Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 56
Текст из файла (страница 56)
40.0 персии по частотам. Соответствующая корреля- , к ме — 0; здесь она пеограционная функция равна нулю везде, кроме т— ниченно возрастает. В этом случае 5 (оз) == Бе =- сопз1; й (с) ==- — о (О), где 6 — импульсная дельта-функция. 317 о/ «( Рис, «0.6 (40.
19) / (ха) /' (х) с(хойх . М/Т = с! (ха) /«( х) с(ха дх . 3!8 3!9 имеет бесконе ! ' Белый и!Ум не может реально су еств ущ овать, так как этот процесс (, довательно, мо!цность). ч !Ую дисперсшо (и, еле кже . ° у ные функции, имеющие покже рассматривают сл чайн Р, д сперев!' в отрав!'чен'сом диап'ность распределения и ограниченныи белый ш м) ( и . ум) (рис. 40.6, а).
В этом случае в соответствии с фора!злой (40.14) п . ой . площадь графика спектральной функции равна дисперсии.) Вычисляя соответствую н с, . ычисляя соответствующую корреляций(т) = ) 5 !в) созвтйсо= — — 1, сов!от!(в =- (!в — ейп ват. о График этой функции изображен на рис. 40,0, б.
В качестве еще одного примера ассмот пл заданной частоты о , ра рассмотрим случайную функцию тогы о'а, но со случайнььми амплнт 'дой и а случае вся д!'сперсия функ с чедова тельно спектраль скции сосредоточена на о но" * альная функция имеет форму ~(в) = О3(в ва) ген д — импульсная дельта-функция (, 40., ).
ф жи ( 407б рис, ./, а). С /г(т) -= ~ 5(в) созвтс1в = Всозв„т. о Отсю„ да следует, что если полученная опытным и 'т . ошсая функци5! с увелнчсни л у си!сия функциая содержит гармоническую составляющую фики) «) Выше был рассмотрен 5(в г «(г способ определения по экс/г периментальным данным сначала корреляционной, а затем спектральной функций. с«а Часто используют и другой прием, позволяющий по запи- Рис.
4/!.г сям реализации случайной функции, обладающен эргодическим свойством, непосредственно определить спектральную функцию. С этой целью электрический сигнал, соответствующий анализируемой функции, подается на серию узкополосных фильтров, каждый из которых выделяет составляющие сигнала, близкие к основной частоте настройки фильтра. Затем с помощью нелинейных блоков сигналы, прошедшие через фильтры, возводятся в квадрат и усредняются по времени. Рыход с каждого из усредияющих устройств пропорционален значепшо спектральной функции анализируемого процесса на частоте нас!ройки соответствующего фильтра (см. !47)).
Оценка частоты выбросов стационарной случайной функции. Для практических целей не всегда достаточны такие оценки случайной стационарной функции, как ее дисперсия и вид спектральной функции. Пусть, например, речь идет о колебаниях кузова автомобиля. Для оценки комфортабельности величина дисперсии его ускорений является, пожалуй, достаточной. Но если речь идет о прочности элементов конструкции, то надо знать не только дисперсию напряжения в том или ином элементе конструкции, но и вероятность превышения этим напряжением предела выносливости. То шо так же, проектируя подвеску автомобиля, надо предвидеть, насколько сусцественна вероятность «пробоя» подвески, т.
е. превышения ее ходом допустимой величины. Таким образом, возникает задача определения среднего количества превышений в единшсу времени случайным процессом х(/) заданного уровня х,. Для эргодического стационарного случайного процесса с нормальным распределением эта задача решается с помощью формулы Райса. Наряду с процессом х(/) рассмотрим производную х(/), причем учтем, что для стационарной случайной функции значения х(/) и х(/) независимы.
Предположим, что распределение случайных величин х и х определяется плотностями вероятности /(х) и /(х). Тогда вероятность того, что функция х(/) лежит в пределах х, ( х (/) ~ ха + пхо (40. 18) и одновременно х(/) заключено в пределах х ~ х (/) ~ х + йх, составит (вследствне независимости х и х) Учитывая эргодичность процесса, эту вероятность лсожно трактовать как отношение времени А/, в течение которого соблюдаются неравенства (40.18), (40.19), ко всему времени процесса Т: С другой стороны, одно прохождени х, занимает время с)г-..-охо/~х~. Таким об азом, в су им образом, вероятное количество х, за время Т составит ц й х( со скоростями в днап азоне (40.19) уровня о" ='~1Ул)1 = 77(хе)~(х) ~ х )бх Полное число пересечений у тельньих скоростях (число и ровня х и и р всевозмоилных положиях число превышений) получим интег" егрированием: и ==-Т((хо) ) Г(х)хдх.
о Дальнейшее азвитн оп е елен р 3 тне полученной формулы т еб 3 тн ' тр ует принятлля пределенных законов распределения* 1(х, х . п с елен ° я (х), л"(х). Обычно исходят 4 он опРеделяется формуламв она распределения. Для л ент . Д. центрированной функции рассмотрим сначала воздействие на линейную систему возмущающей силы, заданной выражением Рд(г) = адсозв„1+ Ьдз1пвдг, (41. 1) где ад и Ьд — некоррелированные случайные величины с равным нулю математическим ожиданием и одинаковой дисперсией АдРр. Для линейной системы с и степенями свободы можно составить а дифференциальных уравнений второго порядка, в правые части которых входит возмущающая сила Рд(1).
