Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(14.10) Здесь  — произвольная постоянная. Формулы (14.10) дают решение задачи ') о сильном взрыве при 7 — 7 "- 7+1. Определив в этом случае постоянную В нз условий на ударной волне, получим з р= А(7+1) )зт-и г (у — 1) з 2(7+ 1) „гзз (Зт — 1Р 2 г Зу — 1 А -з г или, относя скорость, плотность и давление к соответствующим величинам за ударной волной, найдем — = Х вЂ” = )з — = )з . з Р Л 1 зз Рз Рз (14.11) ') Соответствующая связь между зз и у для цилиндрических воли при 4 ч 2 имеет вид зз = + 1, а для плоских' волн при т = 1, если т ~ — 1, — 7+1 имеет вид м = 1. [г. Ру ЗОО ОднОмеРные неустАнОвившиеся дни|кения ГАЗА Из этих формул ясно, что в этом случае движение продолжается до центра симметрии, причем в центре симметрии плотность и давление равны нулю. Нетрудно видеть, что проиаводная с()п ХЯ)т в точке )г„г, меняет знак при изменении о, когда точка Ке, г* проходит через точку г'„га по интегральной кривой (14.6).
Отсюда следует, что при движении от ударной волны к центру симметрии — прн убывании Х вЂ” необходимо двигаться по интегральной кривой (14.6) вверх, если )гг ( Р'е, и вниз, если у"г ) $'е (см. рис. 43). В первом случае при приближении к особой точке И= 2/у(5 — о), г = оо параметр Х стремится к нулю, движение определяется вплоть до центра симметрии; во втором случае необходимо двигаться по интегральной кривой вниз к особой точке т' = з , г = О, в которой параметр Х принимает конечное значение ').
Легко определить связанную с энтропией комбинацию р/р' в функции от начальной координаты ге. На основании условий на ударной волне (11.2) и формулы (14.4) получим — р', ' се = (У ) ' ' г'" '. (14.12) (у, 1)7~1 ' (у ) 1)т~~1З од о е Соотпошенне (14.12) используем для определения ге!гг в функции параметрического переменного У.
Любопытно отметить, что по мере распространения ударной волны по частицам энтропия частиц за фронтом скачка убывает, если о ( 3)у, сохраняется постоянной прп о =: 317 и возрастает, если о ) 3!у. В диапазоне — ( о(З з Т ударная волна замедляется, тогда как энтропия за фронтом волны растет.
Это объясняется теы, что, несмотря на ослабление ударной волны и падение давления за фронтом волны, плотность падает настольно сильно, что энтропия в результате этого возрастает. При таком эффекте, если з 7 — у — (о~( — . у 7+1 возмущенное движение газа занимает всю внутренность сферы ') из формул (14.14), (14.15), дающих решение, ато видно непосредственно. 1 141 сильный В3РыВ В среде с пеРеменнОЙ плотностью 3О1 ударной волны — вплоть до центра симметрии; если же — '< <3, у+1 то вблизи центра взрыва образуется пустота. Рассмотрим еще поведение температуры Т, за фронтом ударной волны.
Учитывая условия на скачке (11.2), получим (14.13) = — = (,+1Р Здесь Л вЂ” газовая постоянная. Температура Т, пропорциональна с', следовательно, для рассматриваемые движений газа температура за фронтом скачка может возрастать только при возрастании с', т. е. при ю ) 3.
Пользуясь интегралом (14.6) уравнения (5.10), из уравнений (5.(1) и (5.12) с помощью одной простой квадратуры ногино определить Х (у) и Я ((г), что позволяет получить в замкнутой простой форме полное решение рассматриваемой задачи. Это решение дается формулами ( (5 — в)(7+1) (г1 — —., „( 7-Р 1 / 7(5 — в) )г (Ц-", гз ( 4 1 х — )1 (5 — в)(7 + 1) / 27 — 1 ~1 — ю 7 — т — (7+1)е ) 2 х (5 — )(7+1) /( 27 — 1 у),1, х[ / — ' 1 х 7 — т — (7+1)в ( 2 Д х [ (1 )г)1, з Р ° (5 — в)(у -(- 1) г (г р [ (5 — в)17+1) 1 — "[ 7+1 ~ 5 — е Яе х ( -' )1'*- (5 — в)(7 4- 1) 71 37 — 1 лй*+ах1 ~Л* 7 — т — (7+1)в (, 2 р й [ (5 — в)(7+1) (г1 —,„[ 7+1 (1 з — в )у*.+г Х (5 в)(7+1) /1 37 — ' )1" +" ( -е — -(+ ).
