Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Сначала дважды интегрируется однородная (т. е, при г) = 0) система уравнений при следуюгцих начальных условиях в заделке: 1) и,(0) = 0; 0,(0) = 0; М,(0) = 1; Есг(0) = 0; 2) ив(0) =-. 0; Оз (0) = 0; М,(0) = 0; Яз(0) = 1. В результате этих расчетов вычисляются и заполгинаются значения М и (,! в сечении г = Е: М,(Е), Яг(Е), М,(Е), Яз(Е), где индекс означает номер интегрирования. Далее интегрируется уже неоднородная (т.
е. с учетом г)) система (27.15) при нул=вых начальных условиях и,(0) = 0; 0,(0) =- = 0; Мз(0) = 0; Яз(0) = — 0 и вычисляются значения М,(Е) и Е,!а(Е). Так как об!цее решение системы (2?.15), удовлетворяющее граничным условиям прп г == О, можно представить в виде и = С,и, (г) + Са из (г) + из (з) где С! и С, — постоянные, то условия равенства нулю момента и поперечной силы на свободном конце стержня имеют такой вид: С,М,(Е)+ С,мз(Е)+ М,(Е) = О, СД,(Е)+ СД,(Е)+ а(Е) = О. Отсюда находят значения Сь Ся, равные соответственно изгибающему моменту н поперечной силе при г -= 0: С, = [Ме (Е)аз (Е) — )з (Е) М.
(Е)]/Л; С, =- [()!(Е) 71?з(Е) — Мг(Е) Рз (Е)]ЕЛ; [ й — М, (Е) Яе (Е) — М в (Е) й (Е) ]. Теперь значения всех переменных прп г = 0 определены, и окончательное нх значение в любом сечении находят с помон!ью еще одного интегрирования системы (27.15) при начальных условиях и (0) = 0; 0 (0) = 0; А4 (0) = С„ ()(0) = С Обратим внимание на то, что интегрирование однородных уравнений надо выполнить только при расчете первого приближения. 1-1айденные значения А4,([), ()с([), А1,(1), Я,(1), А используются затем прп расчете всех последующих приближений. Поэтому прн каждом приближении, кроче первого, выполняются всего два интегрирования. 1-!пже првведена простейшая программа решения рассхитриваемой задачи на ЦВМ типа «МИР-1».
Интегрирование выполнено мето! дом Эйлера с постоянным шагом, равным — пролета. Значения про- !00 гиба при окончательном интегрировании запоминаются в тех же узловых точках, в которых проводились вычисления в табл. 27.1. По этим значениям, приведенным к прогибу на конце, равному единице, рассчитываются интенсивности нагрузки для следу!ощего приближения. В промежуточных точках нагрузка и жесткость ЕУ определяются линейной интерполяцией. Для организации вычислений использованы три символа: Щ, .1, 7(, ٠— номер интегрирования.
При Щ -= 1 и Щ =- 2 интегрируются однородные уравнения, при ббльших Щ— 'Щ с!1 неоднородные. При этом нечетным значениям Щ [г( — ] = О, 2 где Р— целая часть числа] соответствуют частныс интегралы неоднородного уравнения, а четным — интегралы, удовлетворяющие граничным условиям. При Щ = 4, б, 8,... машина выдает значения частоты, подсчитанные по формуле (27,3), и значения прогибов в узловых точках.
Счет прекращается после выполнения ЬЗ интегрирований. 7 — номер узловой точки и следующего за ней участка (7:.—. = 1, 2,...,А[1), К вЂ” номер шага интегрирования в пределах участка между узлами (7( — 1, 2,..., Л'2). Массив (/[П(У = 1,...,4) используется для записи компонентов вектора состояния (и, О, А4, („)). Массивы Еа'[л'], Р[7], (~[,/!, ИЛ служат для записи значений жесткости, погонной массы РР, интенсивности инерционной нагрузки и прогиба в узловых точках. Значения числа узловых точек А>1, числа шагов па каждом участке Л'2, абсциссы начальной ТО и конечной Т7( точек интервала интегрирования, значения жесткости и интенсивности массы в узловых точках указываются в описательной части программы.
