Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Закрепление же концов пружины обычно настолько неопределенно, что записать на каждом конце шесть граничных условий просто невозможно. Поэтому большей частью колебания пружины рассматриваются на основе приближенных теорий, в которых пружина уподобляется прямому брусу, обладающему теми или иными подходящими свойствами. Как показывают эксперименты (см. (51!), теории, основанные на концепции эквивалентного бруса, удовлетворительно описывают те формы колебаний, при которых в пределах одной волны оказывается достаточно большое число витков пружины. Погрешности теории оказываются значительными при расчете коротковолновых колебаний. Ниже на основе концепции эквивалентного стержня рассматриваются продольные н поперечные колебания пружин., 1~ 1м1! Продольные колебания.
Предполагается, что при продольных колебаниях напряженное состояние витков пружины такое же, как и при статической нагрузке, т. е, что внутренние силовые факторы в сечении проволоки сводятся к одной силе, действующей по осн пружины и пропорциональной осадке данного ее витка. При этом предположении пружину можно рассматривать как эквивалентный прямой брус, имеющий массу и податливость, равные массе и податливости пружины. Масса рабочих витков пр!жккы с малым углом подъема т == одп06 где р — плотность материала пружины; à — площадь поперечного СЕЧЕНИЯ ПРОВОЛОКИ; е» вЂ” СРЕДНнй ДИаМЕтР ПРУЖИНЫ; 1 — ЧИСЛО ЕЕ рабочих витков. Податливость пружины (т. е.
осадка сс от единичной силы) определяется по формуле Резо: 5 = и//а//(4С) где С = — б/е — жесткость сечения проволоки при кручении, Масса эквивалентного прямого бруса (рис. 50.1) составляет т'=т,(, а его податливость а' = 1/(ЕГ)ввв. Здесь 1 — длина бруса; т, — масса единицы длины; (ЕГ),„,— жесткость сечения бруса при растяжении — сжатии.
Приравняв т = т' и 8 = 3', придем к соотношениям т,1 = рряР/; 1/(ЕГ),„, = пР2(/(4С). ! Такил! образом, три характеристики эквивалентного бруса (то, ---(:=-», .! ' 1, ЕГви,) связаны всего двумя соотношениями. Поэтому одну из них можно задать произвольно. /) Примем длину эквивалентного бруса 1 равной свободной длине Рис. БО./ пружины Н. Тогда т, =(ГпРНН, (ЕГ),в, = 4СН/(пРв/). (50.1) После того как характеристики эквивалентного бруса определены, для расчета продольных колебаний пружины можно непосредственно воспользоваться формуламн ч 17. Так, например, если концы пружины закреплены (рпс.
50.1), то частоты собственных колебаний определяются формулой 2 )') ТР7))),)) ))2)))) О))~РО'), )202) где й=1, 2, ... Легко видеть, что длина Н =1 эквивалентногс бруса в окончательную формулу не входит и ее выбор в самом деле произволен. Для пружпны из круглой проволоки с = а/ = с 12/82; Г = п2(2/4 р й/; )/22,12 / (2рР21 (50.3) Для стали, полагая 6 = 7,85 10'о Па и р =7,85.102 кг/и', находим низшую угловую частоту колебаяий (й = 1): р! 2 24. 1022(/((Рв) где )( и Р следует брать в метрах. Нетрудно, пользуясь данными 9 17, определить частоты собственных колебаний пружины и при других граничных условиях, в частности если пружина колеблется вместе с прикрепленным к ее концу грузом.
Вынужденные колебания пружины чаще всего возбуждаются кинематически, так, например, как показано на рис. 50.2. Здесь нижний конец пружины закреплен неподвижно, а верхний связан с кулачком и совершает заданное периодическое движение с периодом т. Перемещение х„этого конца пружины можно представить в виде ряда Фурье: х„= с,+ слз(п(в1)- р!) + с, з|п(2в1+ )ро)+ ..., (50.4) где в = 2а/2, а коэффициенты с известны. Решение дифференциального уравнения (см.9 17) продольных колебаний эквивалентного пружине бруса —,", — —,— ", = 0 (а' = (ЕГ),„,/т,) (50.5) ищем в форме х(г, 1) = ио(г)+ У и.(г)21п(/в(+ )р/). (50.6) /=! Подставляя это выражение в уравнение (50.5), получаем для каждой из функций и/(г) обыкновенное дифференциальное уравнение Риа здг и/+ (/ввв/ав) и/ — — О, откуда и, = Ьг+ е,; и/ = Ь/яп (/вг/а) + е/ соз (/вг/а).
