Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 37
Текст из файла (страница 37)
25.6 пзх + гх = О. х =- исояр1, Отыскивая решение в форме (30 — 2343) (9 — 1!я) 1 — (24 + 543) (12-1- 13я) 1 (9 — 11я) 1 (10 — бя) Р— (12+ 1Зя) ! (4 -1- Зя) 13 — (24 -1- 54 я) — (12 -1- 1Зя) 1 (30 — 2343) — (9 — 1!э) ! (!2+ 1Зя) 1 (4-1- ъ) м — (9 — !13) ! (10 — бя) 13 =0 где я = рзщз!4)(420Е1).
206 2Е3' 333. зп =- ! (6+4 ° 6), гщ='34+ 3443! =- ( — 3! — '4 31), 13 газ=-г + г = — 4 13 14 ( — 31) + 31), гзл =344 + гзэп = (4 213 ! 2р) 1з частков Здесь нижние индексы в обозначениях коэффициентов жесткости для с и для отдельных эф ициепты ж у ов соответствуют нумерации перемещений на рис.
26.3, . О ф ' четкости определяются условиями симметрии матрицыг. Полн матрица жесткости потучает вид р атрицы г. олная Точно так же вычисляется и суммарная матрица массы." 3 десь, например, первый элемент вычисляется такз шлл = таз + ллп — — (156 + 2 . ! 56) 1 н ш41 Лля свободных колебаний уравнение (26.5) принимает вид где и — вектор амплитудных перемещений, придем к уравнению (г — рзщ) и = О, которое может быть выполнено в случае бе!(г — рзлз)=0. Таким об азо, чилл следующее частотное уравнение: — — аким образом, полу ял = 0 О!4231' я3= 0 !165!4; аз=-0 941!26! 34 =-5 0439 соответствующие частоты колебаний рз = г~420ях !' е)!(щз!4) составляют: тг Р.! зг Е1 г Е,! рл = 2,4446 ~ лл —; р, =- 6,9954 ~/ —; рз — — 19,66 ! ~(' Первая и третья частоты соответствуют симметричным, а вторая и четвертая— кососимлле4ричным формам колебаний балки (рис.
26.6). Рассмотренный пример имеет чисто иллюстративный характер, так как при реальных расчетах с помощью МКЭ количество конечных элементов зиа- С:) чительно, а все вычисления, включая формирование матриц !' и т, предусматриваются программой машинного счета. При большом числе сравнительно малых конечных элементов можно пренебречь различием скоростей в пределах одного элемента при подсчете кинетической энергии системы. В этом случае распределенную массу элемента заменяют сосредоточеннымн массами в узлах, подобно тому, как это сделано для балочного элемента на рис. 2б.).
В результате получают матрицу масс диагональной структуры, причем ненулевые элементы стоят только в строках, соответствующих поступательным неремешениям. Таким образом, для рассмотренной выше балки переменного сечения придем к схеме распределения массы, показанной на рнс. 25.7. Система теперь имеет лишь две динамические степени свободы, связанные с изменением координат хз, х„координаты же х,, х, (углы поворота узлов) являются безмассовыми. Лля того чтобы уравнения движения были записаны в обычной форме, следует исключить координаты хю х„и из выражения потенциальной энергии, преобразовав соответствующим образом матрицу жесткости. Рассмотрим это преобразование в общей форме.
Разделим вектор х на два вектора: х, и х,, в первый включены линейные перемещения масс, а во второй — безмассовые координаты (углы поворота). Соответствующим образом перестроим и разобъем на блоки матрицу жесткости: Тогда уравнение, связывающее упругие усилия, действу)ощие на узлы и перемещения, будет иметь вид где )71 — вектоР Узловых сил, 17т — вектоР Узловых моментов. ПРн наличии лишь сосредоточенных в узлах масс вектор е) равен нулю и потому г,) х, + г„.хе = О, отсюда -1 х, = — г„г,!х,; и для вектора узловых сил получаем выражение еу) = !'их, + ! )тхе = (гн — г)зг-1 гь ) х,.
Матрица г = — ги — г!еге„г,) позволяет связать упругие силы только с линейными перемещениями. Уравнения движения, включающие только линейные перемещения, получат вид Ш'Х!+ !'"Х, = ф, где (')1 — вектор внешних узловых сил. Произведем перестроение матрицы жесткости для рассмотренного выше примера.
