Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 53
Текст из файла (страница 53)
38.3, в. На рис. 38А, а...г показаны фазовые портреты движения во всех рассмотренных ф случаях. При Ь,: О, Ь,(0 независимо от в начальных условий фазовые траектории неограниченно приближаются к устойчивому предельному циклу, характеризуемому амплитудой а„. Положение статического равно- - -учи * ° у ..
384, б, ули уч- ф„'у б/ При Ь, ) О, Ь, ) 0 траектории уходят в беса) конечность. При Ь, ( О, Ь, ( 0 все траектории [ неограниченно приближаются к началу координат — устойчивому фокусу. Наконец, при Ь,(0, Ь, ) 0 все траектории, начинающиеся внутри замкнутой траектории а = а неустойчивого предельного цикла, стягиваются к положению статического равновесия, а все траектории, начинающиеся вне этого цикла, ухоРиа 33.З дят в бесконечность. Таким образом, в данном случае положение статического равновесия устойчиво в малом, но неустойчиво в большом.
Если сила трения сохраняет при скольжении постоянную величину, но меныпую, чем сила трения покоя, также возникают автоколебания. В этом случае легко получить точное решение задачи. Рассмот- в) л, и Рис. 33.4 302 рим снова систему, изображенную на рис. 38.1. Обозначим силу зрения покоя /л„силу трения движения /лу„причем /луу ) /гл. Положение статического равновесия соответствует смещению груза на величину х, — — /с,/с. Нетрудно убедиться, что это положение равновесия является усзойчпвым по отношению к малым возмущениям. В самом деле, если грузу в равновесном положении сообщить скорость, по абсолнхгной величине меньшую скорости ленты о, то при его последующем движения сила трения о ленту сохраяит величину и направление и никак не повлияет на свободные колебания груза.
Однако, если сообщить грузу скорость с, груз окажется движущимся вместе с лен|ой, пока сила натяжения пружины не достигнет значения силы трения покоя /лу. В этот момент (при смещении х =- = Йуус) произойдет срыв и начнется относительное движение груза. Уравнение движения тх —,сх — Ил=О (38.11) проинтегрируем, совместив начало отсчета времени с моментом срыва. В этом случае будем иметь начальные условия: / -- 0; х =- /лл/с; х = =- о и соответствующее этим условиям решение уравнения (38.11) х = Кл/с+ [(/с, — /су)/с) сох р1+ (о/р) яп рй (38.12) Выражение (38.12) справедливо до тех пор, пока скорость движения груза х остается меньше скорости ленты о, т. е. до момента времени /„ определяемого равенством — [(/л,— К,)/с) ряпр/, + осозр/, ==- ш Это уравнение нетрудно преобразовать к виду Рй (, Рй, Яу — ЛУл Рй 1 2 яп — ~яп — — '- " р соз — ~ =- О.
2 ~ 2 си 2 Наименьшее отличное от нуля значение /о удовлетворяющее этому уравнению, составляет /, = — )и — агс1п 2 Г р (Руу — ууу) 1 Р си В момент 1, смещение х == (2/сл — /с,)/с. Начиная с момента /, груз движется совместно с лентой со скоростью с до тех пор, пока не произойдет новый срыв при х =- Я,/с, после чего процесс повторяется. Время движения груза совместно с лентой ~2 2 Фл 'л2)/(со)' Таким образом, полный период автоколебаний 303 т=!г+!и=2 ~ Р (ггг — Рг) " + — — — агс1п си Р Р си В зависимости от скорости движения период колебаний меняется от периода собственных колебаний груза на пружине 2пlр прп и — г-со до т = я/р — , '2(гсг — )7и)У(сп) при и — г.О. Весьма наглядным смотренной системы н представление автоколебаний расплоскостп (рпс.
38.6). Здесь часть окружности 123 и прямая 3! изображают исследованное выше автоколебательное движение. Если начальные условия системы изображаются точкой, лежащей внутри окр ужпости А, система совершает свободные колебания, а авто- колебания не возникают; в противном случае устанавливаются автоколебания, соответствующие циклу !231. Один из возмо>кггых путей установления авто- колебаний показан топкой линией абае. является а фазовой Рис. 33.5 й 39. ФЛАТТЕР КРЫЛА В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ Ф л а т т е р о м называются автоколебания тел в потоке газа или жидкости. При появлении скоростных самолетов в 30-х годах флаттер служил причиной многочисленных катастроф (см.
(37)). Явление флаттера тесно связано с теми воздействиями, которые поток воздуха оказывает на колеблющееся крыло. Поскольку здесь нет возможности рассматриватьдетальиоэти воздействия, ограничимся лишь принципиальной картиной явления; подробности и способы расчета реальных конструкций содержатся в специальной литературе (см., например, (61). При флатгере крыло самолета совергпает изгибно-кр утильные колебания. Поэтому для анализа этого явления необходимо учесть по крайней мере две степени свободы крыла.
Прн практических расчетах достаточно учесть движения крыла по первым формам собственных изгибных и крутильпых колебаний. Для еще болыпего упрощения рассмотрим жесткое крыло, имеющее две степени свободы, соответствующие его вертикальному перемещению н повороту (рис. 39.1). 304 Существенное значение имеет положение центра жесткости крыла, т. е. той точки его хорды, приложение вертикальной силы в которой вызывает только вертикальное перемещение крыла, но не его поворот.