Так как конец пружины г = 0 закреплен, то е/ = 0 (1 = О, 1,2...) и перемещение любой точки пружины ил)еет вид х(г, 1) = Ь,г+ ) Ь/яп(/вг/а) з!п(/в(+ р/). ивв /=! В частности, для нагруженного конца пружины г = Н получаем х (Н, 1) = ЬвН + ~~)' Ь/ яп (1 вН/а) з(п (/в1 + 7/). /=1 Сравнивая это выражение с формулой (50А), находим: Н 2!и (/о)Н/а) Таким образом, перемещение любой точки пружины при заданном законе (50.4) движения ее конца определяется выражением х(г, 1) = с — -"; ' яп ™~ яп(в/+ р,)+ Н 2!и (ьН/а) а яп (2 — '1яп(2в1+ ~ро)+ ° ° яп (заН/а) ( а Если яп(/вН/а) обращается в нуль, то соответствующий член в (50.7) 389 формуле (50.7) неограниченно возрастает.
Резонанс имеет место, если частота гармонической составляющей перемещения конца пружины )ы = йха/Н =-. йя ] (ЕР),~,1(т„Н'), где Й вЂ” целое число, т. е. если эта частота совпадает с одной из собственных частот пружины с закрепленными концами (см. формулу (50.2)]. П 1ри непериодических продольных воздействиях на пружину (например, ударных) можно успешно использовать волновые методы расчета типа описанных в 9 22 (см. также 140], гл. Х).
Поперечные колебания. При рассмотрении поперечных колебаний цилиндрической пружины пружина также заменяется эквивалентным брусом. При конструировании модели эквивалентного бруса необходимо учесть, что в деформациях пружины существенную роль играют перпендикулярные ее оси (поперечные) силы, вызывающие изгиб витка в своей плоскости. Следует также иметь в виду, что продольная сила в пружине при повороте ее витков в процессе колебаний также получает составляющую, лежащую в плоскосги витка. Кроме того, необходимо учитывать моменты инерционных сил при повороте витка. Итак, схема эквивалентного бруса для расчета поперечных колебаний пружины должна учитывать деформацию бруса поперечными силами, инерцию гюворота сечений и влияние продольной силы.
В 9 18 были получены уравнения поперечных колебаний прямого бруса р с учетом деформаций сдвига и инерции поворота. И Теперь дополнительно следует я( учесть продольную силу. г, Как и в 9 18, положение каждого поперечного сечения эквивалентного бруса (соответствующего витку пруРаа 30.3 жины) будем характеризовать смещением х и углом поворота 0. В сечении действуют сила Л', направленная по нормали к плоскости сечения, поперечная сила Д, лежащая в плоскости сечения, и изгибающий момент М.
Рассматривая динамическое равновесие элемента г]г бруса (рис. 50.3), пол уравнения: . ), получаем — -'„- Я вЂ” ' =- 0; — — +- Н вЂ” — т„— = 0; (50.8) 1 дг Здесь то — интенсивность массы эквивалентного бруса, а ( l),,— интенсивность ее момента инерции. а, а р Следует пояснить происхождение слагаемого Н(дх1дг — 0) в последней формуле. Так как силы Н приложены перпендикулярно пло- 390 скости сечения, они составляют с касательной к оси бруса углы (дх/дг — 3), поэтому сила Н, приложенная к левому сечению, имеет (с точностью до малых второго порядка) плечо бг(дх!дг — О) относительно центра правого сечения элемента.
