Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Таким образом, получается полная система 2п уравнений для 2п неизвестных. Определив эти неизвестные, получим вектор состояния для й-го сечения. Далее задача заключается в определении вектора состояния для остальных сечений. Этот процесс называется о б р а т н о й п р от о н к о й. Можно было бы определить Х в каждол» сечении, применяя соотношения метода начальных параметров, но двигаясь теперь справа палево. Однако если однородная система имеет быстро возрастающие решения (а именно в этом случае эффективен метод прогонки), при этом процессе снова произойдет потеря точности и граничные условия па левом конце не будут выполнены.
Разработаны различные методы обратной прогонки, лишенные этого недостатка. Наиболее эффективен метод, который можно назвать методом в с т р е ч н о й п р о г о н к и. Суть метода такова: сначала определяются путем прямой прогонки (слева направо) матрица 7. и вектор о. Значения 7. и Я запоминаются только для тех сечений, где нужно вычислять Х. Затем проводится такой же точно расчет, но справа налево. Прн движении справа налево следует в формулах прогонки (3!.16) использовать блоки матрицы перехода М от правого сечения и левому: а под столбцом Лг' понимать ЛТ= — М »Лг" [см. уравнение (31.9)).
При этом определяются Х и э. Так как значения Х(г) и Х'г) в крайнем правол» сечении уже известны, прн обратной прогонке могут быть приняты любые начальные гпачения матрицы К„и вектора Юа, лишь бы они удовлетворяли уравнению Х == Х„Х вЂ” Ха. (г) са) В результате встречной прогонки в каждом подлежащем расчету сечении получаются два матричных уравнения; Х, = АХг+ Ю; Х, -=7хг+ Ю. (31.18) Из этих уравнений находят векторы Х, и Х,: Х»=7(~ — г-) (о о) т Х, = (Š— Х) ' (Ю вЂ” Ю). (31.19) Применение метода прогонки к определению частот и форм собственных колебаний.
Если рассматриваются собственные колебания, то возмущающие силы отсутствуют и, следовательно, Я .= О. Поэтому в процессе прямой прогонки при заданной частоте ш определяется а66 "-3»6 267 только матрица Еь в крайнем правом сечении и соотношение (31.17) получает вид Х<("> = — Еьхг Это матричное уравнение содержит п линейных алгебраических уравнений относительно компонентов векторов Х(~<~ и Х~г~~. С другой стороны, имеется п линейных однородных граничных условий, связывающих компоненты тех же векторов.
Полученная система может иметь нетривиальные решения, только если ее определитель Л(а>) = О. (31.20) Практически (как и в методе начальных параметров) расчет проводится при различных значениях <о и собственные частоты определяются как значения ы, удовлетворяющие уравнению (31.20). Поскольку прп собственной частоте определитель системы уравнений равен нулю, вектор Х(<о определяется с точностью до постоянного множителя, которому, как и всегда при расчете свободных колебаний, л<ожно дать произвольное значение.
Таким образом, вектор Х("> в крайнем правом сечении системы можно считать известных!. Для определения формы колебаний, т. е. значений Х в остальных сечениях, можно пользоваться следующим приемом: один из векторов (например, Хг) в предыдущем сечении ! определять через векторы Х, и Х, в (! + 1)-м сечении по формулам метода начальных параметров: Х('> = М Х('+'> + М,Х'+ ' (31. 21) (М„, ̄— блоки обратной матрицы перехода М = М '), а для определения второго вектора использовать соотношение Х! = Е(Лг (с> и> Если требуется определить только олин какой-либо вектор, Х, или Х„то можно воспользоваться формулами (31.8) и (31.14). Из этих формул получаем в случае свободных колебаний: Х! > (М + М<2Е ) Х<( ь > Хг = (М<<Е + М«) Хг (31,22) Применение метода прогонки Лля решения дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Изложенный выше алгоритм метода прогонки полностью применим и в том случае, когда элементы, присоединяемые к системе на каждом шаге, являются бесконечно малыми, т.
е, когда рассматривается решение системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Вэтом случае вычисления оказываются даже более простыми, так как отпадает операция обращения матриц. Дифференциальное уравнение, определяющее перемещения и внутренние силы в сечении, может быть представлено в матричной форме [см. уравнение (30.20)1: 258 (<1/с>г) Х = АХ.+ В . (31.23) Здесь Х --вектор состояния сечения, включающий 2и искомых парачетроз; А — квадратная (2п х 2п) матрица переменных коэффициентов;  — вектор нагрузок.
Если взять два сечения: г и г + с(г, то векторы для этих сечений связаны формулой Х(г + с[г) =- Х(г) -1- (с[Х/с[г) с[г, или, учитывая уравнение (31.23), Х(г-1- с[г) = (Е+ Ас>г) Х(г)+ Вс[г, (31.24) где Š— единичная матрица, Сопоставляя это выражение с общей формулой (31.9) перехода от одного сечения к другому, видим, что в данном случае матрица перехода М и вектор ]1/ определяются формулами М = Е+ Ай, ]1/ = Вй. (31.26) С учетом этих соотношений можно далее использовать всеформулы, выведенные выше для конечных участков.
