Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Однако полученные общие соотношения справедливы и для более сложных систем. Так, для линейно-упругой системы можно ввести главные координаты, и тогда движение по каждой из координат будет определяться самостоятельным уравнением. Наряду с рассмотренными выше системами, в которых защита от вибраций достигается с помощью пассивных элементов (упругостей, демпферов), в ответственных конструкциях используют также системы активной виброзащиты.
В этих системах вибрации подавляются за счет энергии постороннего источника, управляемого системой автоматического регулирования. Поведение системы изоляции при ударных воздействиях. В данном разделе под ударным будем понимать кратковременное воздействие на объект.
В качестве приме ра рассмотрим систему виброизоляции (рис. 46.8, а), в которой «основание» получает ускорение в соответствии с рис. 46,8, б. В результате этого воздействия основание начинает двигаться со скоростью о — /,О. Объект массой т связан с основанием защитной системой, которая должна снизить макси- 0 мальпое ускорение объекта до ве- личины /,(/«. Отношение у -/,//', будем называть коэффициентом изоляции. В простейшем случае система изоляции представляет собой линейную пружину жесткостью с. Трение не оказывает существенного влияния на движение объекта в наиболее интересные первые моменты, и его можно не учитывать.
Уравнение движения объекта следующее: где $ — смещение основания. При О<- /(О ~ = /о/»/2 при 1) 0 ~ == /„[П/2 — (/ — 0)«/2]. Соответствующие этому значению в решения уравнения (46.7), отвечающие нулевым начальным условиям и условиям непрерывности при 1 =- О, таковы: при 0 ( / ~ О х == )„[!»/2 — (1 — совр/)/р»[; при / ) 0 х /„(!»/2 — (/-- 0)'/2 — [совр(1 — О) — совр/]/р«).
Ускорения объекта равны: при 1~ 0 х — 1,[совр(! — 0) — совр!] -=- 2/,сйп(рО/2) 3!п р(/ — О/2). Так как максимальное значение х должно быть меньше /„то очевидно, что рО должно быть, во всяком случае, меньше и/2 и максимум х имеет место при /) 0 ), = [ х [„,„==- 2/а э[п (рО/2). Таким образом, коэффициент изоляции определяется формулой у — — /»//о 2 сйп (рО/2). (46. 8) Подсчитаем еще максимальное смещение объекта относительно основания: ! 2 .
рз — )„«„=-/, — [совр(1 — О) — с р/],„=/« — сйп —. Р« Р» 2 Эту величину можно связать с коэффициентом изоляции у: (« — х)„„.= /,0»у/[2 агсз!и (у/2)]', Полагая агссйп(у/2) жу/2, находим Я вЂ” х),„,„= /„0»/у. (46.9) Таким образом, чем меньшеу, т. е. чем лучше изоляция, тем больше ход амортизатора. Во всяком случае, даже при у = 1 этот ход не может быть сделан меныпе /,О', т. е. меныпе удвоенного перемещения основания за время О, Большой ход является основным недостатком линейной системы изоляции.
Причины этого недостатка очевидны: в течение времени 9 основание движется с постоянным ускорением„а затем с постоянной скоростью; между тем ускорение объекта в начальный момент равно нулю и лишь постепенно возрастает до допустимой величины /, —. =-у/,. Можно существенно уменьшить ход защитной системы, если с самого начала дать объекту допустимое Г[ по величине ускорение. Для этого к нему "Р" " " У силу г = т/у. Эта сила может быть реа- У РУ х-с линейной характеристикой (рис. 46.9), элемента сухого трения или гидравлического демпфера с клапанами, открывающимися при заданном давлении. Рис.
46.Я Рассчитаем движение объекта при рассмотренной оптимальной системе защиты. Пока скорости объекта и основания не выравняются, объект движется с постоянным ускорением х = !,Р/2. Относительное перемещение (при /) 9) определяется равенством 5 — х = ! [(1 — у)/е/2 — (! — 9)е/2), В момент ! = 9/у эта величина достигает максимума: (э — х)уууах — !09 (1 — у)/(27).
Сравнивая эту формулу с формулой (49.9) для линейной системы защиты, устанавливаем, что отношение ходов составляет (1 — )/2. Таким образом, ход сокращается по крайней мере вдвое, и выгода тем болыпе, чем ближе к единице необходимое значение коэффициен- та у.
4 47, кОлеБАниЯ ВРАЩАюЩихпЯ ВАЯОВ Вводные замечания. Расчет колебаний вращающихся валов является весьма важной частью расчета турбомашпн. Прежде всего расчет необходим для определения частот собственных колебаний вала в е- Ц лях исключения явления резонанса. Однако этого недостаточна. Вал, вращение которого поддерживается двигателем, обладает большим запасом кинетической энергии. При некоторых условиях эта энергия может переходить в энергию поперечных колебаний.
Тогда движение прямолинейного вала становится неустойчивым. Таким образом, необходимо также выяснение условий устойчивости движения вала. В данном параграфе рассмотрены расчет частот собственных колебаний и совпадающих с ними критических скоростей вала, устойчивость движения вала, а также изложены особенности поведения анизотропно упругих валов.
