Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Вдоль интегральныхкривых параметр )> стремится к О только на интегральных кривых х = О при Р = ~ оо и при подходе к особой точке С, в которую упирается одна-единственная интегральная кривая, которая другим своим концом упирается в точку В. Особым точкам В и 0 соответствуют конечные значения параметра ) ,— ь О. 250 ОДномегные негстлновившиеся ДВижениЯ ГА3А [Гл. 1У Нетрудно видеть, что ре[пению задачи о сильном взрыве мо;нет отвечать единственная интегральная кривая, упирающаяся в особую точку С, соответствующую центру симметрии '). Однако это решение невозможно продолжить непрерывно до г = оо, ',поэтому непрерывное движение газа при сильном взрыве невозможно. Для того чтобы это решение можно было продолжить и сочетать с покоем через сильную ударную волну, необходимо и достаточно, чтобы согласно (11.8) точка ЛХ с координатами 4 8т (т — 1) [у+ 1)(т+ 2) ' з [т+ 1)в[в+ 2)з принадлежала интегральной кривой, упирающейся в бесконечности в особуго точку С.
Важный теоретический вопрос о существовании решения поставленной выше задачи о сильном взрыве связан с доказательством принадлежности двух точек ЛХ и С одной и той же интегральной кривой для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (5.10) при со = О, б = 2/(2 + т). Очевидно, что этот вопрос невозможно решить с помощью приближенного численного решения. Однако оказалось, что решение получается в конечной замкнутой форме. В самом деле, из условий на ударной волне (11.8) следует, что постоянная в правой части интеграла энергии (3.11) равна нулю. Отсюда следует, что интегральная кривая в плоскости х, )г, соответствующая искомому решению, представляется простым уравнением (11.9) 21( + 2) т — У) Подставляя х из (11.9) в уравнение (5.11), на основании гранич- НОГО УСЛОВИЯ 4 [т + 1) (т + 2) с помощью простой квадратуры найдем Х ([г).
Функция Я (Р) легко определится из интеграла адиабатичности и найденных функций х ([') и Х (Р). Постоянная в интеграле адиабатичности определится условиями на ударной волне (11.8). Интегральная кривая (11.9) является той единственной интегральной кривой уравнения (5.10), которая упирается в особую точку С (з = оо, г' = 2/у (т + 2)). Вдоль этой кривой перемен- ') Детальный анализ этого вопроса дан в работе, относлщейсн к 1945 г. бы. 0 е д о в Л.
И., Распространение сильных взрывных волн. ПМ51, т. 10, выл. 2, 1946, стр. 241 — 250. ЗАДА~ДА О СИЛЬНОМ ВЗВЫВК 251 (т + 2) (7 + 1) (11.1О) Р А (и+2)'(7+1) дддп 87 г — =Х, гд р 7 — 1 — =у =- — Я, рд 7+1 причем = (.+2)(7 + 1) ( — рд) с'рд д (У + 2)(7 + 1) (11 11) 7+1 Рд = 7 1 Рд (т+2)д(7+1) ~ рд/ д (т+2)д(7+1) г' +2 у Ра д(рд Обозначим через г, начальную координату частиц газа — латранжеву координату. Очевидно, что для каждой частицы координата гэ равна радиусу ударной волны г, в момент ее прохождения через частицу.
ная 2, уменьшается от единицы на ударной волне до нуля в особой точке С, в которой дг имеет конечное значение 2/7 (7 + 2). Отсюда следует, что скорость газа в центре симметрии равна нулю (дд = где), что является естественным механическим условием продолжимости решения до центра симметрии. Таким образом, доказано, что решение автомодельной задачи о сильном взрыве существует и единственно. Это доказательство существенным образом связано с тем, что значения хд и гг, (11.8) за фронтом ударной волны оказались принадлежащими как раз той единственной интегральной кривой, которая проходит через особую точку С, благодаря чему решение продолжимо до центра симметрии. На всех соседних интегральных кривых движение газа нельзя продолжить до центра симметрии. Ниже даны универсальные формулы, таблицы и графики, справедливые при рд —— О для любых значений начальной плотности р, и энергии взрыва 3, Мы воспользуемся следующими обозначениями и соотношениями, вытекающими из определений (1.1) и из условий на ударной волне (11.2): 252 одномггнык нкустлноинвшикся движгния ГАЗА (гл.