Чтобы получить стационарное решение этих уравнений, используем метод комплексных амплитуд. (Этот метод применялся уже в $ 16.) Силу Рдф запишем в виде Рд (1) = с е (41.2) где сд — случайная комплексная величина, модуль которой равен случайной амплитуде: 2 2 ~сд~ =' ад+Ьд, 1(х) = 1 е ° л(г „') )' 2е ,,л( 2) (х) --= е к' )' 2к е. х Х дд — ивдхыд хед 32! Ч 12 — 313 Здесь о„, о — с е пеква — р д квадратическое отклонения х(г) и х(г). Вычислим интеграл: и к о 2и Т еперь число пересечений в е нни муле д ницу времени можно найти по фор- Т 2е ек (40.20) Формула Райса (40.20) определяет число и евыше ® ~ рв йфу и й 4 41. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ЫАГ НА ЛИНЕИНУЮ КОЛЕБАТЕЛЬНУ Ю СИСТЕМУ ЫАГРУЗКИ К бак показано выше, с помощью р~ы<ижни~ ~~а ц~о ю спектрального пкция может быть пре став ность гармонических едуча" ф р д тавлена как совокупи чайных функпнй заданных час частот ыю Поэт д о ~у Вс е использованные ранее фо м лы с предслении.
ф рмулы справедливы прн любом з о. аконе рас- 320 а аргумент — случайной фазе: агяс = Тд = агсз(п(ад/ ~ си 1). „дели выше, для описания стацнонарн " чайной функции фаза не является существенной. Перемещения колеблющихся масс также представим в виде х„д=и„,де д. (41.3) Подстановка выражений (41.2) и (41.3) в уравнения движения приводит к системе алгебраических уравнений относительно случайных комплексных амплитуд и д типа уравнений (16.11). Коэффициенты этих уравнений являются комплексными, так как Решив систему алгебраических уравнений относительно интересующего нас перемещения (индекс и, определяющий номер этого перемещения, опускаем), найдем хд = Р(мод)сде д .
(41.4) Здесь Р(1'вд) — дробь, в знаменателе которой стоит определитель системы уравнений, а в числителе — тот же определитель, в котором столбец, соответствующий х, заменен коэффициентами при сд в правых частях уравнений. Комплексная функция Р(лв ) называется комплексной частотной характеристикой илн комплексной передаточной функцией системы. Формула (41.4) показывает, что при случайном гармоническом возбуждении с частотой со искомая величина (перемещение) совер- шает случайное колебание, с той же частотой н со случайной компл~:, ной амплитудой. Действительная случайная амплитуда равна мо лю этой величины, т.
е. (Р(йо„)))се!. амплит Таким образом, случайная амплитуда колебания равна случай плитуде возмущения, умноженной на модуль частотной харак и ристики. тн ак Соответственно дисперсия перемещения Л,Ю равна дисперс возмущения 11,/)р, умноженной на квадрат модуля частотной х рактеристики; Л,Т),.—. ! Р(1в,))~Л,Пр. (41.' Вследствие линейности системы при воздействии на нее возм щающей силы, имеющей непрерывный спектр, характеризуемый спе ральной функцией 5р(в), элементарная дисперсия Юр.—.. 5р (в)дв преобразуется также в соответствии с формулой (4!.6) и вызовет эл ментарну!о дисперсию перемещения б/) = — ! Р (йо) )а 5р (в) г!го. Следовательно, спектральная функция 5.(в) для перемещени» 5. (в) = «/),/«в =- ! Р(1в) !'5.
(в) (41.6) может быть найдена путем умножения спектральной функции 5. (в возмущения на )Р[1в))а. й ~2. НРИМЕР1з1 РАСЧЕТА СЛУЧАИНЫХ КОЛЕБАНИИ 1 Расчет виброзащитной системы. Рассьютрпм внбропзоляционную' систему с одной степенью свободы при случайном возмущении Объект массой и закреплен с помощью пружины жесткостью с и связан с демпфером вязкого трения (коэффициент ~ Ю вязкого трения а). Предположив, что случайная нагрузка Р(1) соответствует ограниченному белому шуму в диапазоне частот 0 ~( в ~', в„определим спектр! ральные функции и дисперсии перемещения х и ско- ч рости х = и объекта, а такжедисперсию /)и динами-1 ческого воздействия )с на основание.
Определим также (в случае в, — ~ оо) наивыгоднейшее значение !.ас. 42.1 дЕМПфИрОВаНИя, Прн КОтсрОМ СрЕдиЕКВадратИЧЕСКОЕ воздействие на основание минимально. Итак, спектральная функция случайного воздействия задана следующими выражениями: О<в „, 5,(). 5, 5р (го) = О. Составим уравнение движения объекта: их -', ах+ сх = Р(/). ! 1риняв Р=Ре, х=хе" получим соотношение 1.! ЬИ ( — пно + 1ав -!. с) х,е "' -= Р„е Отсюда находим частотную характеристику перемещения: Р„(!в) =- х/Р == 1/(с — тв'+ !ав) . (42.!) Обозначив собственную часто~у консервативной системы и коэффициент затухания р = ) с/и, 2п = аги, приведем выражение (42.1) к виду Р„.
(ио) (42. 2) с ! — »"-,'р'.1- 1 (2п, р) (м/р) Спектральная функция перемещения определяется по формуле 5 (в) = ! Р (йо) (а 5р (со). При 0«в«в, 5„(го) .— са (! — ю'"','р2)а+ (2о)р)а (ю/р)а (42. 3) при в) го, 5„(в) =- 01 Так как скорость и =- дх/Й, то и = бх/а! = йох. Поэтому частотная характеристика скорости Р, (гв) = гвР„(йо). (42.4) Для спектральной функции скорости получаем 5 (в) =- ! иоР (йо) !а 5р (го) = ва5 (в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
