Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Для потенциала скорости и для величины скорости можно написать формулы оге гее†ш 1Р =— г (11.35) ея в,е гт Лт которые верны для любого закона г" (1) расширения внутренней сферической полости. Рис. 85. Распределение давлений в иес1кимаемой жидкости при точечном взрыве: 1 — автомодельное решение; 2 — решение с учетом противодавления для малых Е = ге!гш; 8 — давление, когда внутренняя каверна имеет максимальный радиус. 273 ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ вЗГЫВН Из интеграла Лагранжа, если внутреннее давление р* = О, а внешнее в бесконечности р, = сонвь, получим (11.36) Отсюда, (1 1.37) Из решения автомодельной задачи на основании формулы (11.33) найдем Коли ввести обозначения (25л)'~'У 2 в ' т=1 З~ь ~л Ь рт е е / 3 Яс ~= —, г „= у — х=~/ "пал (11.38) то закон расширения внутренней полости представится универ- сальной формулой (11.30) Рнс.
36, Закон расширения внутренней каверин; 7 — автомодельиое ревение; 2 — движение несжимаемой жидкости с учетом противодавления; 3— сжимаемая среда при у = 11. 274 ОДПОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИ1КЕНИЯ ГАЗА ~ГЗ, 1У Очевидно, что г„„, равняется наибольшему радиусу внутренней полости. Закон расшп11ения согласно (11,39) изображен на графике (рис.
86). В этих же переменных закон расширения для автомодельного движения представится формулой з/ $аа. (11.40) соответствующая кривая на рнс. 86 дана пунктиром. На графике 86 нанесена также кривая для автомодельного решения для газа при у = 11. 6 12, Точечный взрыв с учетом противодавления Рассмотрим теперь задачу, сформулированную в $ 1, о точеч- ном взрыве в совершенном газе с постоянной начальной плот- ностью р, н постоянным начальным давлением рд, отличным от ну- ля.
При учете давления р„входящего в условия на ударной волне, теряется автомодельность. Как у1ке было указано в З 1, решение пеавтомодельной задачи зависит только от двух независимых безразмерных переменных и от одной отвлеченной постоянной у. Обозначим, как и раньше, через г,переменный радиус ударной волны и через с = Й;1оГ скорость ударной волны. При описании движения с точки зрения Эйлера возьмем сле- дующие безразмерные независимые переменные: 2 г аг Х= — и 17= —, аз где а, = ур11'р„а1 — скорость звука в невозмущенном состоянии газа.
Диапазоны изменения д и А определяются неравенствами 6<7.<1, ОСД С1. Вместо переменной д можно воспользоваться также одной из безразмерных переменньгх .ня т = —,„, где Га = ЕЗ1 Урпэг (12 2) т — безразмерное время, или га 7 И,~п~ — где га = =~я,) 1 — безразмерная координата ударной волны, 1а — динамическое характерное время, га — динамическая характерная длина. ТОчечный В3РыВ с учетом пготнводАВления 275 э )3! На рис. 87 даны графики в сферическом случае для определения гг в метрах и Гг в секундах в зависимости от энергии взрыва и от высоты стандартной атмосферы, определяющей давление рх и плотность р,.
Например, возьмем в качестве основной энергии энергию Ег, вычисленную на стр. 265, и для ориентировки приведем следующие численные значения для высоты Н = 5 км: 1 Ег = 7,19 ° 10'г эрг, ге~51 м, сг 0,002сек; Е, = 7,19 10'г эрг, гг 1100 м, 2г 4,1 сек; 1000Е, = 7,19 20'г эрг, г' 11 000 м, 2' 41 сек. Для сильного взрыва прн р, = 0 имеем 7 = О, т = О, 1 = О. Для точечного взрыва с учетом р, ~ 0 при с -+. 0 имеем т — ~ О, 1-+. 0 и д -ь О.
В дальнейшем мы можем принять, что если безразмерные характеристики движения газа, имеющие вид 1 () ь у) при д — э- О, или при т — ~ О, нли при 1 -+. 0 сохраняют конечное значение, то они стремятся к соответствующей, известной из решения, данного в з 11, функции для автомодельного движения. Для автомодельного решения, независимого от величины р„при конечных р„р, и Ег можно рассматривать конечные велнчиныд,т, й Так как зависимости скорости ударной волны от времени 1или от координаты г, для автомодельного движения известны (формулы (11.4), (11.5) и (11.6)), то это дает следующие соотношения: / 2+т1г г,, р+„ 2 (12.4) у=у(, ) а1. Для неавтомодельного движения функциональные связи д (т) нли д(1) определяются законом движения ударной волны, при д -+- 0 этн функции соответственно стремятся к (12.4).
Нетрудно видеть, что при постоянной скорости звука а, = ~ — верна ч / 1'~1 Р1 следующая формула: (12.5) Обозначим, нак и раньше, через э„рг и р, значения скорости, плотности и давления на фронте взрывной волны. На основании 27б ОДНОМЕРНЫЕ ННУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ РАЗА ГГЗ, гу Рис. 87. 'Масштабные постоянные: гз = Р Е„'р — динамический линейный раз ер в ь1 рах; ь' = Еаер*,ь*рьмл — динамическое время в секу дат;.