В текст программы длина балки внесена увеличенной в 100 раз ( Т7( = 20.4). Поэтому частота колебаний выдается уменьшенной в 1О' раз. Частота обозначена идентификаторам )7 .— р 1О '. В программе предусмотрены четыре последовательных приближения. Они дают следующие значения частоты: р!'! =- 594,1 с ', р!а1 =- 578,5 с ', р!'1 —. 578,2 с ', реп = 578,2с '. Как видно, расхождение между результатами ручного и машинного счета невелико.
218 Проорал,на расчета частоты собственны:с колебаний консольной балка на,с«ашине «ГНИР-1» «РАЗР» 6. Н = (ТК вЂ” ТО)((м! — 1) Х М2); Щ 0; ЦЗ) =- 1; !)[4) =- 0; «ДЛЯ» 3 =- ! <Н1»!«ДО» !4 !«ВЪ)П> Ч[1] = ((! — !)7(М ! — 1)) 4 2; «1ЛЯ» 1 = 1«(Ш»1«ДО»к[! «ВЫ1Ь О[31 = Р[31 Х Ч[31 Х П Х П; 2, Щ = Щ л- 1; Т = ТО; Г)[1) — -- 0; ())21 = О; К = 0; 3 = 1; 3. С == К,'М21 ЕЗ .—. ЕЛ]) х (! — С) + ЕЗ 1) 4- !) х С; О =. («Е»Щ ( 3«ТО»(0)«ИНА> (О)З] х (! — С) О[3 -! П х С)); К[1] .=.!'[21; К[2] = ()[31)ЕЗ; К[3) = Ц4); К[4) — 0; <ДЛЯ»! =- 1«Ш>1«ДО»4<ВЫП» ()1!1 = П[!] -1- Н Х К111; К = К + 1; «.Е»К( Н2<ТО»(«НА»3); 3 =3 ' 1; «Е»Щ ) З«ТО»(<Е»Г[Щ!2) = 0«ТО» (Ч[З] = ЦП)); сЕ» 3 < ЬП<ТО» (К вЂ”.
0; <НА»3); Е»Щ = !«ТО» (А ! —... Ц31; В ! == 1441; ЦЗ] =- 0; ))[41 = 1; «НА»2); сЕ»Щ .— 2«ТО»(А2 = О[3); В2 .—. 1Л41; ОПР -- А! Х В2 — А2 Х В1; Г 131 =. 0; 0[4] = 0; сНА>2); <Е>Р((Н( с- 1),'2) == 0«ТО» !АЗ =. 0[31; 1 [31 —. (А2 х 11[4] — В2 х ))[3]) 'ОНР; 1:[4] = (В! Х АЗ вЂ” А! Х 1,'[4));ОПР; <НА»2); «Е»Р[Щ[2) = 0<ТО>[П =- П,'Т (0[11); <ДЛЯ» 3 = !«Ш>1«ДО»М !«ВЫП Ч[71 — Ч[З] Ч[М1); <ВЫВ»Щ, сПР»2,П; <ВЫВ>«А[АСС»Ч; «Е»Щ = МЗ«ТО>(сСТОП>); <НА»!) «ГДе> м1 = 11; )42 .—. !О; кз = 1О; тО = 0; тК .= 20.4; и = 5 — 2; Ей[11) = 53.3, 44.3, 36.9, ЗО 7, 25.4, 20.7, 16,6, 13.
1, 10.0, 7.8, 5.7; Р[11] = 1.28, 1.224, !.!60, 1.096, !.032, 0.968, 0.904, 0,840, 0.776, 0.7!2 Ч) ! !); О[! !]; (![41; Г[4] «КО» 0.648; а 28. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ СИСТЕМЫ БЕЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРЪ| ЕЕ КОЛЕБАНИИ (Вт — р-'Е1 и =- О. (28.1) Собственные частоты определяются нз векового уравнения А(1/ра) = бе[(от — р 'Е) = О. В развернутом виде это уравнение можно записать так: А(Пра) = (Пр')" — В,(17р')" '-, '+ В, = О. (28.
