Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Сборник статей тй) 19, вын. 7, «Теоретическая гидромеханиказ нод ред. Л. И. Седова. М., Оборонгиз, 1956. Решение задач Коши можно произвести численным способом. Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (12.13) после замены независимой переменной )с на у" согласно формулам(1$.10) и (11.15) преобразуется в систему линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде простых рациональных функций от $'. В точках, соответствующих центру симметрии, при — — 2!(2 + т) у некоторые коэффициенты имеют полюсы.
Требуемые решения преобразованной системы можно построить в виде рядов, сходящихся для всех значений у в интервале 2 4 (2+,)7 '~ ~ (7+1)(2+,) (для т = 3 при у 7), в котором требуется построить нужное решение. Результаты численных расчетов дают для всех трех случаев т =- 1, 2, 3 для А значение, близкое к двум '). Условие (12.8) и в линеаризированном случае условие (12.15) можно заменить требованием о конечности энергии возмущенного 280 одномнвныи нвустлновнвшився движения тлзл 1гл. гч движения.
Конечность энергии и условие (12 15) для линеаризированных уравнений эквивалентны. После определении постоянной .4 из формул (12.11) при отбрасывании неуказанных членов высшего порядка получим уточненную связь между 1 и д при малых д. й л йт йг аг йУ аУ ау Рнс. 88, Сравнение различных теорий с численными репгениями для функ- ции 7 (1) (с = аз/сз, 1 = ге~ге). Па основании (12.5) связь между д и т при малых д имеет вид т зь 2 )" тз" ) т ( А2(т+1) '(2+в/ т(уо)п~уч ) 2+т 2+ Зч Соответствующие кривые даны на графиках рис. 88 и 89. Пунктирные линии соответствуют автомодельному закону (12.4), штрих- пунктирные соответствуют уточненным законам с учетом линейных членов, сплошные линии получены при численных расчетах с помощью счетных электронных машин ').
з) О о!й з11п е Н. Н., Х ел го а в и йо В1азг %'аче Са1сп!аыов. Сошш. 1'пге апй Арр1. Мат)ь, т. 8, № 2, 1955, р. 327 — 354. 1'асчет произведен в диапазоне 100) рз/рд) 1,017. В г ой е Н. Ь., Хпшег1са1 8о1пмавз о1 8р)гег!са1 В!азг')татов. 1. Арр1. Р)гуз., ч. 26, № 6, 1955, р.
766 — 775. Расчет произведен в диапааоне 1600~ р,(р,) 1,06. О х оц им си ив Д. Е., Кондрашева И.Л., Власова 3.П., Казакова Р.К., Расчет точечного взрыва с учетом противодавления. Труды МИАН СССР, т. 50, 1957. Диапазоны расчета 1740) р,/р,) 1,008. О х оц им с к н й Д. Е., В л а с о в а 3.
П,, О поведенийударных волн на большом расстоянии от места взрыва. Ж. вычисл. натек. и матем. физ., т. 2, № 1, 1962, стр. 107 — 124, точкчиыи взвыв с увитом пвотиводавлкнин 281 з !21 ю д,; дг ю аа уу ау Рис. 89. Сравнение разлнчиых теорий с численныпи решенияии для функции т (д) (т == 1!К). гоф.я др!рт ~ ! др)рз ~ Рис. 90.
1(ривые для производных ( — 1 = Кг()) ~ / = йг()) да ! = ' ''г да lа.=з !'дг!г, 'г п ( ' ( = !г (К), определяюпых влияние протпводавления в начальной )а=а стадии точечного взрыва. 282 ОДнОмеРные неустАнОВиВшиесЯ ДВижениЯ ГА3А [Гл. тч Результаты численных расчетов для функций 7, (А), я, (Х) и Ь, (А) для т =- 3 даны на рис. 90. С помощью этих графиков согласно формулам (12,11) для малых д можно оценивать изменение характеристик двиягения газа с течением времени ').
