Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Конкретные вычисления не представляют затруднений. Рэлеем (см. 142]) рассмотрены также колебания без растяжения срединной поверхности открытых сферических оболочек. При закреплении оболочки, исключаюп(ем возможность чистого изгибания, расчет колебаний следует основывать па уравнениях, учитывающих растяжение срединной поверхности. Уравнения движения оболочек. Если отнести оболочку к системе гауссовых координат а, (), совпадающих с линиями кривизны срединной поверхности (слз. (3]), то уравнения движения могут быть записаны в таком виде: дзи Лггзи + Л гзп+ Л'ззиг =- Р" (37.9) д з Л'зггг+ Л/з а+ №зпг — р/г —., дзм Л ми + Л/ззп-~- Л/, ш = рй дм где и, о, пг — компоненты перемещения точки срединной поверхности в направлениях а и ()-линий и по нормали, рЬ вЂ” масса оболочки на единицу срединной поверхности, Лгг/ — дифференциальные операторы. Структура операторов Л/» для оболочек произвольной конфигурации весьма сложна.
Поэтому уран~ения движения в виде (37.9),' т. е. в перемещениях, имеет смысл записывать только для простейшего случая цилиндрической оболочки постоянной толщины, для которой коэффициенты уравнений постоянны. В этом случае ЕЬ 1+ гз дз (1 — Нз) /зз 2 дзд) ЕЬ д Лггз = Л/зг = з )г (1 — гзз) ззз да (37А0) ЕЛ гд дз дз (1 — Нз) Из дй ~ дазд~з д,'з () Здесь а = х//7, 0 == з//7 — безразмерные координаты точки на срединной поверхности (см.
рис, 37.1) аз = Ьз/(12/7з), Система уравнений (37.9) имеет восьмой порядок по координатам а, 3 и второй — по времени. Даже тогда, когда уравнения имеют постоянные ьозффициегпы (т. е. для цилиндрической оболочки) и при дзи рассмотрении гармонических колебаний с частотой зз, т. е. при — = дя дзз ., дзгз = — счзи, —,, — — — ызо, —., — — — ызш, аналитическое решение этих шз уравнений может быть выполнено лишь при некоторых специально подобранных граничных условиях, В остальных случаях используют приближенные пли численные методы расчета.
Особенностью уравнений движения оболочек является то, что, как это видно, в частности, из формул (37.10), в эти уравнения входит малый, пропорциональный квадрату толщины оболочки, параметр а', на когорый умножаются старшие производные перемещений по координатам. Поэтому, если рассматриваются такие формы колебаний, при которых перемещения медленно меняются по координатам а, й„соотвегствующилгн (моментными) членами в уравнениях (37.9) можно пренебречь. На основе безмоментной теории рассматривают низшие формы колебаний оболочек, закрепленных так, что обеспечивается возможность безмоментного состояния.
При высших формах собственных колебаний оболочка разбивается узловыми линиями на ряд достаточно пологих сегментов, на каждом из которых напряженное состояние быстро изменяется по координатам. В этом случае для расчета может быть использована так называемая теория пологих оболочек. Применительно к цилиндрической оболочке уравнения теории пологих оболочек получаются из уравнений (37.9), если в операторах Л/зз, Лгзз, Л'„(37.10) опустить слагаемые с множителем аз. Аналитическое решение задачи о собственных колебаниях для замкнутой цилиндрической оболочки может быть получено при так называемых граничных условиях Навье.
Согласно этим условиям на торцах оболочки отсутствуют нормальные пг и окружные и перемещения, а также нормальная сила Тз в срединной поверхности и изгибающий момент М . Условиям Навье удовлетворяют следующие выражения компонентов перемещения: и .=- А соз (тзз г,з/0 гпп п6 соз р/, о = В сйп (лязгала//) соз пй соз р/, ш:-= С з(п (гггхйз//) сйп и() соз р/. Подставив этп выражения в уравнения движения (37.9) с учетом выражений (37.!О), придем к системе трех линейных алгебраических уравнений относительно А, В, С.
Равенство нулю определителя этих уравнений приводит к кубическому уравнению относительно рз. Три корня этого уравнения соответствуют трем различным формам колебаний с одинаковыми числами (О* 291 (37.12) Рис. 27.7 Рп. Згл 293 узловы овых окружностей и образующих, но с различными соотношениями между Л, В, С. Вычисления частот и форм колебаний приведены в работах !18, 39]*. Следует отметить, что в отличие от пластин, где наименьшие собственные частоты соответствуют формам колебаний без узловых линий, в оболочках, закрепленных так, что деформация их без растяжения срединной поверхности невозможна, наименьшие частоты имеют колебания с узловымп линиями. Это объясняется тем, что формы колебаний без узловых линий связаны со значительными деформациями в срединной поверхности оболочки.
Собственные колебания оболочек вращения. Для расчета колебаний оболочек вращения с произвольной формой меридиана целесообразно использовать численные методы. Перемещения и внутренние силы в оболочке вращения при колебаниях с И узловыми меридианами представляют в форме 1; (а, (1, г) = х; (з) соз вг' соз (37. 11) где з — координата, отсчитываемая по дуге меридиана оболочки, 8— центральный угол (рис.
37.6). Множитель соз(гй принимают для сим- метричных, а множитель з(п(г() — для кососимметричных относительно начального меридиана величин. В качестве основных неизвестных удобно ввести компоненты перемещений и внутренних си,т, отнесенные к системе координат, показанной на рис. 37.б. Здесь ось 7 направлена по нормали к осц симметрии оболочки, ось 2 — по касательной к параллельному кругу, а ось 3 параллельна оси симметрии. Компоненты перемещений точки срединной поверхности по осям ~ 1, 2 и 3 обозначим соответственно и„гг„иа.
