Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 49
Текст из файла (страница 49)
274 П аистина шарнирно опертая по противолежащим сторонам Точное решение задачи об определении собственных частот и форм колебаний прямоугольной пластины может быть получено, если две проти- волежащие стороны пластины шар- у нирно оперты. Закрепление двух аг = Рпгаг/аг ! пг г/Ьг и собственные частоты пластинки, опертой по ко!»Луру, /» та ' »2(, „Р) ''(аг ' аг / 1,' »2(» Рг) г г (л» = 1, 2, 3, ...; п .=- 1, 2, 3, ... ) . (34.
1) Нану»еныпая частота р, соответствует»п =- 1; и =.= 1, т. е. колебаниям пластинки без узловых линий; г аг + Ьг / Еаг агдг $» »2Р(! Р) Форма колебания определяется выражением и» =- в!п ( х/а) яп ( у/Ь). (34.2) Подобным же образом приводится расчет и при других условиях закрепления границ: х = О, х = а. Асимптотический метод расчета пластин. Для прямоугольной пластины с закреплением, отличным от опирания по противолежащич сторонам, применяют различные приближенныс методы. Примеры расчетов рассмотрены в 2 36.
Здесь мы рассмотрим лишь -.Р..РМ! .» Р ° работах [12, 131. В, «б Р" " ""Р "Р Р РР" ! Р '" " " " "Р'" " "' ""»' ние влияет на форму колебания только вблизи границы, а вдали от нее форма колебания определяется произведением Рис. 34.2 синусов типа уравнения (34.2). Благодаря этому форму колебания можно представить как сумму функции типа (34.2) и быстро затухающих с удалением от границ функций, которые позволяют выполнить граничные условия. Рассмотрим применение этого метода на примере заделанной по контуру прямоугольной пластины (рис. 34.2).
Ограничимся расчетом симметричных относительно осей х, у форм колебаний. В средней части пластины примем ц» = п»В = СВ сов у»Х сов угу. Вблизи границ х = .+ а/2 П» — ' СОВ УВУ(СВ СОВ УРХ + /(Х)1, где /(х) — быстро изменяющаяся функция, позволяющая выполнить условия закрепления. 275 Аналогично, вблизи границы у =- +Ы2 (э =- сову(х[Сасозуау+ в(у)). Таким образоь(, общее выражение для ш(х, у) составляет и) = — С,соэу(х сов уау+ 1'(х) сову,у+ Т (у) сову,х. (34.3) Б средней части пластинки функции /(х) н (!)(у) пренебрежимо малы и потому первый член выражения (34.3) должен удовлетворять уравнению (33.3). Отсюда находим аа = Т2+ Т2.
Вблизи границ х —.= за/2 существенны первый и второй члены выра,кения (34.3). Учитывая, что первый член удовлетворяет уравнению (33 3), потребуем, чтобы и второй удовлетворял ему: т)2Т)2 [/ (х) соз уау) — а'[(х) соз Тау = О. Выполняя дифференцирование, приходим к уравнению ) 272(, (Т2 а )1 О~ которос распадается на два. — (уз+ аз)/ =- О; )а+ (ах — Т2)/ = О Так как ах) у2, затухающие решения имеет только первое из этих уравнений. Решение, затухающее с удалением от стороны х( — — а/2, имеет вид /(х) = — С,е и'"+"2) (а2( =- ах-1- 222 = у2)-[- 2у22). Бо симметрии, вблизи стороны х =- а/2 —, (а!2 — х) /(х) = С,е " йпалогично, вблизи стороны у =- — Ы2 ,2, .2) Р (у) = Схе "'(а+ ~ ) (а2 =- ах-[- у( = 2у) + 12) 1( вблизи стороны у = Ы2 в (у) = Сае — =, (М2 — Х) Рассмотрим граничные условия при х =- — а/2: ц) =- О; дп)/дх=О При вычислении и) и дш/дх учтем, что практически вдоль всей сто»повы х == --а/2, за исключением окрестностей угловых точек, функ11ия (((!/) Р ', ) авиа нулю и потому ш определяется первыми двумя слагаезмымп выражения (34.3); (э = — )г ж [Се сов(),а/2) —;- С,)соэ усу = О.
дв 1 == [С„у, ып (у, а/2) — а,С,] соз Т,у = О. 'дв 1 дх /к= — а(2 Л»6 :Тля одновременного выполнения этих уравнений необходимо, чтобы их определитель равнялся нулю: а,соз(у,а/2)+ у,з!п(у,а/2) = О. (34. 4) Лналогично, условия при у = (-Ы2 приводят к уравнению ах сов(уаЫ2) + уе гйп(Т,Ы2) = О. (34.5) Так как а„а, связаны с у, и у,(а2) = Т~)+. 2Т21 а2= 27)~+ 72) трансцендентные уравнения (34.4) и (34.5) позволяют определить значения 7( и у„а затем вычислить а = у, + 72 и частоты р =— = ах [» Е/)2/[р12 (1 — рз) [ . Рассмотриь(, например, колебания квадратной пластинки с одинаковым числом узловых линий в направлениях х, у. В этом случае Т( = — ух = у; а, =ах= у) 3 и уравнения (34.4) и (34.5) приводят к зависимости (й (уа/2) =- — )Г3, откуда уа/2=-2х/3 -(/2 — 1)а (/( =-1,2,...). Частоты определяются формулой — ~/, ~ -- — )'..
