к (1 — 0) [10 + а (Р (1) ! = — по!. (44.5) о Здесь и уравнение (44.5) справедливо только при Р(1) ) О. Уравнение (44.5) является основньп! уравнением, определяющим закон изменения контактной силы; это уравнение впервые было получено в 1913 г.
С. П. Тимошенко (см. [50[) для частного случая изгибающего удара жесткого груза по балке. Структура уравнения (44.5) подсказывает способ его решения. Так как интегральный член зависит от значений контактной силы во все предшествующие рассматриваемому моменты времени, то при достаточно малом шаге интегрирования по времени й 1 можно пренебречь в интегральной сумме изменением силы за интервал 1 — с.")1 ~(0 -< 1. Тогда сила будет определяться по формуле ! — Рс ы Ро)-» а) — ( Р(»))() — 0)»э — Р() — »)) 1 ) (э)г»]. (4)г) о б В случае, если Р(а) =- /гас»'2, с — л! Л! -22 Р(1) =- )г,' ь«1 — ] Р(0) У(1 — О) с10 — Р(1 — Л1) ] У (О) дО (44,7) По формуле (44.6) «южно шаг за шагом вычислить зависимость контактной силы от времени.
Практические вычисления по этой формуле затрудняются, в связи с тем что Р'( для получения необходимой точности следует выбирать весьма малый шагЛ1 и на каждом шаге агс1уР' заново вычислять интеграл, входящий в выражение (44.6). а'сгУРгг р ( ' Существенно более удобный расчетный алгоритм предложен в книге [40].
г)1[ Закон изменения контактной силы аппроксимпруется ломаной Риа И2 линией с изломами, расположенными через равные промежутки времени««1(рис. 44.2). При этом требуется, чтобы условие контакта (44.1) выполнялось в моменты 1 = О, 1 =.—. Ь1, 2с»1, ЪИ1, В произвольный момент 1 ==И1 график изменения контактной силы характеризуется величинами р р Р) — Р) ! О р р Р;,) — 2Р)+Р! ! ! «с ) ' (+! Теперь перемещения у, и у, можно определить, используя реакцию каждого нз соударяющнхся тел Уо на линейно возрастающую нагрузку: с — ! у, =-- "~ О У [(с — А)Л1[; (!) «=-о 336 (2) у...
=- ~' 0«У [(с' — )г) Л1[. ь-о Подставляя эти выражения в условие контакта (44.1) для момента 1 = 1г«1, находим » — 1 "~" 0«У« [(с — й) Л1[+ а (Р() — -= по151. «=о Здесь 2 2 + 2 « — ! Уравнение (44.8) позволяет в явной форме определить0 ! с если все предыдущие значения д известны. С этой целью нелинейную зависимость а(Р) следует разложить в ряд и ограничиться двумя членами разложения: а(Р!) =- а(Р + О,,Л1) = а(Р«) -(- О;,а'Л1. (44 9) Здесь ) — 2 Ра = Р;, + Р,, Л1 = ~~~ 0«(с — )г) Л1, а' = [ — 1 (, ()Р /Р=Р, Тогда из формулы (44.8) получим С вЂ” 2 "осл1 — ~ о«Уа [(! — «) лс[ — а (Р,) Оьа == «=о )-! —, . (44.10) При окончании контакта в момент 1 = гс" 1 оказывается Р„= О.
Следует учитывать, что в этот момент уклон графика Р(1) становится равным нулю и поэтому ! †! О„=.= — Р, === — ~~)' О„. «=-о Формула (44.10) непригодна в точках, где а'-»- и, в частности, если справедлива формула Герца а - (Рl)г," для первого момента соударения. Для этого момента следует отказаться от разложения (44.9) и определять ба нз нелинейного уравнения О, У! (Л1) " !')«Л11)г) " поЛ1 (44. 11) Расчеты существенно упрощаются, если линеаризовать, как это указывалось в предыдущем параграфе, зависимость местнон деформации от контактной силы и принять а = ор, (44.