Кроме того, введем в рас- т ! * См. также; В а г о и 1... В 1 е ! с Ь 11. Таыеа 1ог 1гсг!попоет апг( гпог(еа о1 (гее т!Ьга!!оп о1 !пцпие1 у 1опд !Ып су!!пг(г!са! тЬс1!ж Тгапа. Л9МВ, уопгп. Арр(. Мссь, то!. 21, № 2, !954. 292 ! смотрение угол поворота нормали к оболочке вокруг, оси 2 (б).
Внут ренине силы, действующие в сечении оболочки, нормальном к меридиану, н отнесенные к единице длины сечения, также разложим по направлениям 1, 2, 3. Здесь учитываются составляющие сил )с, 5, х и изгибающип момент М (рис. 37,7), Прп колебаниях, симметричных относительно нулевого меридиана при 2/г узловых меридианов, перемещения и усилия изменяются в соответствии с равенствами (37.11): и,: — и, созга]1созвг, гс' = (с»соз(гйсозв(, и» =иаз!п(гйсозвГ, 5=5 з(п(г()созв(, » » и, =пасов(гйсозв(, Л =-Х созЦсозв(, й — О соз(гйсозв(, М=-М соз(гйсозга(. »»»,» Величины иг иа, иа, д н соответствующие амплитуды усилий являются функциями дуги а.
Уравнения теории оболочек в переменных и„и„имб, )г, 5, х., М выведены в работе [3]. Внося в зти уравнения вместо интенсивностей нагрузки интенсивности снл инерции по направлениям 1, 2, 3, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно амплитуд перемещений и сял. В матричной (]ор»е зги уравнения можно записать так: где А — вектор состояния с кем„снсвта» и х, = и»г, х, = и», ха = и», с а' а= а х, = », х, = гс~, х, = 5», х, = Л~, х, = М», А — матрица переменг!» ных козффициентов.
Злементы матрицы А см. в табл. 37.1. Особенностями уравнений в форме (37.12), отличающими нх от других аналогичных уравнений, приведенных в литературе, является непрерывность их решений при произвольной форме меридиана, в том числе и с угловыми точками, а также то, что в уравнения не входят кривизна меридиана и производная от толщины й оболочки. Решения уравнений (37.12) должны быть подчинены граничным условиям в двух окружных сечениях, ограничивающих оболочку (по четыре условия на каждом краю).
Граничные условия накладываются непосредственно на основные неизвестные — перемен»ения или соответствующие им усилия. В случае оболочки, замкнутой в полюсе, можно (при )г 2) считать, что она заделана на окружности малого радиуса г„и полагать 'гам иг = иа =. иа =.б = О. Решить краевую задачу для уравнений (37.12) простейшим способом начальных параметров удается только для весьма пологих оболочек и при небольших (г.
В противном случае численное решение затруднено благодаря наличию быстро возрастающих и быстро убывающих решений. Позтому следует использовать либо метод днффе- Таблица 37,1 в ~ «7 «,=Ма «1 == Пл «з =" из рлз — сов' 0 ЕЬ с,п 1/ — !1 Г 0«1 05 со  — — /Ил Г 0 япВ г 2 (1+/л) сов 0 /1— Г сов 0 рв в!па Х Х сов 0 1 ! в — яп'0 ЕЛ яп0 — /л Г 51п  — 0/л Г 0«з 05 соз 0 сов 0 г о 12 (1 „в) б«л яп0 — 07/л— 05 гв сов 0 аз!л— гз яп0 — /л/л— гв о Еав С05 0 — (1 — и)— г /лв Еав Х з Га Х 51П В Сов 0 бхв Еа / ьлав — — з( + —.! )— ба г" (, 12Г' С05 0 — 0— 51П 0 /л г 51П 0 /,в/, гв Вл Еав — — — х 12 хяпрсов — рл в /лв Е/лв — — — яп0 0050 гл 12 япВ Ви— ЕВ 05 — „— раив гз а~в 115 05Еав Х яп — 0— г Еаз / 2/лв +/71 с05 0) 12г' 1+ р. сов 0 г соз  — /Вв!л— ГВ вв Еав — — — япВ Х гл 12 !2гз 2 ',1+„ — Р/1 и в Х С050 /7 Еав — 510 0с05 0 гв !2 сов 0 — (1 —; )— б«в /в~ ЕЬ~ — — — 51П 0 Соз 0 бв ' гз 12 яп0 — сов В ренциальной матричной прогонки, изложенный в гл.
1в/, либо метод ортогонализации С. К. Годунова (см. !3, 49)). При прогонке целесообразно применять метод жесткости. Согласно этому методу при свободных колебаниях векторы Х, и Х, перемещений и сил в сечении (37. 14) "1) ' Х =- 1— связывают зависимостью (37.13) 295 294 0 —,' ()+ ввав + — 51П В) 12гв 0«7 ! Вл Еав — — — — яп 0 сов 0 бз гл 12 — '" (!+ + — „в!Пв 0) 12гз 05Еаз / 2 12гв (,1+ /л + совз 0) 1 — /лз — яп ВХ ЕВ Х сов 0 О Еав сова ' 2сов0 в!п — — МпВХ ВИ— гз 12 Г Г г Х С050 причем матрипа жесткости 7.(4Х4) определяется дифференциальным уравнением 0 Г = (Азг (-Азз)А — (Аз!+ Авл, где А„— квадратные (4 х 4) блоки матрицы А (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