Здесь х)=( ), х =( ) После соответствующей перенумерапии строк и столбцоз матрицы г получим 30 — 24: 9! — 24 30: — 12! 12! — 9! гп .' г— !3 г! ге 4И 10И 9! — 12! : 1О!' 12! 9! 4!з Обратим матрицу: н вычислим матрицу г*: г* = гп — г! и. г,! —— те !з 1( 24 30) 42 ( 12 9)( 2 5)(12 9Е7 ( 3 — 2) Соотнетстауюп)гя диагональная матрица масс 3 1 О) п'= — т,! ( 2 ' 0 1)' Из условия бе1 (г* — реи*) = О получаем урззиение частот ! — 2 3 — е! ( ОЕ/ Корни этого уразнения а1 = 1, аз =- 5 и соответствующие частоты / ЬЕ! Г Ез зГ ЕУ р, = ад — — — 2,449 —, р, =- 5,477 ~/ Согостазляя эти результаты с полученными иыше, видим, по при диагональной матрице масс первая частота определяется с высокой точностью.
Сущестаеиное преуменьшение второй частоты саязано с тем, что при диухмассозой схеме псреоненизается инерционность среднего участка балки (см. рис. 26.6). й 27. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ Метод последовательных приближений позволяет определять формы и частоты собственных колебаний с любой степенью точности. Особенно эффективен этот метод при определении низшей частоты колебаний.
Рассмотрим порядок расчета на примере системы с диагональной л)атрицей масс. 1. Задают приближенно форму колебания и,'о' (нулевое приближение), 2. Определяют силы инерции при амплитудных отклонениях системы: Е1= 1 Р( ~ т)и, (значение частоты р!о) может быть произвольным).
3. Методами строительной механики определяют пеоемещення и)11), 1) вызванные силами Ре. Значения и( представляют собой первое приб- лижение к форме собственных колебаний. 4. Находят первое приближение для частоты собственных колеба- ний, например, по формуле Рэлея: 11) ''=-~'хРг )х,, — "')" ги",х (Г')'.)з7п Далее за исходную принимают форму первого приближения и про- водят повторный расчет, в результате которого определяют второе приближение, и т. д.
Частоты при последующих приближениях опре- деляют по формуле Свидетельством того, что процесс последовательных приближений 209 сошелся, является пропорциональность смещений при г-м и (г + 1)-м приближениях, т. е. независимость отношения и(('>/и(('+>> от номера массы !. Заметим, что если это условие соблюдается, то формула (27.2) для расчета частоты может быть упрощена: р =-р и, и! (с+!) (с) (с)/ (с-ф-!) (27.3) причем отношение и('>/и('чл> бсрется в одной из точек системы.
Формулой (27.2) следует пользоваться прп расчете частоты, когда (,,' форма и('+>> существенно отличается от формы и(') (например, при первом приближении), формулой (27.3) — при последующих этапах приближений. Докажем, что метод последовательных приближений сходится к первой форме собственных колебаний. В матричной форме процесс последовательных приближений записывается в виде* и'+" = (р('>Р оти" (27.4) где и('>, и'44> — столбцы перемещений г-го и (г+ 1)-го приближений; о — матрица податливостей; т — матрица масс. Заметим, что если и('> = иь — собственная форма колебаний, то [см. уравнение (12.34)1 иь = р~йтиь. (27.5) Разложим форму нулевого приближения по собственным формам: и»" = с(и(+ с!из+ ° ° ° (27.8) Подставим это разложение в уравнение (27.4) для формы первого приближения: (з(>> = (р(е>)зйт (с(и! -)-сзиз+ .) ° (27.7) Воспользовавшись тождествами (27.5), приведем уравнение (27.7) к виду гз~ > = (р'"'/р() (с!»з! г сз (р!/рз) (аз+ сз(р(/рз)~из+ ' ') ° (27 8) Сравнивая формулы (27.5) и (27.8), можно установить, что так как р! ( рз < рз < ..., то форма и((> ближе к первой собственной форме, чем и(е).
При каждом следующем приближении доля высших форм колебания продолжает уменыпаться в отношениях (р,/рь)' и таким образом последовательность столбцов и('> быстро сходится к первой форме собственных колебаний и!. !', Запись уравнении (2?.4) отнюдь нг означаег, что последовательные приближенна в самом деле вычислнютсн по этому уравнению. результат расчета, конечно, ве зависит от того, каким образом фактически подсчитываются перемо щения и(с+!), вызванные силами рати(е). 2(0 Соответственно и частота, подсчитываемая по формуле (27.2), быстро приближается к первой собственной частоте.
Очевидно, что если при выборе формы нулевого приближения и(е> обеспечить ее ортогональность к первой форме собственных колеба- ний, то коэффициент г, в разло>кении (27.5) будет равен нул(о и расчет будет сходиться ко второй собственной форме. При определении второй формы и частоты собственных колебаний методом последовательных приближений поступают следующим обра- зом (предполагается, что матрица л(асс — — диагональная); 1. Путем последовательных прпбли>кений определяют с достаточ- ной точностью первую форму колебаний иь 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
