Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Из сравнения видно, что закрутка лишь несущественно увеличивает основную частоту собственных колебаний. Поэтому в первом приближении низшую частоту собственных колебаний лопатки можно вычислять без учета закрутки. д — (гМ,", ) + М" дг Рис. 49.! дМ, + — ' — 14 г=О; дт д ° 2 дМ. — (М) — М + —" — дг=о дг д 7 и уравнение проекций д (~С),) дЯ„д~са~ дЧа с дсм 1 да, 2 + —" — рй — „+ а,йг — „-(- ое Ьг ~ —, -)- — — ~ = О. дг дв дс2 ' дг2 " ~гсдт2 г дг ~ Здесь третье слагаемое соответствует силе инерции, а четвертое и пятое — проекциям начальных напряжений на нормаль к деформированному элементу. Приведенная поперечная сила в кольцевом сечении определяется равенством 1',=-Я, + — ".
гдв 380 Таким образом, задача сводится к определению частот собственных осевых колебаний диска. При этом практическое значение имеют колебания, происходящие без узловых окружностей при двух, трех и четырех узловых диаметрах. Расчет проводится либо с помощью интегрирования дифференциальных уравнений изогнутой срединной поверхности диска, либо по методу Рэлея — Ритца. Составим уравнения движения элемента диска переменной толщины с учетом начальных напряжений в нем и„, а., обусловленных влиянием центробежных сил.
Изгибающие и крутящие моменты в сечении диска связаны с его прогибом ш» уравнениями упругости: Г дгм", 1 дса* дсса* 1 М, = — 1)'р ' дгс ' г дг гсдв2 ) Г д2а22 дев* З М,,= — )9 (1 — р)1" гдгдт гсдв ~ Здесь Р =- ЕЮ(12 (1 — р'))— цилиндрическая жесткость, зависящая от радиуса г. Положительные направления моментов показаны на рис.
49.1. Рассматривая динамическое равновесие элемента гйгйср, получаем два уравнения моментов: Рассматривая колебания диска с п узловыми диаметрами, представляем переменные в следующей форме: ш Ф'созп~ совр!, Мг» 44г,з!плйсо рг (49.1) М", = М„савла совр!; 1,', =- 1;12 сов лт совр(; М,. = Мт соз па сов р1; Я, = Я2 сйп и-; соз р1; 1/, = )г„спала соз р(. Тогда получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, состоящую из уравнений упругости: М„= — Т! ~)Р" + р, ( — '~" — — ".
)Р)1; ! г М, = — В~9)ра+ — ')р' — —" )р~; г „2 Г 1, 1 М,» = по (1 — и) ( — )à — — )Тг) Г 22 (49.2) и уравнений динамического равновесия (гМ, )'-; М,.— пМ. — гЯ, =- О; (гМ„)' — М.. —; — пМ„,— гЦ„= О; (49.3) (г())' + пЦ» + рарйг%' + айг)Г" + о, йг ~ — %" — — К) = О. г2 Исключим из уравнений (49.3) Я, и введем вместо Я„ 1 г (сг+ Мгс г Тогда получим: (гМ„)' =- М + г(г„— 2пМ,; (49.4) М, =-, М, — 0(1 — 92)( — )Р'2 — — )Р'); 2!1, Лс Г 22 М,, = пТ! (1 — р) ( ! ~- — 1, К) . г 381 (г)I„)' =- — 2 — М, -)- — М вЂ” рар1!гЧI — о„йг)г'а— г г /1, п2 —., Ьг ~ — Ю" — — )р) .
г 22 Полная система, состоящая нз уравнений (49.2) и (49.4), имеет, так же как и в случае пластинки постоянной толщины, четвертый порядок. Поэтому для полного определения ее решения достаточно знать четыре независимые неизвестные прп каждом значении радиуса. В качестве таких основных неизвестных выберем: х, = Ю'; ха=97'! х,=- «М„; х, = г)', Остальные неизвес!иые, входящие в уравнения (49.2) и (49.4), выражаются через основные по формулаьс Получаемую в результате исключения из уравнений (49.2) и (49.4) величин М, М„систему удобно записать в матричной форме: Х' == АХ.
(49.5) Здесь Х вЂ” матрица-столбец из четырех элементов: х, хз х4 А — матрица (4 х 4) переменных коэффициентов. Ненулевые элементы этой матрицы равны: а„=- 1; а„= рпо/го; а,о = — р/г; аоо =- — 1/(гР); ао4 = (3 -- р) (1 — р) поО/г', ао, = — (1 — р) (1+ 14 -г- 2по) О/г; поа =-- )4/г1 по4 = 1, а„=- — р'р/4г — , ,'(1 — р:.) (2 -'; и'-~- ипо) пЧЭ/го —,— и'( . — Ро„) й/г; ам = — (1 — р) (3+ )4) пЧ)/го — й (а„.
— Ра,); а о —— Рп'/го+ Ьа /1г. Решение матричного дифференциального уравнения (49.5) должно удовлетворять следующим граничным условиям: на внутреннем кон- туре, считая посадку на вал или ступицу 4Ч' жесткими, следует принять равными нулю прогиб Чти угол поворота Ю"; на наружном контуре, если он свободен, должны равняться нулю изгибающий момент М„н г приведенная поперечная сила Р,. Для того чтобы учесть взаимодействие диска с лопаточным венцом, следует использовать метод динамических податливостей.