12) 337 е б — постоянный коэффициент податливости, зависящий в соответ- гд вии с формулой (43.13) от максимальной контактной силы, 4 -г/г ~/г — — Рл~ах 5 Расчет податливости по этой формуле проводится методом после- овательных приближений. Задавшись Рл„„определяют б, а затем, решая задачу, удара, находят Р„„, и уточняют значение б. Так как ~ависимость б от Р„„, слабая, расчет сходится быстро. При использовании линеаризованной зависимости (44. 12) а(Р) формула (44.10) для определения изменения уклона кривой контакт- ного давления упрощается и принимает вид сл!л! — ~~ эг1хг [1! — ь) л!1 — вР О (44.
13) 12( 0+45! причем знаменатель ее является постоянным. Для первого момента удара соответственно получаем ага! (44. 14) Уг(50+ га! В качестве примера приложения изложенного метода рассмотрим удар стального груза массой 1 кг, движущегося со скоростью ов = = 1,5 м/с по стальному стержню, раза) меры которого указаны на рис. 44.3. Р.
Конец стержня, по которому произво- Р дится удар, — сферический, другой конец жестко заделан. Рассмотрим сначала нагружение стержня линейно возрастающей силой Р(1) =- 61 (рис. 44А, а). ~й! Используя методы, изложенные в 2 22, гбь можно установить, что скорость конца хабб б в аг в !в —, В В 4 б б) в св —, аг а1 в гв! Рис. 44.3 Рис.
44.4 стержня изменяется так, как показано на рис. 44.4, б. При 0 ~ 1 ( 21/а (а = )/Е/р — скорость распространения волны) скорость растет пропорционально времени (и нагрузке): и = (а/ЕГ)01. В момент 1 = 21/а, когда скорость достигает значения (2/гЕР) О, приходит волна, отраженная от заделки, и скорость начинает уменьшаться по линейному закону, обращаясь в нуль при 1 =- 41/а. График смещений (рис. 44.4, в) может быть получен интегрирова- пнем скорости. Он состоит нз отрезков квадратных парабол: при 0 - 1 ( 21/а х = — ОР/(2ЕРа) (а1/1)г; при 21/а (1(41/а х = =-. ЬР/(2ЕРа) (8 — (4 — а1/1)г[; при 41/а -1:- 61/а х =- ОР/(2ЕРа) [8[- —,'- (а//1--4)'[ и т. д.
Соответственно реакция стержня на линейно возрастающую единичную нагрузку выражается следующими формулами: при 0 <1(21/а У!гО(1) =.. х/О = 1'/(2ЕРа) (а1/1)г. при 21/а (1 ~ 41/а Уг!О (1) == Р/(2ЕРа) (8 — (4 — а1/1)г)1 (44.15) при 41/а(1( 61/а Уг!0(1) =- 1г/(2ЕРа/[8 [- (а1/1 — 4)'[ и т. д. Теперь найдем реакцию на линейно возрастающую силу Р(1) = =61 жесткого груза массой т.
Сила Р(1) вызывает ускорение груза х =61/т. Интегрированием (при нулевых начальных условиях) находим х = (О/т)(1г/6). Реакция на единичное воздействие определяется формулой Уг 1 (1) = хРЗ = 1 /(бт). (44. 16) 1.!так Уг(1) =- Угп1(1)+ Уг~~~(1), где Уг!'1(1) и Уг11(1) вычисляются по формулам (44.15) и (44.16). Для рассматриваемого случая коэффициент /с в формуле Герца )г =, Е)/й =- 2. 10" )У4 10 '= з(! — рг) з(1-о,з) 2 92.10'в Н ь! — г!г Оценивая максимальную контактную силу величиной Р„„, = 15 000 Н, находим величину эквивалентной линейной податливости: 3=- — /г Р, =-3,4 10 г и/Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