К этой точке (О на рис. 39.1) мы и будем приводить действующие на крыло силы. Если обозначить вертикальное перемещение центра жесткости крыла ш, а изменение угла атаки крыла в процессе движения а, то упругие сила и момент, приложенные в точке О, будут равны со- Р ответственно с„ю и с„а, где с. и с„— коэффициенты жесткости. а,' Сила инерции и момент сил инерции относительно гочки О составляют: Р! =-- — т (ю — - иЬ); Рис. 39.! М вЂ” Р5Ь -,'- тг'а = — гпЬш-)- т (г'-г- Ь')а. (39 1) Здесь Ь вЂ” расстояние от центра жесткости до центра массы крыла; пг ---масса; г — радиус инерции массы крыла относитечьно центральной оси. Наибольшне трудности представляет определение изменений аэродинамических сил, возникающих в связи с движением крыла.
Простейшая гипотеза относительно этих сил состоит в том, что их можно вычислить так же, как и при неподвижном крыле, подставив лишь в соответствующие формулы значения мгновенного угла атаки. В этом предположении получаем увеличение подъемной силы и момента: (39.2) Здесь Р— плотность воздуха; о — скорость потока; Š— площадь крыла; гв!и — уменьшение эффективного угла атаки в связи с вертикальным движением крыла; а — расстояние от центра жесткости до центра давления (который расположен на одной четверти хорды крыла). Формулы (39.2) представляют собой грубое приближение, так как и пих полностью игнорируется влияние движения крыла на обтекание.
Более точное решение задачи (см.)6)) показывает, что если крыло соверпгает, например, гармонические колебания с частотой ы, то следует учитывать еще инерцию присоединенной массы воздуха и то обстоятельство, что изменение подьемпой силы оказывается смещенным по фазе относительно изменения угла атаки. Как величина присоединенной массы, так и фазовый сдвиг зависят от безразмерного параметра ы!Дх характеризующего частоту колеба~ип.
303 Однако ради упрощения не будем учитывать всех этих обстоятельств и дополнительно в первой из формул (39.2) пренебрежем слагаемым ьуlи, которое характеризует аэродинамическое демпфирование вертикальных колебаний крыла. Итак, получаем уравнения: лт [ш — Ьа) + сыш = — Р; — п1Ьш+ ш(г'-,'- Ь')а+ с„а =- Рп (39.3) где Р .-.:.- прРн'а. Отыщем решение системы уравнений (39.3) в впге, соответствующем гармоническим колебаниям: (39.4) 11одстановка этих выражений в уравнения (39.3) пр .водит к однородным алгебраическим уравнениям относительно кв и ав.
ш„(с . — гп гав) -, .'а, (тшаЬ вЂ” ярРо') = — 0; (39.5) и,лноеЬ 6- ав (с, — твое (г'+ Ь'1 — прРо'а) = — О. Приравняв нулю определитель системы (39.5), получим частотное уравнение. Для того чтобы привести это уравнение к более простому виду, введем следующие обозначения: го,е.—.- 1 с„„'п.; ео, = =- 1 с., Цт (г',- Ь')1 — собственные частоты поступательных (изгибпых) и крутильных колебаний крыла; р = 4пгг(риГ() — отношнельная плотность крыла. Тогда частотное уравнение можно представить в виде ( — ') -[ —.', ) ~[~ - '~)(~в -".)--'( — ' х ' + — ' 1 + — — — — — =- О.
(39.6) уравнения (39.6): (39. 7) Ооращение в нуль частоты собственных колебаний системы свидетельствует о статической ее неустойчивости. В салюм деле, возвращаясь в формуле (39.7) к первоначальным обозначениям, приведем ее к виду раГоео . с, . 306 11рн нулевой скорости потока н — 0 это уравнение дает два положительных значения .",'-', соответству1о~цих двум собственным частотам системы. О увеличением скорости потока возможно появление двух типов неустойчивости. Так, один нз корней уравнения (39.6) может обратиться в нуль, что соответствует обращению в нуль свободного члена Если это соотношение выполняется, то при повороте крыла на угол и момент дополнительной подъемной силы Ра = раРилаа 2 уравновешивается упругим моментом с„а Явление статической потери устойчивости крыла прп достижении скоростью потока значения од называется д и в е р г е н ц и е й.
Для крыльев самолетов, как правило, скорость дивергенции существенно превышает скорость полета и дивергенция не представляет реальной опасности. Другой внд потери устойчивости — изгибно-крутнльный флаттер — связан с тем, что частоты, определяемые из уравнения (39.6), становятся комплексными. В самом деле, если имеются сопряженные комплексные частоты +)3-+уй то соответствующие решения уравнений движения имеют множители с~" — ~~~седа ' Экспоненцнальные множители с действительнымн положительными показателями неограниченно возрастают. Таким образом, в этом случае движение представляет собой колебания с нарастающими амплитудами (колебательный характер движения определяется множителями еа" ). Итак, условием наступления флаттера является появление комплексных корней уравнения (39.6), что происходит при обращении в нуль его дискриминанта: Ь- 4 мь ' 1(а+Ь] ' — 4 [ — ) [!в- — — — [ — ") —,) =в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
