Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Например, при заделанном конце г — 0 можно принять: 245 2 '!'! Мз ™з+ (,)з1-[- тр'(и, + аз!/2) 1/2 — /рз~„ (/з = ()~+ р'(из+ !,!/2). Следовательно, в этом слччае 1 0 0 0 1 0 0 трз(/2 — р' (/ — тзэ/4) 1 тр' трз!/2 0 1 Если груз точечный (! = О, / =0), то (30.14) (30.15) ,Г 0 0 с 1 Хс 0 1 Хо — — М, Хс +Хо, ? и (г) =- е] с) (Я) Ко [и (г — ~)! с]~.
о' С,М„+ С,М„= 0, (30Да) ксьспскеиты векторов ке! — 2, то ] 17(сссЕ!)] [К, (х) — 1] Х =д [1/("'ЕУ)]К (Ч (1!" )Кз(~) (1! )К?(1.) 4 1. = ~! = ~/со?пс !?7(Е!), [17(х'ЕЛ] Кс (Лд 1, — аа (17я) К, (1ч) Кс(ус) Л =Р е 247 246 Тогда Сс = М(0); С? -- Я(0). Далее проводим два расчета, умножая векторы Хс" и Хс*" на все ~ матрицы перехода. Таким образом, получаем два вектора для крайнего правого (п-го) сечения стержня: ° ? Х, =- М, „Л с, Хя — — М „Хс, $ где М, „— произведение матриц перехода для всех промежуточных '„ участков. (Заметим, что фактически выполнять перемножение матриц не .т)х следует. Значительно зкономичнее по количеству арифметических " ,' операций вычислять гекторы Х„ и Х„ путем последовательного ' умножения векторов Лс, Лс на матрицы М?„М?, и т. д.) с В силу линейности преобразований век~ору Хс [см.
уравнение (30.1б)! соответствует вектор состояния в п-м сечении Х„=-С,Х„+ С?Х (30.17) ' Этот вектор должен удовлетворять граничным условиям на правом конце стержня. Например, если конец свободен, должны равняться нулю компоненты М, Я,. Это приводит к двум однородным уравнениям: С,!)„'+ С,О„- =- 0, где М„, М„, сг„, ()„— ссотгетствукщие Х„, Х„.
Частотное уравнение получается из условия наличия ненулевых, решений уравнений (30.18) Л(р ) =- М„'()"„' — М„"О„' = 0. (30.19) Расчет проводят для ряда значений р' и находят корни уравнения (30. 19). При расчете вынужденных гармонических пзгпбных колебаний оказывается необходимым проводить три расчета: два расчета, одно родной задачи, соответствующих двум линейно независимым векторам Хс? и Хс"? для первого сечения?, и один расчет неоднородной задачи.
В неоднородном решении вектор Хс' принимают произвольным, но * Этн расчеты не отлнчаштся от рассыотрснных вь ше для случая свободных нолсбаннй нрн р = ы. удовлетворяющим граничным условиям. В частности, можно принять Л", нулевым, Переход ог сечения к сечению осуществляют по формуле где Х, — частное решение, соответствующее действующей на участке ! — 2 нагрузке и удовлетворяющее нулевым граничным условиям в сечении !. Если на участке действует нагрузка интенсивностью с)(г)спасо!, то перемещения в любом сечении можно представить в виде Выполняя дифференцирование с учетом свойств функций Крылова, нетрудно проверить, что это выражение тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению и (г) — а'и(г) = г)(г)7(ЕЛ [ое = псосо?7(Е,!)!.
Следовательно, р (г) = — и = , ] с) (г) К,[ ~ (г — ч)! с["., б ! о б?н ? Ме(г) = ЕЮ," = — ( с)(й) Кя [я(г — ")] с]", о 6?н ? 1~ (г) = Е2 — е = ( С) (Г) К?[а (г — Г)! С[Ь. о Подставляя в эти формулы ! вместо г, получаем компоненты вектора Х. В частных случаях распределения нагрузки формулы существенно упрощаются. Так, если нагрузка с)(г) гюстоянна на участ- Если на участке ! — 2 приложена сосредоточенная сила Рсозсо! в точке г = ! — а, т. е.
на расстоянии а от правого конца, то 7~ Особенно прост переход, если сила приложена в конце участка. В этом случае О Х 0 Р После вычисления векторов Х„, Х„, Х„" вектор состояния и-го сечения представляют в виде Х. = С,Х„+ С,Х„"+ Х„" и определяют С, и С, из двух граничных условий, имеющих место в этом сечении.
Зателт можно найти вектор состояния в любом !г-и сечении: — Х= АХ+ В, и иг (30. 20) ! где хг — столбец 2п искомых параметров: аы агг ° ° а1, г ат, !.... аги,г 248 Хл = С!Ха+ С,Х» + Ха Вектор Ха характеризует перемещения и внутренние силы в сечении !г. При применении матричногометода начальных параметров имеется определенный произвол в выборе размеров участков для каждого перехода. При ручном счете выгодно брать эти участки возможно более длинными, но такими, чтобы матрицы перехода выражались стандартными формулами. При машинном счете важно упростить вычисление самих матриц, перемножение же их выполняется по стандартной программе. Поэтому для расчета с помощью ЭВМ систему обычно дискретизируют, беря участки менсду расчетными сечениями достаточно малыми.