ту Из условий на ударной волне н вз уравнения адиабатичности за фронтом волны следует Р Ра 8(т — 1)т Е 1 — =- — е(ге) = т ( ( 2)а(„( 1)нмн т (11.12) Отсюда получаем формулу 1 гс»)» 87(т — 1)т Ят (ч+ 2)е(7+ 1)1™ (11И3) которая может служить для вычисления лагранжевой коордняаты. Согласно (11.11) верны также следующие равенства: ~ж Г . ( У" 2+с(7 — 1) (7+1)(»+2) при ч — - 3 достигается для у =- 7, кри т = 2 — для 7 =- со и при ч =- 1 — только для у ==- — 1.
Следовательно, при и =- 1, 2 и у ) 1 интервал изменения переменкой Р определен неравенством ( +2)т ~'- (+2)(т+1) (11.14а) т) Аналогично задаче о сильном взрыве в цеитре симметрии покоящегося газа рассмотрено автомодельиое движение газа прв сильном периферийном взрыве, вызываазя1ем движение ударной волны к центру симметрии (см. Г р о д а о в с к и й Г. Л., Автомодельиое движение гааа яри сильном периферийном взрыве, ДАН СССР, т. 111, 1»й 5, 1956, стр. 969 — 971; К о ч и и а Н. 1!., М е л ь я и к о в а Н. С., Неустаиовившиеся движения ярв периферийном варыве. Труды МИАН СССР, т. 87, 1966, етр.
106 — 115). где и,е и р„— скорость и давление за фронтом ударной волны в момент прохо;кдення ударной волны через точку с координатой ге. Решение задачи о сильном взрыве представлено с помощью конечных формул в параметрическом виде с переменным параметром %'). Интервал изменения И и характер движения вблизи центра симметрии зависят от относительного расположения точки ЛХ, отвечающей движению газа за фронтом скачка, и особой точки 2,', которая, кан было выяснено в 9 5, принадлежит интегралу (11.9) и при больших у поднимается в область з ) 0 (см.
рнс. 43). Согласно (11.8) и (5.14) равенство Р для точки М и Рв для точки е' ЗАДА 1А О СИЛЬНОМ ВЗРЫВГ 253 В неравенстве (11.14а) значение У =. (т+ 2) (т+ 1) В неравенстве (11.14б) значение ]г = 215 соответствует границе растирающей пустоты, а ]г =- 4]5 (т + 1) соответствует ударной волне. Таким образом, пустота при конечных больших т получается только в сферическом случае. После проведения указанных выкладок полное решение представится формулами [~+ П.+ ~,ГА~ + ~~+ ], гз 'Ь 4 'с~ — 1( 2 (т + 2)(т + 1) ,'1 2 + т (т — 1] ~~1]1 — а (т + 2)(т -(- 1) — 2[2 + т (т — 1)] [, 2 1 гз ] (т+2)(т+1) '] з+' [ т+1 ! (т+2)т )г 1)1 х гз [ 4 ]~ — 1( 2 Х (т +- 2) (т + 1) /1 2 + т (т — 1] ']]аг ( + 2) (т+1) — 2 [2+ т (т — 1)1 ( 2 ~т+1(1 -2, Ц ("'а: — ~+ ) (т + 2)(т + 1) , г га 4 Р ~т+1 ((т+2)т Я 1)~ге~ т+ ! l1 т+2 )г)~а: Х~ (1 —,, )г) (у+2)(т+1] (1 2+ (т — '!) у['"" (2+т)(т+1) — 2 [2+ т(т — 1]] ( 2 /З 2 й ! ( +2)(т+1) )г11+ (т+! 11 т-(-2 ]г)1"'+',, Рз [ 4 1 [т — 1 2 Х вЂ” — )1 (т+ 2) (т+1) у'] ! 2 [ т(т 1) )']га — за, (т + 2) (т -[- 1) — 2 [2+ т (т — 1) ] (, 2 г р 12 Рг / (11.15) 2 соответствует ударной волне, а )г = соответствуетцентру (т+ 2)т взрыва.
