Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Четыре корня характеристического уравнения равны: Соответственно полученным значениям корней характеристического уравнения общие выражения для функций и,, и, имеют такой внд: и, = С, соз аг + Св яп аг -1- Сэ сЬ рг + С4 з)ь сг; иэ = ~ — (Р— ' — ав ) (С, яп аг — С., соз аг) + ! — Р~А,(а ~, Ас .+ —,~~ " + 3в )(Свз)ьаг+ Сэс)ь'йг)1, , А, где С„...,С4 — постоянные, определяемые из граничных условий. На шарнирно опертом конце пружины (например, крепление прицепа пружины растяжения) условие отсутствия прогиба и момента приводит к равенствам На заделанном конце пружины (например, торец пружины сжатия) равны нулю проп!б и угол поворота: и! =-О, из =- О.
Наконец, на свободном конце пружины условия отсутствия изгибающего момента и поперечной силы приводят к требованиям с1из/бг = — 0; ои!/дг — и, = О. Таким образом, при любом закреплении концов пружины граничные условия могут быть записаны в виде четырех однородных линейных уравнений относительно С„...,С,. Равенство нулю определителя этой системы позволяет найти собственные частоты.
Для пружины, шарнирно закрепленной по концам, граничные условия (50.20) могут быть выполнены, если в общем решении (50.19) удержать единственную постоянную С, и принять аН = йа (й = 1,2, ...). (50.21) Тогда и, = С,з!п(йаг/Н); и,=— ! ~и лзь л (1 — Р/Аз! ~ Аз — — а ) Сз сов(йаг/Н), Для определения частот подставим значение а из уравнения (50.18) в равенство (50.21). Тогда при й = 1 получим плНь+ 2азтзНз — аь = 0 и далее с учетом значений т и и из уравнения (50.17) имеем + ! /) Н' ~ + з.4 А (1 А — )1 = О.
(50.22) Уравнение частот (50.22) можно, подставив в него значения А, А„т„((л/),„„записать в виде !, /( з/+ '-' — й — — ! — ! ! ! — — + /зз †. ! -',- 1-т.йз — — ( 1 — — ) = О, (50,23) где р, -.—.. я' !' А/(т,Н') — частота колебаний, вычисленная без учета продольной силы, сдвигов и инерции поворота витков; 32 Вь(лл+С) з 8 ( + Вь(Вл+ С) 1 ' 4 Вь (Вл+ С) йз = Определение частот из биквадратного уравнения (50.23) не представляет затруднений. В случае пружины из круглой проволоки Вл = В! = Е/! С = ВУр!В/С = ЕУ/(В/р) = 1+ !' 394 Приняв (ь = О,З, найдем ВлС ! 1 Вь (Вл+ С) 2+ !л 2 3 В этом случае /з, = 1 32 й, = 2 31 й, 0 932.
На рис. 50.7 представлены полученные по уравнению (50.23) зависимости отношения р/р, от вел!чины продольной нагрузки. Эти зависимости соответствуют низшей частоте колебаний для пружин с отношением НЗ =-1; 2; 3 (Н— саР " ЛФЛ""Г ' Гт т ! ТтГ я ной силой Р). Из графика видно, что при от- ~ ; ~ , ' !(5 сутствии продольной силы (Р†.= 0) частота собственных колебаний ,р~...„„,, „„, л частота р„ вычисляемая без учета сдвигов и инерции поворота витков. Прп растяжении пружины (Р ) 0) частота собственных колебаний увеличивается, а при сжатии (Р ( 0) — уменыпается.
Обращение частоты в нуль свидетельствует о неустойчивости пружины. Очевидно,что нулевая частота парие 50.7 лучается при значении Р = — Р„, обращающем в нуль свободный член уравнения (50.22): Р -ВА -дг и йг А, С,лавзее реепвл;елее льА А, ~ .4,/ Определение частот собственных поперечных колебаний пружин при закреплении концов, отличном от шарнирного, приводит к необходимости решать трансцендентные уравнения (2!. 4 5!. НРИНЦИПЫ ВИЕРА!(ИОННОГО НЕРЕМЕН[ЕНИЯ Вводные замечания. Рабочий орган вибротранспортпой машины совершает циклическое движение, причем в конце цикла он оказывается в том же положении, что и в начале, транспортируемый же груз при каждом цикле продвигается вперед.
Такой эффект возможен только в существенно нелинейной системе. Источником нелинейности в вибротранспортных системах является сухое трение. Вопросы теории вибрационного перемещения детально рассмотрены в монографии [8!. Там же приведена подробная библиография. В настоящем параграфе излагаются лишь принципы работы вибротранспортных устройств при горизонтальной транспортировке. При этом совершенно не затрагиваются вопросы устойчивости стационарных режимов движения. 395 Вибротранспортировка при постоянном давлении. Имеются два основных типа вибротранспортировки — с постоянным нормальным давлением груза на рабочий орган и с переменным давлением (с подбрасыванием). Рассмотрим сначала первый тип транспортировки. Груз (рис. 51.1) лежит на плоскости рабочего органа машины, который совершает горизонтальные колебания. Груз прижат к плоскости силой тяжести гпд, а горизонтальное движение груза вызывается силой трения, которую будем считать подчиняющейся закону Кулона.
В соответствии с этим законом сила трения по абсолютной величине не может превзойти рту, где р — коэффициент трения (для простоты не будем различать трение покоя и трение движения). Поэтому горизонтальное ускорение груза не может превзойти по абсолютной величине )гд. Если рабочий орган движется с ббльшим ускорением, обязательно имеет место проскальзывание. Так как требуется передвигать груз вперед (на рис. 51.1 слева направо), то, очевидно, целесообразно, чтобы при отрицательных ускорениях рабочего органа имело место проскальзывание.