В ряде случаев (например, при расчете стержней переменного сечения) применяют метод начальных параметров,'в дифференциальной форме. Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний стержня переменного сечения можно представить в матричной форме: Рассмотрнм два примера представления днфференцнальных уравнений в форме (30.20). Прн вынужденных продольных колебаннях стержня переменного сечения вектор состояния сечения состоит нз амплнтудногосмещення н амплитудной нормальной силы: х=~л ). гу = Ег (дигбг) Справсдлнво равенство (30.21) н уравнение движения элемента те ли+ бу1бг+ Ч(г) =0 где я(г) — амплнтудная ннтенснвность внешней распределенной нагрузки, нзменяющейся с частотой ге. Уравнения (30.2!), (30.22), в сущности, совпадают с матрнчным уравнением (30.20), причем (30.23) В качестве второго примера рассмотрнм кол ебання балки, лежащей на упру- гом основании, под действием распределенной по длине поперечной нагрузки, изменяющейся по гармоннческому закону.
Дифференциальные уравнения в ооычной форме: ди,'йг = т, бу!дг = МДБУ), 6ММг = 1г, (30.24) 40/дг = — й (г) и+ та Гги+ 4 (г). Здесь й(г) — коэффнцнент постели; то(г) — масса единицы длины; д(г)— амплитудная ннтенснвность нагрузки, меняющейся с частотой ы. В матричной форме снстема уравнений (30.24) имеет внд (30.20), причем 0 ! 0 0 и ' 1 х= ч, А= 0 0 — 0 Ег' 0 О 0 1 т~~з — до О О К форме (30.20) могут быть приведены дифференциальные уравнения н дрлтнх задач, в=(о ) Если рассматриваются свободные колебания, то В = 0 и матричное уравнение (30.20) является однородным. Дифференциальное уравнение (30.20) лтожно численно проинтегрировать «вперед» вручную или на ЦВй(, если известны все начальные условия в сечении г = О, т.
е. в случае продольных колебаний и и А', в случае поперечных колебаний и, гр, М, (З. Так как эти условия неизвестны, применяется тот же прием, что и при использовании матриц перехода. Полное решение задачи разбивается на решение неоднородного уравнения и линейно независимые решения однородного уравнения, причем каждое из эгих решений удовлетворяет гран пым условиям в сечении г = О. ич- ,)4 249 — квадратная (2п лс 2п) матрица переменных коэффициентов; В— столбец заданных нагрузок. Так, например, для вынужденных продольных колебаний стержня, левый конец которого заделан (рис.
30.6), можно принять: Х" (О) =- $; Х (О) =- ф (напомним, что первый компонент вектора Х представляет собой амплитудное псремещсние, а второй — продольн1ю силу). Далее, интегрируя численно уравне) ния аг совгау — Х" =-- АЛ" + В; бг Хе АХе д бг Рис. За.б прн указанных начальных условиях, находят Х'(1) и Ле(1).
Так как суммарный вектор Указанный метод называют обычно жетадал~ бврх раачсл« При расчете изгибных колебаний в сечении г =- 0 неизвссзвы два компонента вектора состояния. В этом случае необходимо ньп слнить, всего три расяета — одно интегрирование неоднородного ур; и:ения и два интегрирования однородного. При решении задачи о собственных колебаниях интегрир)ют однородные уравнения.
Интегрирование проводят при различных значениях ез и выбирают те значения частоты, при которых определитель ' уравнений, выражающих граничные условия при г = 1, обращается; в нуль. В случае продольных колебаний при каждом значении частоты проводится одно интегрирование, а в случае поперечных — два в соответствии с числом линейно независимых векторов, удовлетворяющих условиям закрепления конца г =- О. Заметим, что при расчете высших частот и форм собственных колебаний изгиба методом начальных параметров возникают вычислительные трудности. Дело в том, что элементы матриц перехода, в выражение которых входят функции Крылова, быстро возрастают с ростом аргумента ус.
Поэтому определитель Л(р') представляется малой разностью больших чисел. Трудности такого рода возникают не только в расчетах колебаний, 250 ! Х (1) = Х (1) + СХ е (1) должен удовлетворять граничным условиям в сечении г =-1 [для стержня рис. 30.6 Л1(1) = О], то находят постоянную С. При свободном конце г = 1 стержня С =- — Луи (1)/[Л/е (1)). Вслед за этим находят вектср состояния в любом сечении по формуле Х -- СХе+Л-. но и во многих других краевых задачах строительной механики (расчет балок на упругом основании, оболочек вращения и др.) (см, [31). Причиной затруднений является наличие как быстро возрастающих, так и быстро убывающих решений соответствующей однородной задачи, вследствие чего система уравнений, выражающих граничные условия, оказывается плохо обусловлсннои.
Разработан ряд приемов получения хорошо обусловленных х равнений для такого рода задач. В частности, метод начальных параметров может быть видоизменен так, чтобы исключить плохую обусловленность. С этой целью векторы частных решений Х"', Хе', Хи в отдельных сечениях следует подвергать линейному преобразованию, чтобы сделать их ортогональными. Применительно к решению краевых задач для дифференциальных уравнений указанный прием ортогонализации (см.
[3)) предложен С. К. Годуновым. Другим приемом является разбиение системы на достаточно малые участки, вычисление матриц динамической жесткости для каждого участка и формирование матрицы динамической жесткости для системы в целом, подобно тому, как это делается в методе конечных элементов. Значительную популярность при расчете колебаний механических систем получил изложенный в следующем параграфе метод прогонки. а 31. МЕТОД ПРОГОНКИ Сущность метода. Метод прогонки, как и метод начальных параметров, применяют для расчета систем, представляющих собой последовательное соединение .элементов. Зная динамические характе[шстикп каждого элемента, можно рассчитать характеристики заданной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