Так, деля все неизвестные параметры на две группы: Х! Х«<.! х„„ Ф Я Х„ Хы„ устанавливаем, что в любом сечении г векторы Х, и Х, связаны за- висимостью Х< —— — г. (г) Х, + Я (г). Формула (31.16) для прогоночной матрицы Е(г -'-, й) получит вид Е (г + с[г) =- [(Е + А <<с[г) Е (г) + А < <й] (Е + [А „+ Аз<А (г)) с1г) '. (31.26) Здесь учтены зависимости Мп =Е+А„й; М.з = А«с[г; М„= Аз<с[г; М„= Е+ А„й, вляющиеся следствием первого из равенств (31.26). При этом Аы бозначены квадратные (п х и) блоки в матрице А уравнения (31.23). Справедливо соотношение (Е+ ас>г) ' — Š— ай. В самом деле, умножая: (Е -1- ай) (Š— ас[г) = Е + 0 (с[г'), 25(> получаем единичную матрицу с точностью до малых второго порядка. Поэтому формулу (31.26) можно переписать в виде 7.
(3 + с]з) == (7. (г) + (А,! Ь(з) + А,в] бг) (Š— (А,а+Ав,7. (3)] с]а). Или, выполняя умножение и отбрасывая малые второго порядка, Ь(з+ с]з) = 7(з)+ (Аг«Ь(г)+ А,а — а.(з)!А... + Ае«Е (з)])дю Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение для матрицы Е(з) (бус]з) 7.(з) — — 7.(з)(А»«Е(в) -р Авг]+ Агг7.(в) + А.а. (31.27) эквивалентное системе гга уравнений для элементов матрицы. Аналогично, второе уравнение (31.16) превращается в дифференциальное уравнение для столбца Я: (с]lг]з) Ю(з) = (Ам — 7(г) Ае,]8(з) + В, — 7(з) Ве.
(3128) Уравнения (31.27) и (31.28) интегрируются численно «вперед» с учетом граничных условий на левом конце системы"'. Если этим граничным условиям придать форму Х! (О) «еХе (О) + ~0 где 7.в и Юе известны, то при интегрировании уравнений (31.27) и (31.28) следует полагать: 7. (О) = 7.м В (О) = Вш Полученные в процессе интегрирования значения матрицы 7.(з) и вектора Я(в) запоминаются для тех сечений, в которых требуется рассчитать векторы состояния. После того как вычислены значения а,(!) и В(!), уравнение Х,(1) = 7.(!) Хв(()+ Ю(1) совместно с граничными условиями на правом конце системы позволяет определить Х,(!) и Ха(1).
Если требуется посчитать векторы Х, и Х«в промежуточных сечениях, то по формулам (31.27) и (31.28) проводится интегрирование справа налево при начальных значениях В(1) и Ю(1), соответствующих граничным условиям на правом конце. Следует иметь в виду, что при этом интегрировании г]з отрицателен. После этого в каждом сечении, подлежащем расчету, Х, и Ха определяются по формулам (3!.19). Другие методы численного решения краевых задач для систем линейных дифференциальных уравнений рассмотрены в гл.
11 работы ] 3]. ' Уравнения (3!.27) и (31.28) другггм методом получены в работе В. Л. Видермагга «Примеиеиие метода прогонки для численного решения задач строительвой мехавикик — Инженерный журнал МТТ, АН СССР, 1967, 1«ь 6. 260 й 32. РАС'1ЕТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ Сущность расчетного метода. Регулярными называются системы полученные последовательным соединением многих одинаковых эле ментов. Классическим примером регулярной системы явсчегся натя путая нить с расположенными на ней на равных расстоя«вях одина Рис. 321 Рис. 32.2 ковыми бусинками (рис. 32.1, а) или вал с одинаковыачг дисками (рис. 32.1, б). Можно указать и более важные практические примеры — многоопорные балки с одинаковыми пролетами на иестких или упругих (рис.
32.1, в, г) опорах, рамы и фермы регуля;иой конструкции (рис. 32.2, а, б). Особое место занимают циклические регулярные сисггхи — замкнутые рамы (см. (46]) (рис. 32.3), винт вертолета (рис. 12.4), лопаточный венец турбомашины и т. д. Рис. 32.3 При расчете регулярных систем используется то обстоятельство, что типовые элементы, составляющие систему, одинаковь. в поэтому достаточно составить уравнения движения только для одкого такого элемента. Выделим из системы двумя сечениями типовой структгрный элемент.
Для системы, изображенной на рис. 32.2, а, этот элемент покаган на рис. 32.5. Перемещения и внутренние силы в каждш! из сечеий составляют матрицу-столбец Х, состоящую пз 2п элементов. Для 261 а) --» — -о- — ь — ° — « —. ° — о — — ° — ю.~ ' ])++К 3) а) В) »-« ,Ь РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ 1 где й! О й, П П 0 А„ Рис, 82.2 Рис. 82.5 (32.2) 0 1 /г! 2 й' й, К' =- 0 О й2. О изи 2и Х, '«с2у, =-: Ус, (32.'3) 2и Х! = ~~~~~сзу = Ус, то 2и (32.4) 263 системы, изображенной на рис. 32.2, а, в общем случае плоских колебаний 2п = 12 (горизонтальное, вертикальное и угловое смещения для каждого из стержней и соответствующие внутренние силовые факторы). Если ограничиться случаем кососимметричных (изгибных) колебаний, то 2п = 6. Рассматривая движение выделенного элемента, можно установить связь между векторами состояния для сечений ! и ! + 1 где М вЂ” квадратная (2п 2С 2п) матрица перехода, элементы которой зависят от частоты и!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