Если т =- 3 и т ( 7, то формула (11.14а) также верна; при т =- 3 и т ) 7 интервал изменения ]г определен неравенствами (11.145) 27»4 ОднОмеРные неугтановнв>пивсй двп>ккния гкал [гз 17 где (7+ 2) 7 И"+:2)' "1- "== а,(7 + 2) аб -= 2 — 7 [2 + 7 (7 — 1)) а< аз =- 7 (2 — 7) а,— 2(7 — 1)+, 2 О'б 7 2 ' 2-)-7(7 — 1) аз = (11.18) 2(7 — 1) + 7 7 аз= 2 (7 — 1) + 7 Эти формулы имеют следующий вид: 2» (2+ 7) 7 р й ( ~ ) ("+2><7 — 1> 1 ( >.1><1 1> .1, ( Р» / р >3 р < .»-2 1 +1 ( Р1 2<7 1>+ 2 <2 7> фл (11.17) где для сферической симметрии; 27<7+О (7 ) 1)(7 — 1><37 — 1> 137» 27+12 ( 27 + 1 ') М7 — и <2 — И а>-1> 7 — 7 / В 27 — 1 23(7 — 1> <7 — Ц <з7 — 1> 1) 7 (7— 7(-1 О 32 (7+ 1) з7 — 1 (' 2)»+ 1 (, 7 — 7 137» — 77+12 2— (11.18) ь< 7><27 1> 2'<' 7 37 — 1 )»2 а (7 — 1) ' для цилиндрической симметрии 7+1 з7 — б (7+1)17(1><> 2<1-» 7 2 '>' )3 2 4 — 7 72 — 7 йз = )»3 = а1(7-1) 7 — 1 2 2 <1 (11.19) Из формул (11.15) для 7 ( 7 легко вывести асимптотические формулы для <», р, р и температуры Т вблизи центра взрыва при )г — ~ и г — >О.
2 (2+ 7) 7 2 11) ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ 255 ДЛЯ ПЛОСКИХ ВОЛН; бт — 4 4+7 — 274 (2 1) 2(7 — 1> Ю вЂ” 7> ( + 1) З(7 — 1>(2 — 7> 2 1 22(7 1> 7 1' 1 (7 — 1) б7 — 4 2 (' (27 — 1) 2(2 9 2(7+1> (7+1)'(' 7> »2 Л1(7 — 1) (11.20) а> >а >а га -- уа >а га — уа >а га — >. Рпс. 71. Величины Усд (у), >42 (у), 1>2 (у) в формулах (11Л 7), дающих асимптотичесипе значения плотности, давления и температуры вблизи центра взрыва. плотность весьма быстро стремится к нулю, а температура— к бесконечности. Легко видеть, что энтропия таки(е стремится к бесконечности. Вблизи центра взрыва возникают большие градиенты температуры; благодаря этому свойство теплопроводности становится весьма ван(ным. Если учесть теплопроводность, то температура в центре взрыва получится конечной. Масса газа разлетается от центра взрыва (при г = 0 имеем 0), давление в центре конечно, но стремится к нулю при возрастании времени.
Отсюда ясно, что при сильном взрыве в газе, в котором до взрыва имеется конечное давление, должно возникать обратное движение газа к центру взрыва. Зтот эффект хорошо наблюдаем при Зависимость постоянных >с„')22 и й, от у представлена на рис. 71. Вблизи центра симметрии скорость близка к нулю; давление отлично от нуля и асимптотически постоянно по координате г. 2чз одномвгныи нкустановивжикся движкния газа англ. тч подводных взрывах, в которых возникают повторные пульсации газового пузыря. Вследствие разлета газа от центра и понижения давления возникает архимедова подъемная сила, вызывающая всплывание в окружающей атмосфере области возмущенного движения газа. По данным на фотографиях взрыва атомной бомбы в Нью-э1ексино вертикальная скорость подъема святящегося ядра имела порядок 35 л!сея. На рис.
72 — 79 для у = — 1,4 даны графики для распределения скорости, плотности, давления, температуры за фронтом волны, для закона движения и для изменения состояний частиц газа в случаях т =-. 1, 2, 3. 'г Рпс. 72. Распределение скоростей аа ударной волной: сплоюная линия— сферический случай; тятриховая — цилиндрический случай; пттрих-пунктир- ная — плоский случай. В таблицах приведены некоторые численные значения величин, полезных для различных приложений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