2) Как нетрудна видеть, коэффициент В, представляет собой сумму эле- ментов главной диагонали матрицы: (28. 3) А=от. Эта сумма 'называется следом (Зр) матрицы А: В, =- ЗрА. (28. 4) 219 В настоящем параграфе дан вывод формул, позволяющих вычислять собственные частоты системы, не составляя и не решая векового уравнения. В основу расчета положим матричное уравнение (12.28) для столбцов амплитудных перемещений и„и„... и,„ и„и„... и,„ 2/ = (ин и2 - ° 2 и2) = 11 12 ''' 12 ~21 ~22 " ' 822 А=о!и= и,г и„2 "и. 3„1 3„2...3„„ т!~11 т2~12 " т~~г тЬ.
тй ...т 3 1//г~! 1/Р22 0 1/р,х (28.9) А = Вт = ЮР13 '. столбцы удовлетво- (28.10» Заметим, что 1 г/г~ 1/рг 2 Пр о 1/Р2 1/р', О 1/Рг р,=. 1/ЪГВ, =1 ~' А! 2=1 Зр А' — 1/р21" . (28. 12) торы 221 220 В случае диагональной матрицы масс 1 11 2 22 2 22 т12„1 т23„2 ... т„ь„„ В, = 5р А = тД1+ т2Г22+ ° ° + лг„й„,. (28.5) На основании теоремы Безу характеристический полипом (28,2) может быть выражен через свои корни (т. е. обратные квадраты собственных частот): й (1//12) = (1/р' — 1//г') (1/р2 — 1/р ) ... (1//г' — 1//г ) .
Отсюда видно, Чтп КОЭффицнсит Прн (1//12)" — ' В,=-1/р+П/ + — ', 1// 'Г Приравнивая различные выражения Вь найдем В, = ср А =1//21+ 1/Ргг+ " +1/р.' (28. б) Правая часть равенства представляет собой убывающую последова- тельность существенно положительных чисел. Поэтому, пренебрегая всеми слагаемыми, кроме пергого, получи!1 оценку низшей собствен- ной частоты: 1//',~ВО р,~1/, В,.
В случае диагональной матрппы масс эта оценка совпадает с оценкой по формуле Донкерлея. Для получения более точных оценок найдем предварительно выражение матрицы А = Зги через собственные ее векторы и собственные числа. Для каждого собственного вектора и справедливо тождество огии, ==- и,/р,. (28.7) Составим матрицу 1/, столбцами которой являются собственные век- Так как для каждого столбца матрицы У справедливо уран!ение (28.7), то для матрицы в целом справедливо аналогичное уравнение, которое можно записать в следующей форме: Втг/= 0.0, (28.8) — диагональная матрица, составленная из обратных квадратов собственных частот. Умножив обе части равенства (28.8) на обратную матрицу ~/-1, выразим матрицу Вт = А через ее собственные числа и собственные векторы: (Матригга 1/ — не особенная в связи с тем, что ее ряют условиям ортогональности.) Возведем матрицу А в квадрат: А' = //О 2/ ЧЛШ ' = ИРЮ '.
.О— 0 1/р„' 1/р„' О 1//г» Сопоставляя формулы (28,9) и (28.10), видим, что собственные векторы матрицы А' совпадают с собственными векторами матрицы А, а собственными ее числами являются величины 1/р„'. Точно так же, возведя матрицу А в любую степень 2, установим, что собственными числами матрицы А' являются величины 1/р„" (г=1, 2,..., л). Для матрицы А' также справедливо уравнение типа (28.6), связывающее ее след с собственными числами: П ЗрА' =- "~ —, (28.11) 2=1 ггг Ряд в правой части равенства (28.11) сходится тем быстрее, чем больше 2, и при 2-2-со р1( з2 2/(В,-(- в' 2В„— В,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