Автсмсдедьные мрисые Начиная с 1955 г. публикуются работы '), в которых приведены результаты численных расчетов решения неавтомодельной задачи о точечном взрыве (сферический случай: т = 3, у = 1,4) с учетом противодавления. Результаты всех процитированных работ были сопоставлены и обработаны в введенных выше безразмерных переменных з). ') Липеармсмронампая задача с яеустззомпмшеыся двпжечпп газа, вытесняемого расширяющимся поршнем, рассмотрена з работах: К о ч и н а Н. Н., М е л ь н и к о в а Н. С., О движении поршня е идеальном газе. П51М, т. 24, вып.
2, 1960, стр. 213 — 218; О неустанозизшемся движении газа, вытесняемого поршнем, с учетом протпеодазления. ДАН СССР, т. 12, с№ 2 !958, стр. 192 †1. ') См. сноску яа 280 стр. ь) Приводимые ниже результаты численных расчетов обработаны Н. С. Мельниковой, В. П. Коробейниковым и Е. В.
Рязановым. Результаты расчетов пеавтомодельяой задачи о точечном взрыве при У =- 1; 2; 3 для широкого диапазона значений у приведены е работах 1964 г. !См. К о р о б е й н и к о е В. П., Ч у ш к и и П. И ., Метод расчета точечного взрыва в газах. ДАН СССР, т. 154, № 3, 1964, стр.
549 †5;М е л ь н як о з а Н, С., С а л а м а х з н Т. М., О расчете точечкогс взрыва в различных газах. Ж. прикл. мехаа. и техн. физ., № 4, 1964, стр. 155 †1.) 0,1867 О,'2669 0,3342 О',489О О,6ООЗ 0,6812 0,7566 О,'9566 0,980! 1,2524 1,32!О 1.5!7! 1,8751 2,3222 2,8641 3,6983 7,0791 9,6424 0,01403 О,ОЗ2ЗО О,'05ГьЗ1 0,1231 0,1842 0,2333 О,'2807 О,'3667 0,4323 0,6296 О.'6811 0,8299 1,!080 1,'4636 1,8973 2,7763 5,3764 7,5180 21,1 1О,'З1 4,967 З',О56 2,321 2,010 1,835 1,615 1,521 1,'338 1,315 1,255 1,185 1,'1З6 1,102 1,066 1,032 1,022 !г !ь !з !ь )е !з !ь !ь !ьь !и !ы !ы ры !гь !ге !и !ьв $ з21 тОчечный ВЗРЫВ с учетом ИРОтиводлвлвния еяз На рис. 91 — 93 даны распределения скорости, плотности и давления за фронтом взрывной волны; на графиках указана наиболее ощутимая переменная ~ = гз!ге, характеризующая расстояние взрывной волны до центра взрыва, измеренное в долях динамической длины ге =- (Ее!р,)''А йа Рис.
91. Расвределенне скоростей нрн точечном взрыве. В прилагаемой таблице даны численные значения пронумерованных значений 12 и указаны соответствующие значения т = 11те и перепад давлений на фронте ударной волны рз/рм Все приведенные графики верны и для точечного взрыва при любых р„р, и Е„но при у = 1,4. Р ггг гг о7 г, Рис. 92. Распределение плотности при точечном варыве. Р дг гг юа ц Рис. 93. Распределение давлений при точечном взрыве.
У,1 йг У,Е йУУУ1 У У У У.1У Перепад давлений на фронте в функции радиуса ударной волны Рвс. 9гг. у Я в 1 Л 7 У г Е гг Пг Рве. 95. Плотность ва фронтом волны в функции радиуса ударной волны, 266 одномегные неустАновившиесн Движении ГАЗА 1гл. тт Связи д (1) и д (т) даны на рис. 88 и 89, из которых легко усмотреть диапазоны приближений и характер отнлонений при у ',у лк г г з ж с Рвс. 96. Скорость зз фронтом волны в функции радиуса ударной волны. затухании ударной волны. На основании графиков рис, 88 и 89 и формул (12.6) легко построить лз ( величины рт/ры р, р,и кз/аы от- / (А' вечающне фронту волны в функ ции от 1илиотт.