Поэтому отрицательные ускорения рабочего органа (т. е. его замедление) должны по абсолютной величине превышать (гд. Наоборот, при положительных ускорениях проскальзывание нежелательно, поэтому здесь ускорение должно быть меньше (гд. Простейший закон изменения скорости рабочего органа, удовлетворяющий этим условиям, показан на рис. 51.2, а сплошными линиями. Здесь рабочий орган движется с постоянным замедлением 12>рд в течение времени 1, и с ускорением!,((гд в течение времени Йз условия периодичности движения следует: гг) 2! сг, г д ' в 1 в) Рис.
в!.2 1А = 12!2' оо = '!2121! Соответствующий за кон изменения ускорения рабочего органа показан на рис. 51.2, б. Так как !!))гд, в течение времени 1, имеет место проскальзывание и груз движется с замедлением(лд, что показано штри- ховой линией АВ на рис. 51.2, а. В точке В скорость груза оказывается больше, чем скорость рабочего органа, скольжение продолжается и груз движется с тем же замедлением, пока в точке С скорости груза и рабочего органа не выравняются.
Далее (линия С!)) груз движет- ся вместе с рабочим органом с ускорением !2. В точке О снова начинается скольжение, и процесс повторяется. График изменения ускорений груза показан на рис. 51.2, б штриховой линией; вне этого участка он совпадает с графиком ускорений рабочего органа. Перемещение груза за цикл определяется интегрированием скорости. Так как перемещение рабочего органа за цикл равно нулю, то существенно лишь относительное перемещение, которое выражается площадью В треугольника АСЕ.
Определяя абсциссу точки С, находим (121! )2в~г)1(ггз + !2)' Площадь треугольника АСЕ (ЕВ ~ (12+8 ~ = 9 (г!2~ 12) 1! 1 „1 !22 Учитывая, что 12=2!'21(12+12), где т=1,+1,— перлод колебаний рабочего органа, находим 5 = — 1 т —. 1 . 2 ! 1! — ия 2 !2+!20 1! -!'-12 Чтобы установить предельно возможное перемещение груза за цикл, заметим, что предельное значение 1, составляет !1гд (иначе будет проскальзывание).
Поэтому Всг2 2 12 Мт (Прн !2=1!я Н ),112 — 2- со). Среднюю скорость перемещения, груза и найдем, поделив Я на т.' 2122121(12 ~ 1М) цпгг = 1! 12. 2 (1 =ив ! ). (51.1) Из полученных зависимостей видно, что скорость перемещения груза возрастает с,увеличением периода качаний рабочего органа (т. е. со снижением их частоты).
При этом, конечно, ход рабочего органа з = 121! ! 8 + 121 /8 жр д 2218 быстро возрастает. Поэтому качающиеся конвейеры, в которых используется рассмотренный способ перемещения груза, — машины с большим ходом и малым числом ходов в единицу времени. Они приводятся в движение с помощью кулисных или кулачковых механизмов, осуществляющих закон движения, близкий к рассмотренному выше. Зал2етим, что условие 1, «рд, использованное нами выше, не является обязательным.
При наличии несимметричного закона движения (1, ~ !2) транспортировка будет осуществляться и в случае 12з»!гав, однако в этом случае расход энергии на транспортировку уве397 Здесь й = а,и5/д (51.7) и обозначая Риа Б!.3 Риа Я4 у=а, з!пи1; х = аз з|пи1, (51. 3) 399 398 лнчнтся, так как груз будет проскальзывать по рабочему органу не только вперед, но н назад. Для этого случая графики изменения скоростей и ускорений рабочего органа (сплошные линии) н груза (штрнховые) показаны на рнс. 51.3. Нетрудно установить, что время, определяющее момент изменения знака относнтельной скорости груза, 6=— 2 !5 4. 15 а средняя скорость транспортнровки груза о=ив 1 — 1, 4 1, +!5' скорость макснмальна прн 15!1,-5-6: о„„„= рут/4.
(51. 2) Сравнение формул (51.2) н (51.1) показывает, что яспользованпе ускорений 1'„превышающнх рд, нецелесообразно, так как скорость транспортировки не увеличивается, -Ч- а расход энергии повышается. Внбротранспортировка с подбрасываянем. Если в качающихся внбротранспортерах аснмметрня двнження, которая н дает эффект транспортнровання, достигается за счет (5 различия ускорений 15 н 15, то в машинах с подбрасыванием асимметрия связана с тем, что направление внбрацнй рабочего органа составляет некоторый угол с горизонталью. Рассмотрим основные зависимости, характерные для этого вида транспортировки. Ограничимся наиболее важным практическял! случаем, когда рабочяй орган движется по гармоническому закону.
В этол! случае вертикальная н горизонтальная составляющие его движения определяются формулами где а, = аз!па; а, =-асози, а — амплитуда колебаний рабочего органа (рнс. 5!.4). Закон вертикального движения транспортнруемого груза можно рассматривать независимо от закона его горизонтального движения, Предположпм, что удар груза о рабочий орган является неупругпм, будем также считать, что в течение некоторого времени груз лежит на рабочем органе. Тогда отрыв груза от рабочего органа будет иметь место в момент, когда вертикальное ускорение последнего по абсолютной величине станет равным ускорению силы тяжести: — у =- а и" яп и 1, =- к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