354 Более подробное изложение вопроса содержится в монографии [22). Колебания безмассового вала с эксцентренно закрепленным диском. Критическая скорость вращения. Рассмотрим вал, вращающийся в двух подшипниках (рис, 47.1), в среднем сечении которого закреплен диск. Предположим, что центр массы т диска смещен относнтель- Рис. 47.1 но центра вала на величину е. Собственной массой вала можно пренебречь. Обозначая проекции прогиба вала на оси х, у буквами $, ть выразим каардиназы центра массы диска в таком виде: х = 5+ е сов ьУ/; у =- У! + е Уйп еУ/.
(47.1) Составим уравнение движения диска: тх-'; се=-0; ту+ ет[= О. (47.2) Здесь ( — сс), ( — ен) — проекции силы упругости вала на оси х,у. Подставив в уравнения (47.2) значения х, у, получим: тС + г5 = теоР соз ы/; тй -';- сУ! = теоР Рйп Ы. (47,3) Стационарное решение уравнений (47.3) имеет такой вид: соз ау/; Н =. з!п ы/, (47.4) яР/"Р— ! я'/"' — ! здесь р ~'е,'т -- собственная частота колебаний вала с диском. Как видно из формул (47.4), при скорости вращения, приближающейся к частоте собственных колебаний, амплитуды колебаний стремятся к бесконечности. Эта скорость вращения называется критической. Формулы (47,4) показывают, что при стационарном режиме центр вала движется с угловой скоростью ьу по окружности радиусом Г= (47.5) рР/щУ При этом центр вращения О, центр вала О, и центр массы диска О, находятся на одной прямой.
В зависимости от соотношения уе/р взаимное расположение этих точек различно, Прп уэ ( р точки О и О, лежат по одну сторону от центра массы О, (рис. 47.2, а), а при ьУ ) р — по разные (рис. 47.2, б). Зависимость г от отношения ы/р показана на рис. 47.3. При стремлении скорости вращения к бесконечности г-у- — е и центр массы диска О, неограниченно приближается к центру враще- 355 се — тр'е (47.6) г, е' ~ 5 2 1 а -1 х -5- -Фй а) ау< оухР е 17 2221 х 0', == 1»йх+ 1ОООбу' 21 Рис. 47.2 Рис. 47Л Рис.
47.4 Мх =- — 1.2 =-1,йх+1 12 1ооуйх' у 11 у 2 у О х' (47.7) х = — тхйц — (1261 — 1омйх) 3226 6 = — П1Х622 — ( 123 1осойх ) 622' у 367 336 ния О. Зто явление называется самоцентрированием. Оно используется в конструкциях машин с так называемыми гибкими валами, т. е. с валами, собственная частота которых меньше угловой скорости вращения. Преимуществом гибких валов является ограничение сил инерции и соответствующих им реакций в опорах величиной при увеличении скорости вращения. По этой причине гибкие валы обычно применяют в машинах, где не может быть обеспечена точная балансировка ротора (центрифуги, стиральные машины и т. и.).
В этих случаях используются также весьма податливые опоры подшипников, что позволяет снизить собственную частоту системы и, следовательно, величину динамических нагрузок (см. формулу (47.6)). Гибкие валы используются также в конструкциях высокоскоростных турбомашин (газовые турбины, турбонасосные агрегаты и т. п.). Недостатком турбомашин с гибкил1 валом является возможность развития вибраций с большилои амплитудами при проходе через резонанс в процессе разгона или торможения (см. 3 5), а также возможность неустойчивости движения (см.
ниже). Влияние гироскопических моментов на частоты собственных колебаний вала. Если скорость вращения вала н моменты инерции насаженных на него дисков относительно невелики, частоту собственных колебаний вала можно определить по теложе формулам, что и частоту колебаний балки с грузами. В противном случае существенное влияние на характер колебания оказывают моменты сил инерции, возникающие вследствие угловых перемещений осей вращающихся масс. Рассмотрим движение диска, насаженного на невесомый вал, вращающийся с угловой скоростью м. Предположим, что в результате упругих деформаций вала ось вращения диска гл составляет с неподвижными координатными плоскостями гу и гх малые углы бх и б (рис.
47.4). Моменты инерции диска относительно связанных с ним осей хь уь гл обозначим: 1», — 1о' 1», 1у, 1ь Для определения моментов, воздействующих на диск со стороны вала, применим теорему, согласно которой производная по времени от момента количества дв и ства движения равна моменту внешних сил. Угловая скор р ость вращения диска относительно оси а»равна Оу,следовательно, момент количества движения относительно этой о „ .†.
о Скорость вращения относительно связанной с диском оси х, равна „, и Ьх, мом-нт количества движения относительно оси х, 1.„—. 129„. Скорость вращения от- 2) х носительно оси у, равна у й, и соответственно 1.и, = у =1,0у Моменты количества движения относительно неподвижных осей х и у найдем, спроектировав на эти оси моменты 1... 1.и,и 1.
»,.' 1.2 =- йх, -- 6„11у-- = 126у — 10вйх. Моменты приложенных к диску сил относительно осей х и у найдем по таким формулам: Очевидно, что точно такие же, но противоположно направленные моменты передаются с диска на вал, ((роме того, на в а вал воздействуют силы инерции диска тх и ту, где х и у — проекции полного смещения диска на оси х и у (рис. 47.5). ОГ чим: 6 — смещение диска при действии единичной силы; уозначим: — в от от ействия 62, — поворот от действия той же силы; 622 — повор д " единичного момента ис. 47.6). Используя эти обозначения, можно выразить смещения диска х н у через действующие силы: р= — д0„+(1,0 )1 Ь)0. (47.8) о) 'Ч т, Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