Соответствую(т щие графики даны на рис. 94— йг — „, =Ряу 96 (рис, 94 и 96 даны в логариф- мических масштабах). На этих Д7 графиках приведены также кривые, соответствующие авто- модельному движенито и асимпул ' — ., тотической формуле Л. Д. Ландау '). На рис. 97 и 98 представлеРис. 97. Изменение давления в фиксированной точке пространства ны графики, взятые из цитиро- ванной работы Неймана и Гольд- штина, для изменения давления р/р, в функции времени в ') См.
Л а н д а у Л. Д„Об ударных волнах на далеких расотояннях от места их возникновения. ПММ, т. 9, выл. 4, 1945. 287 1 1З1 О МОДЕЛИРОВАНИИ ПРИ ВЗРЫВАХ фиксированной точке пространства и для изменения давления р/ры в функции координаты г/ге для фиксированного момента времени. 4л чо 7У 4д фт Ряс. 98. Распределение давления в фиксированный момент времени. Выше даны графики, вычисленные для сферического случая при у =-- 1,4. Для закона движения ударной волны и для характеристик газа за фронтом волны при других у, а также н случаях цилиндрических и плоских волн имеются теоретически аргументированные приближенные формулы ').
13. О моделировании и о формулах для максимального давления и импульса при взрывах Структуру формул, определяющих максимальные давления, импульсы и т. и. в зависимости от расстояния до места взрыва, от энергии взрыва и от других факторов, можно было бы дать в самом начале книги как один из примеров, аналогичных тем примерам, которые были рассмотрены в 9 6 главы Ц. Однако излоекение этого вопроса, а такяее правил моделирования явления и действия взрыва удобнее дать после развития теории точечного взрыва В газе; это упрощает задачу и позволяет опереться на описанные выше постановки соответствующих задач.
Для оценки действия взрыва на некоторое тело, попадающее во взаимодействие с полем возмущенного движения газа, моекно рассматривать максимальное давление р„„, или величину действующего на поверхность тела импульса 1, отнесенного к единице площади на рассматриваемой элементарной площадке поверхности тела. ') К о р о б е й н н к о в В. П., Прнблкжепкые формулы для расчета характеристик фронта ударной волны прн точечном взрыве в тазе. ДАН СССР, т. 111, 76 3, 1956, стр.
557 — 559. 2ЗЗ одномвгнын ннгстлновившився движнния глзл [га, зч Прн наличии только напряжений давлений на поверхности тела импульс 1 можно определить по формуле я 1=1(р — р,)а, г. где р, — начальное невозмущенное давление, 1е и г, — характерные моменты времени (например, Гэ — время начала взаимодействия, Г, = ао или 1, соответствует моменту изменения знака у разности р — р, и т. п.). Иногда существен взятый за характерный промежуток времени вектор.необщего суммарного импульса, действовавшего на тело.
При взрыве происходит взаимодействие возмущений в среде, окружающей тело, и самого тела. Величина р „„в разных точках поверхности тела, импульс 1, суммарный вектор импульса,у и другие характеристики взаимодействия зависят не только от свойств заряда и его расположения относительно тела, от свойств окружающей атмосферы, но существенным образом зависят также от свойств самого тела, его формы, условий закрепления, массы и других динамических характеристик, от его свойств деформируемости и сил внутреннего сцепления, условий расположения относительно других тел и т. п. При выделении системы определяющих параметров и условий подобия необходимо отмечать размерные и безразмерные параметры, характеристики самого тела, определяющие его размеры и форму, массу и ее распределение в объеме тела, параметры, характеризующие внутренние силы сцепления, весомость тела ит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