Если не учитывать кручение, то на лопатку нее корневом сечении (рис. 49.2) действуют сила с амплитудой Й', и момент с амплитудой /М„(/ — шаг лопаток). Под действием этих сил сечение получает амплитудное осевое смещение (ог и угол поворота )гг'. Используя коэффициенты динамической податливости лопатки, можно записать: )г" = /М,Оп -Р ЛЩо; — (4а = /МЩ4+ ЛггО„, (49.8) где 0;; — (~', / — — 1, 2) — динамические податливости лопатки при частоте р, причем первое направление соответствует моменту /М„, а второе — силе Лг„(рис, 49.2).
При определении податливостей следует полагать, что корневое сечение лопатки закреплено от окружных перемещений, и учитывать растяжение лопатки инерционными силами. 382 Равенсзва (49.6) предсзавляют собой граничные условия для уравнения (49.5) на внешнем контуре диска. Решение может проводиться методом начальных параметров, подобным изложенному в з 48 применительяо к расчету частот собственных колебаний лопаток. В этом случае расчет выполняется прн ряде значений частоты р, причем устанавливается частота, при которой обращается в нуль определитель системы, гыражакщей граничные условия на внешнем контуре диска. Весно:а эффективным является применение метода последовательных приближений (см.
9 27). Для его использования уравнение (49.5) записывается в виде (49.7) Х' — А,Х =- р'А,Х. Здесь А, — матрица, отличагощаяся от матрицы А только отсутствием первого слагаемого в элементе п48 А, — матрица с единственным ненулевым элементом ари4, = — рйг. Смысл уравнения (49.7) состоит в том, что прогибы и другие неизвестные определяются как резулшат действия сил инерции интенсивностью р'рйш. При решении уравнения (49.7) по методу последовательных приближений каждое следующее приближение определяется как результат действия сил инерции, соотвезствующих предыдущему приближению: (49.8) На каждом этапе правая часть уравнения (49.8) задана. Также заданы и значения нагрузок на внешнем контуре диска: (М„),, = — — р ) рг'и'/„ге(г; 1 г- о ! (Г„)„, = — Р„( Р Лога Нг.
о (49.9) где )РЯ) — значение амплитудного прогиба на внешнем контуре диска. Здесь К' — оеегые перемещения лопатки при й-и приближении, а г — расстояние зекущего сечения лопатки от корневого. Процесс последогательных приближений начинается с того, что задаются какая-либо единая для диска и лопатки зависил1ость В'(г) и произвольная час|поз ро. Эти значения подставляют в правую часть уравнен ия (49.8) и численно (например, методом начальных параметров) находят его решение, удовлетворяющее условиям закрепления на ободе и условиям (49.9) на внешнем контуре.
Затем расчет повторяют. Собственные частоты, соответствующие каждому этапу приближений, проще всего определить по формуле рую подставляются значения напряжений о„ае соответствующие скорости оа —.:.!. Сложность вычислений (/„И и (/„в значительной мере зависит от того, в какой форме задается координатная функция (5'(г). Если отношение наружного диаметра диска к диаметру вала ве:1ико (/1/с(- 3), то целесообразно использовать зависимость, предложенную Стодолой, !5' = »', (49.
16) 1/, =- . [(за — и')'-1- 2 (1 — р) (з — 1)(2и'з — и" — зв))~йагве-а 6». а = 2411 ие) г ар( = гр ~ й»"" д» (49. 17) (/ы =- — Ьв ( о,йг" ' с(» + и' ( а йг"- х с(»~ . е! е Здесь о,ь ое~ — напряжения в диске, вызываемые центробежными силами при со =-1. Для диска произвольного профиля интегралы, входящие в выражения (49.17), определяют численно. Вычисления производят при разных значениях з, и полученные величины подставляют в формулу Рэлея (49.10). Строят график зависимости р(з). Минимум этого графика соответствует значению р, наиболее близкому к точному. Укажем, что значения з, соответствующие минимуму частоты, растут с увеличением числа узловых диаметров и приблизительно и — 1 =з(и + 1. Для дисков с отношением О/с(( 3 можно воспользоваться зависимостью* Ж' — — г' — г,', где го — внутренний радиус диска.
После того как определена частота р, находят критическую скорость диска совр — — р/и или после подстановки значения р в формулу (49.10): р = ~' 2(/а/ргс + со~ 2 1/ ~/5И получаем „=-!»2(/,/Я )'!/(и' — В), где В = 2(/ ~/а»с. * См.: Л е в в н А. В. Рабочие лопатка н диски паровых турбин.
М., Госвнерговадат, 1953. где з — неопределенный параметр. Функция (49.16) не удовлетворяет условию отсутствия смещений на радиусе сопряжения диска с валом, но при больших отношениях В/с( это не приводит к заметным ошибкам. Подставляя выражение (49.16) в соответствующие формулы, получаем: Для ориентировки приводим значения коэффициента В для д1)ока постоянной толщины без центрального отверстия: л ... 2 3 4 В ... 2,36 4,13 6,15 мнрп/рю ". 1,56 1,37 1,21 Здесь коэффициент оа„ри/ра отражает влияние поля центробежных сил на критическую скорость диска. Как видно из приведенных данных, это влияние является значительным. $50.
НОЛВБАНИЯ ЦИНИНДРИЧВСНИХ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН Вводные замечания. Цилиндрическая пружина представляет собой пространственный (винтовой) кривой брус, и точный расчет ее колебаний сопряжен с большими трудностями, связаннымп главным образом с формулировкой граничных условий для системы дифференциальных уравнений движения. Эта система имеет 12-й порядок соответственно пзести степеням свободы, которыми обладает каждое поперечное сечение проволоки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