Изгибающий момент и поперечная сила связаны с перемещениями уравнениями (см. уравнение (! 8.21)1 М = Адйудг; Я = А, (3 — дх/дг). (50.9) Здесь А и А, — жесткость эквивалентного бруса соответственно при изгибе и при сдвиге. Подставляя значение Я из уравнения (50.9) в первое из уравнений (50.8), находим При малых перемещениях правая часть этого равенства представляет собой малую второго порядка и можно полагать йГ = сопз1 = Р, где Р— начальное натяжение пружины.
Система уравнений(50.8) и (50.9) после исключения М и Я приводится к виду (50.10) В эти уравнения входят четыре характеристики эквивалентного бруса: тж (рг'), „, А, Ао Массу единицы длины эквивалентного бруса т, найдем, разделив массу одного витка пружины на ее шаг НН (при расчете поперечных колебаний под Н понимается длина пружины деформированной силой Р): т„= ркВЕНН. Здесь à — площадь поперечного сечения проволоки.
Точно так же определяем интенсивность момента инерции массы эквивалентного бруса: (р~)' в = (50. 12 Жесткость эквивалентного бруса при изгибе А найдем, рассмотрев чистый изгиб пружины моментом М (рис. 50.4). Под действием момента М в сечении любого витка, составляющем угол ~р с плоскостью момента, возникают крутящий момент Мгр — М совр и изгибающий момент М„= — Мз]п~р.
(Угол подъема пружины считается малым.) Прикладывая теперь единичный момент по направлению М, определим вызываемые им единичные силовые факторы: Мкр = соз р; Мч = 31п в. 391 3 = МН/Л, (50.15) где (50.17) Рис. 30.4 находим Рис, 30,3 Рис. 00.6 где '~/' 1, льэ и* — гпв .
(50.18) в~ с э э 2. (50.19) (50. 20) 393 и, = 0; с1ив/с(г = О. 392 Угол поворота нагруженного моментом торца пружины найдем с помощью интеграла Мора: ( жвсз!„А!„А4„'! Р С Вл ) 2 2 (С Вл/ о Здесь С = б/ь В, == Е/„— крутильная жесткость сечения проволоки и жесткость его при изгибе относительно нормали к винтовой линии (рнс. 50.5). Приравнивая полученную величину угла поворота углу поворота торца эквивалентного бруса длиной Н с жесткостью А: А=— 2Н 1 (50. 13) срн !/С+ !/Вл ' Прп нагружении витка пружины в своей плоскости поперечной силой (4 (рис. 50.6) в сечениях витка возникает изгибающий момент Мь = Яьэ/2) 31п р и прогиб пружины в связи с таким нагружением одного витка составит ' О/Ь л В .
О вРэ ( — з!п 9 — яп р — дс Вьо 2 2 2 ' 3Вьэ где Вь =.Е/ь — жесткость сечения проволоки при изгибе относительно бинормали 6 к винтовой линни (см. рис. 50.5). В аналогичных условиях вызванная сдвигом деформация участка эквивалентного бруса, соответствующего одному витку, составит !. = (Я/А,) (Н/ь). Приравнивая два значения /~, находим Аь = 8НВь/(кйвс). Формулы (50,1!)...(50.14) дают возможность вычислить характеристики эквивалентного бруса, которые затем должны быть подставлены в уравнения (50.10).
Для нахождения частот и форм собственных колебаний пружины, как обычно, полагаем: х(г, 1) = и,(г)созр/; Ь(г,/) =- и,(г)соьрй Подставляя эти зависимости в уравнения (50.10), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно и, и и;. и," + (и рв/А,) и, — (1 — Р/А,) и', = 0; (А /А)(1 — Р/Аэ)и +пи+ ((р'/А)(р/)экв (Аэ/А)(! — Р/А)) ссв= — (). г (50.15) Этой системе соответствует характеристическое уравнение ! за+ РРп~о/А, — (1 — Р/Л,) 3 (А,/А) (1 — Р/Ас) 3 зв+ (РНА) (Р/)экв (Аэ/А) (1 — Р/Лэ) или в развернутом виде зэ 1 2птгзв пь пь' = — (р'пьо/Ас+ р'(0У)экв/А — (Р/А) (1 — Р/Лс)1! 2 и' = (росло/А) 11 — Р/Аэ — /ь'(0/)экв/Аэ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
