Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 65
Текст из файла (страница 65)
1Х, вып. 2. торин движения диска при выключенном демпфере и при включении его представлены на рис. 47.19, а, б. Из рис. 47.19, и видно, что при выключенном демпфере имело место спиральное движение, амплитуда которого увеличивалась до тех пор„ пока ротор не начинал ударяться о кожух. При включении дем- пфера центр диска двигался по сходшцейся спирали (рнс. 47.19, б) и вскоре колебания нрекращалнсь. Природа неустойчивости, связанной с трением масла в подшипниках скольжения, аналогична. Критические скорости анизотропно упругих роторов.
Рассмотрим колебания вала, жесткость которого различна в направлении главных осей поперечного сечения (вал со снятыми лысками, со шпоночноп канавкой и т. п., рис. 47.20). Предположим, что на валу имеется одна масса т (рис. 47,21, а). у' ""22 В этом случае податливость системы 2 " в некотором фиксированном в пространстве направлении является переменной, так как при вращении Рис.
47.20 вала с этим направлением совпадает то ось наибольшей жесткости вала, то ось наименьшей его жесткости. Очевидно, что за один оборот вала податливость проходит полный цикл изменения дважды. Для решения поставленной задачи удобнее всего рассматривать движение массы т в подвижной системе координат хь уо вращаю- щейся вместе с валом (рис. 47.21, б), Вращение вала будем считать равномерным.
Во вращающихся координатах полное ускорение массы т состоит из центростремительного ускорения, ускорения Кориолиса и гскорения в относительном движении. Проекции ускорения на оси х,, у, составляют: /,, = х, — в'х, — 2ву,, / = у, — агуг -г- 2вхе г Здесь х„у,— -перемещения центра массы в направлениях х„у,. Учитывая, что приложенные к массе силы упругости вала составляют — е,х, и — егу„где с, и е,— жесткости вала в направлениях х„у,, можно записать уравнения движения в таком виде: т/, + е,х, = 0; т/ + сгу, = О.
После подстановки значений / приведем'уравнения к такому виду. х, —, ( р, — аг) х, — 2ву, =- 0; (47. 27) г у, -,'— (р — вг)у,.,'. 2ах,: — О, где р, — -- ): е,/т, р, =- )'сг/т — собственные частоты при колебании невращающегося вала в направлениях наименьшей и наибольшей его жесткости. Решение уравнений (47.27) ищем в форме х,=ае', у,=йе". (47. 28) Подставим выражения (47.28) в дифференциальные уравнения (47.27) и сократим на е". Тогда получим следующую систему урав- нений относительно а и Ь: (зг+ рг — а') а — 2вей = О, 2огеа+ (е'+ рг — вг) Ь =.— О. Эти уравнения могут удовлетворяться при а и Ь, не равных нулю только в том случае, если их определитель равен нулю.
Таким образом, получим следующее уравнение, определяющее характеристический показатель ее е'+ е'(Рг + Рг + 2в) + (Р~ — вг) (Рг — а) =- О Отсюда находим значения зг =-- — ~ — ( р1 + р,' + 2в') -+ Ь ( р1 — рг)' + 8со' ( р1 + рг ) ) . 2 Как видно из полученной формулы, оба значения е' являются действительными. Положительные значения е', а значит н е, соответствующие неустойчивости движения вала, имеются, если (Р| — рг) + 8вг (р1 — ' Рг) ~ р 1- р, +2вг. 370 Упрощая это неравенство, получаем условие неустойчивости движения в форме (р1 — а)(рг — гог) ( О. Это условие выполняется, и движение вала неустойчиво, если скорость вращения вала го находится между двумя частотами собственных колебаний неподвижного вала: (47.
29) Рг ~ а ~ Рг. Таким образом, для анизотропно-упругого вала имеется область скоростей, соответствующих неустойчивому движению. Если вал расположен горизонтально, то в уравнениях движения (47.27) кроме сил инерции необходимо учесть силу тяжести ту. Проекции этой силы на подвижные оси х,, у, составляют — пгуз(пег/ и — тдсозвй Уравнения (47.27) с учетом этих сил принимают такой вид: г х, + (Р, — вг) х,— 2аУг —— — УЯпв/; у, +- ( р' — в') у, + 2ах, =- — усов ай (47.30) Если го не лежит в области неустойчивости (47.29), то движение устойчиво и стационарное решение неоднородных уравнений (47,30) можно представить в форме х, = А сйп а/, у, --=- В соз ай Подставив эти значения в уравнения (47.30), найдем из них: г — 4мг р1Р— 2ггг( рг+ рг) Р", рг — 2 г(Р1+ Пг~) Очевидно, что амплитуды колебаний возрастают, если знаменатель приближается к нулю, т.