Нь— высота стандартнои атмосферы; Ез — энергия взрыва в зргах. 5 121 тОчечный ВВРыВ с Учетом 12РОтиводьвления 277 условий на ударной волне (11,1) верны формулы 2а, 1 — д Р,(7+1) Р, 27 — (7 — 1) Т ~о =, +1 — Ро = 1+2 Ро = . +1, ° ( определяющие в явном виде зависимость от о всех характеристик газа на фРонте УДаРной волны. Зависимость ЄЄРТ от т или 1 заранее не известна; определение этой зависимости равносильно установлению функции о (т) или функции о (1). Если взять в качестве неизвестных функций величины 1().,д)= — ", д(),д)= (', й(),д)= ", (12.7) Ро Ро ' (7 + 1 + (7 — 1) (1 — д)) (7+ 1 — 2 (1 — О() 1 да 27(7+1) а дх +((1 — о) — — о ~~ г,— = О, д( 2 — (1 — т) 1 до дч ЕГ, 2(1 — о) д( ! 2 (1 — д) ~ '1 дх 2 ('1 — о)(т — 1) 7+1 да+С 7+1 ~ ) о' И + 7+1 Х ~+ + да 2 д дд 7+1 — 2(1 — д1 1 Его 1( го — =.
О, 27 (7 — 1) (1 — Т)о 1 до [ + ( 1 Н 7 + 1 + ( 1 1 ( 1 ) 1) о (12.10) то точные условия на ударной волне представляются в простой форме: при Х = 1 ~ (1, о) = я (1, д) = Ь (1, д) = 1. (12.8а) В центре симметрии обращение скорости в нуль дает равенство 1(О, ) = О. (12.8б) Начальные условия в задаче о точечном взрыве можно написать в виде 1 (), 0) = (о(й)о К (Х~ 0) = Ео (Х)~ й (Х 0) = Яо(Х) (12 9) гле (о (Х), до (Х) и йо (Х) — соответствУюЩие фУЕЕЦии ДлЯ автомодельного движения, найденные и изученные при решении задачи об автомодельном движении в з 11.
В этих переменных система уравнений для одномерных неустановившихся адиабатических движений газа (1.3) преобразуется к виду 278 ОдномеРные неустлновившиеся Дини>ения ГАЗА (рл. гч Уравнению (12.10) и условиям (12.8) и (12.9) можноудовлетво- рить, положив 1 (Ь, Ч) = й(Ч+ И (Ч + " К(Х, Ч) = аэ()>)+ И1(Х) + Ь (Ь, д) = Ь, (Ь) + дь, (Ь) +..., '=(.+.)' ', "" (12Л1) С помощью уравнений (12.10) и краевых условий (12.8а) и (12.8б) можно определить функции уд (Х), дд (Х), Ь, ()>) ипостоянную А'). Краевые условия дают: ),(0) =0, У,(Ц =0, ~,(1)=0, Ь,(1) =О. (12А2) Уравнения (12.4) приводят к следующей системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содер>кащих неизвестную постоянную А: 2 ° т +, 1с1е — Чэ — — 6~ й> + >7+1 2 Г )в -(- 47 — 1 2 + ) Ье — Чейз ~злобе + ° ~з8еА„1 = 0> 27(7+ 1) 7+ 1 2 2 т — 1 2 3 2 +,— ~э+-„— ~с+ У~й — ЬКс —, 78э = 0 ~ 7+ + (йсйз — 7Ьаэа! 6 + ) )>~ Ьсй> 2 Г 2)> 7+1 '«7+ 1 — 7(7+ 1)Ь>4>1 7), 1 А) аОЬ> Г 2>« 2 Г 47> — (7 — 1)тл (~еЬо 7Ьзйо) Гс+ 7ЬеФс ) А + ) = О.
/ 7+1 27(7-1) 2 ~й'су> + (12Л 8) ') Решение этой задачи дано в диссертации Н. С. Мельниковой (Бурновой), защищенной в МГУ в 1953 г. (Реферативный журнал «Механика>, № 3, 2535, 1954). Несколько позже аналогичная линеаризировапная задача о точечном взрыве с учетом противодавления независимо и другим способом была изучена А. За)«пга( (см.
8 а )г о г а 1 А., Ов 0>е 1'гораианов алб 81госепге о1 1)>е В)аз1 >уате, 1, Н. 1. Р)>уз. Бос. 1арав, т. 8, № 5, 1953, р. 662 — 669). Подробное исследование и численные результаты, полученные Н. С. Мельниковой, были опубликованы в третьем издании этой книги в 1954 г. 1 12) тОчечный ВВРыВ с учетом пРотиводаиленпя 279 )(оэффпциенты этих уравнений суть известные функции от А, выражающиеся через функции („д„й„соответствующие автомодельпому решению.
Постоянная А входит линейным образом только в свободные члены, поэтому искомое решение системы (12.10) можно представить в виде 6=-1 +А1гт, ьт = ь"и + Ае'тт Ь, = Ь„+ АЬно (12.14) Функции (тг (Х), дп (Х), Ьы (Х) определим как решение задачи Коши для системы (12.13) при А =- 0 и при начальных данных 1 (1)=0 а (1)=0 Ь (1)=0.
Функции 71т (Х), дтв (Х) и 1гтз (Х) определим как решение задачи Коши для аналогичной системы уравнений с соответственно измененными свободными членамн и с начальными данными ~м(1) = О, ды (1) = О, Ь„(1) = О. Условие (12.12) в центре будет удовлетворено, если постоянная А определится из условия )(п1 ((ы + А1гт) = О. (12.15) х е г) Численные расчеты для случаев т = 1 ив = 2 даны в работе: Б р у шл ински й Д.Н., С ол омах ов а Т.С., Исследование задачи о сильном взрыве с учетом нротиводавления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