/ Рва Р„=- 2У2 = 8!'/( ) ях З / 12»' (1 — (ка) 1 3 / 1/ 12р (1 — (ка) ак Хороший результат получается уже для низшей частоты: (точное значение р, = 35,98 ) ЕА2/[12р(1 — р') а'[) . Как видно из вышеизложенного, при использовании асимптотического метода погрешность возникает вследствие приближенного выполнения граничных условий вблизи угловых точек. й ЗЗ. КРУГЛАЯ ПЛАСТИНА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ Определение форм и частот колебаний. Для круглой пластины следует в уравнениях (33.4) для амплитудной функции (э перейти к полярным координатам г, ((). В этих координатах оператор Лапласа имеет вид да дг да 1 д да х' + дхк дуа дг' г д» гадза Таким образом, уравнения (33.4) в полярных координатах можно записать следующим образом: дав 1 дв, дав — + — — + — — аап) = О; дгк г д ' гадча дав 1 дв дав — + — — + — + аап) = О.
дга г»)» гадза (35.1) и-Р лт-/ и=О, лг=д Рис. 35.1 Таблица 35.1 а в заввсвкоста ат числа уалавых Лааыстров Числа узловых окружностей л=! л=о 4,6! 5,90 7,81 9,40 10,98 12,60 3,!9 6,30 9,43 т=о я=1 иа = 2 'чт — — [Р' (Г) СО5 ПР СО5 Р/. (35.6) (35.7) 280 Корни этого уравнения приведены н табл. 35. 1, а некоторые формы собстнснных колебаний представлены на рис. 35.1. Узловые окрузкности и диаметры показаны на чертеже стрелками. Бегущие волны в круглых пластинах. Рассмотренные выше собственные колебания круглых пластин описываются уравнением Они соответствуют стоячим волнам на поверхности пластины, при которых узловые диаметры неподвижны.
Однако наряду с выражением (35.6) решением уравнения движення является выражение ьй = )Р' (г) 5!и ПР 5!п Р/. Но, поскольку уравнение движения линейно, сумма и разность выражений (35.6) и (35.7) также являются его решениями. Выражения 9 =- (! + 9з = [Р (г) соз п [Т вЂ” (Р/п) /) ч =- Гт — йа = [4У (и) соз и [о + (Р/п) /1 представляют собой уравнения бегущих волн.
Первое выражение соответствует вращению всей картины деформаций вокруг оси снммет- рии пластины в направлении возрастания угла ср с угловой скоростью со — - р!п. Второе выражение соответствует движению волны с той же скоростью в противоположном направлении. Гели имеются внешние нагрузки, вращающиеся по периферии пластины со скоростью, близкой к скорости пт распространения собственных колебаний, то такие нагрузки вызовут большие резонансные колебания пластины, так же как это имеет место при движении нагрузки по бесконечной балке (см. 9 21). Практически, движущаяся по круглой пластине нагрузка осуществляется в дисках турбомашин благодаря вращению диска при неподвижной в пространстве нагрузке, обусловленной неравномерностью давления рабочего тела по окружности.
Критические скорости вращения диска от кр могут быть найдены, если известны частоты его собственных колебаний р„по формуле от,р — р„/п, (35.8) где и — число узловых диаметров при свободном колебании с частотой р„. Методы расчета частот собственных колебаний и критических скоростей дисков рассмотрены в 9 49. ьч 36.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЭЛЕЯ РИТЦА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН 1Г~ з~ ' Для пластины постоянной толщины, заделанной по контуру, интеграл ° т второго слагаемого яыраження (36. !) обращается н нуль. Метод Рэлея — Ритца (см. 2 25) позволяет расчетным путем приближенно определять частоты собственных колебаний пластин переменной толщины и, в частности, дисков турбомашин.
Преимуществом этого метода является также возможность легко учесть влияние на частоту различных побочных факторов, например, начальных напряжений в срединной поверхности пластины. Потенциальная энергия деформации пластины при изгибе ее по форме, определяемой функцией пз(х, у), выражается интегралом 2 )) [(д + ! ) +2(1 — [х) ~( )— данс дана 1 — — — „~) г[х!(у, (36. 1) дха дуз ) где Р—.
Е/зз/[12 (1 — [ай)), а интеграл берется по всей поверхности пластины'. Обобщенная масса пластины выражается интегралом дд/ = Ц рйгнЧхг[у. (36.2) В соответствии с методом Рэлея — Ритва форма колебаний задается в виде ряда и = сгвг(х, у) + сошо(х, д) —; (36.3) где каждая из координатных функций гп„(х, у) удовлетворяет геометрическим граничным условиям. Равенство нулю определителя системы уравнений о /го 0 (/г дг/о ! з дЯ дса 2 с со (36.4) в = в (с„с„..., со, х, у). В этом случае уравнения метода Рэлея — Ритца (36.4) оказываются нелинейными и проще исходить не из них, а из условий экстремума выражения (36.5), причем значения параметров, при которых достигается этот экстремум, находятся численными методами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