е. если го — ~ ао, где ао = )/ р,ргК2(р1+ ргг)), (47. 32) а р, и р, — собственные частоты вала при колебаниях в направлении наименьшей и наибольшей жесткости. Если жесткости вала в двух направлениях различаются не очень сильно, то р1 ж рг и в„ж р/2. Таким образом, критическая скорость второго порядка, возникающая при вращении горизонтальных валов с различной жесткостью в главных направлениях, примерно вдвое меньше, чем собственная частота колебаний вала. Критическая скорость второго порядка, примерно вдвое меньшая, чем обычная критическая скорость, неоднократно наблюдалась на практике при вращении горизонтальных валов с различными жесткостями, в частности прн вращении роторов двухполюспых электрических машин, различная жесткость которых обусловливается наличием вырезов для обмотки, 371 )( Рис. 4В.! (48.
6) а) М; = М соз Р -'- Миз(п р; Мч =- — М,сйп р + М„соз р. (48. 1) Рис. 43.2 372 373 Из формул (47.31) видно, что для вала с равными жесткостями критическая скорость второго порядка отсутствует, так как в этом случае при с» = р/2 одновременно со знаменателем обращается в нуль и числитель. 4 48, КОЛББАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБОИАг!гИН Колебания лопаток турбомашин возникают вследствие неравномерного по окружности потока рабочей среды, а также в связи с возмущениями, вносимыми в поток лопатками направляющего аппарата.
Задачей проектировщика является расчет собственной частоты колебаний лопатки и выбор такой ее конструкции, чтобы исключить возможность резонанса. Лопатка газовой турбины или компрессора представляет собой стержень переменного сечения, заделанный одним концом. Ось лопатки обычно является слабо изогнутой пространственной кривой, но при расчете частоты колебаний можно с достаточной точностью считать, что ось лопатки прямолинейна н перпендикулярна оси вращения ротора. Трудности расчета частоты собственных колебаний лопаток связаны с необходимостью учитывать влияниецентробежных сил и с тем, что лопатка представляет собой естественно закрученный стержень, главные оси различных поперечных сечений которого не паралт лельны друг другу.
Закрученная лопатка в процессе колебау ний испытывает косой изгиб. Установим соотношение между изгибающими моментами и х кривизнами для этого случая. Поперечное сечение лопатки, расположенное на расстоянии г от оси вращения, отнесем к осям х, у, направленным соответственно параллельно оси вращения и по касательной к окружности (рис. 48.1). Главные осн сечения $ н т1 составляют некоторый угол гр с осями х и д. Площадь сечения, моменты инерции его, а также угол ер являются функциями радиуса г или расстояния г данного сечения от корневого сечения лопатки.
Положительные направления изгибающих моментов, приложенных к внутренней части лопатки, свяжем с направлениями х, у, ч, т1 правилом правого винта. Изгибающие моменты относительно осей х, 17, я, !1 связаны следующими соотношениями*: * Звездочками помечены текущие значення переменных, теми же буквамн без звездочек обозначены нх амплитудные значения. Кривизны, отнесенные к главным осям сечения $, т1, выража!отея через изгибающие моменты относительно этих осеи: х, .= М, / (Ез' ), х, —.=М, / (ЕХ,) .
(48.2) Кривизны, отнесенные к осям х, д, получим проектированием: х„= х созР— -х япкь х =-. х„з(пР л-х„созР. (48.3) у После подстановки значений х,, х и выражений моментов М,, М, через М„, М найдем: "/ 1 ! т ., я уз|пав созвчд х =̄— — — з(пйсозР-'~-М, + ' ' . (48.4) "(ЕУ„Ы,) ' ' '~ БУ РУ, )' В этих равенствах кривизны могут быть заменены их приближен- ными выражениями: х„=- двое/дг' х, — — д'и*!дгз (48.
5) где и', и" — смещения центра тяжести лопатки в осевом и окруж- ном направлениях. Перейдем к составлению уравнений движения. На основе принци- па Даламбера рассмотрим динамическое равновесие элемента дг ло- патки в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