~' Р Рз та Р, р (14.14) 362 ОДномегиые неустАИОВНВшиеся ДпижениЯ ГАЗА (Гл. 17 где пт~ (5 — ю]7 ( 2(6 — 37 — ю) 37.— 1 [ 7 (5 — в)1 (27+1 — 7ю) ' (5 — ю)(3 — е) а, — в+3 (27+ 1 — 7ю) ' ю(1+ 7] — 6 пе = (6 37 — ] (37 1] и1 (6 — 37— от (14.15) а, =- (6 — 37 — ю) 7 (27+ 1 — 7ю) ' Формулы (14.14) дают полное решение с точек зрения Эйлера и Лагранжа.
Эти формулы показывают, что распределение без- размерных характеристик движения будет одинаковым для раз- личных звачений энергии взрыва Е . Формулы (14.14), (14 15), описывающие полное решение задачи о сильном взрыве, для не- которых значений параметров 7 и еП (1 = 1, 2, 3), 7 — 7 2(7 — 1)+ 3 юе 7+1 ' 7 юе = 3(- — 7), при которых обращаются в бесконечность либо коэффициенты правых частей в формулах (14.14), либо показатели аг(( = 1, 2,..., 7), можно записать в другом ниде, удобном для расчета всех интересующих нас характеристик движения. Решение задачи для первого особого случая, когда ш = шм было исследовано ранее н дается формулами (14.11).
Установим вид решения в двух других случаях, когда о = шт (при а = шт показатели а„а,, сс„пе обращаются в бесконечность) и когда ю = ае (при ш = ю, показатели аю а„ат обращаются в беско- нечность). Вид решения в этих двух случаях можно получить либо предельным переходом в решении (14.14) при ю — т- ш, (1 = = 2, 3), либо непосредственно нз системы дифференциальных уравнений (5.10) и граничных условий (14.5), подставляя в них 2 ю= а1,б=б;(бе== ю. 7 Если проделать вычисления '), то при ш —.= шт найдем г ( (7+1)(5 — гее) „) — — [ (7+1) ( 7 1)~- —, Х ехр ') Подробный вывод формул, описывающих решение при ю = юь дап в книге: Коробейников В,П., Мельникова П.С., Рязап о в Е. В., Теория точечного взрыва.
М., Фивматгив, 1961, и в статье: Коробейников В.П., Ряваиев Е.В., Представление решения задачи о точечном взрыве в тазе в особых случавх. ПММ, т. 23, вып. 2, 1959, стр. 334 — 337. [гл. тч 304 ОднОмерные неустАИОВиншиеся дВижВннн ГАЗА «'(Л, ое'= ез ф Ркс. 102. Поле скоростеп прп точечном взрыве в газе с перемениоп начальной плотностью, распределенной по закону рт = — Аlг,"„у = 1,4.
В случаях го ( 7!3 движение продолжается до цевтра симметрии. уй ай=— А гсг /е" е ф Ф' йу йт Л Рис. 103. Поле плотностей при точечном взрыве в газе с переменной начальной плотностью, распределенной по авиону р, =- А!г", у = 1,4. В случаях ю ~ 7/3 движение продолжается до цеатра симметрии. 1 ЗЬ1 СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В СРЕДЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ 305 ,Ф/Л,ге/=— ф гт йл РД Щ' ОУ /Р А=— к г Рис. 104.
Поле давлений при точечном взрыве в газе с переменкой начальной плотностью, распределевиой по аакоиу р, =- А/г", у = 1,4. В случаях ю К, 7/3 движение продолжается до центра симметрии еа /Р г А= гз Рис. 105. Поле скоростей при точечном взрыве в гаво с переменной начальной плотностью, распределенной по закову рг = А/г~~, ю ~~ 7/3 для у = 7/5 и ы )~ 2 для 7 = 5/3. 1гл. гч 306 ОднОмеРные неустАЕОВИВГпиеся дннпгения ГА3А ЮЮ 67 л--„- г 'в Рис. 106.
Поле плотностей при точечном вврыве в газе с переменной начальной плотностью, распределенной по заиону р, = Аг", ю ) 7/3 для 7 = 1,4 и ю ~ 2 для 7 = — 5/3. ЛУ Р дг УЮ 37 Л Рз Рис. 107. Поле давлений при точечном взрыве в газе с переменной начальной плотностью, распределенной по закону р, = Аге, ю ~~ 7~3 для р = =1,4 и в~2 для у =- 513. 1 111 сильныЙ ВзРыВ В сРеде с пеРеманнои плотностью зо7 7 — т При ю( — вблизи центра взрыва верны следующие асимит+1 тотические формулы: Р 7+1 г ю~ 27 27 + 1 «,+ада — Š— -( ) ( — ) 27+1 —,'з=( )" (",')"( — ''1) '-+ ..-', 7+1 ) (14.16) Из формул (14.16) следует, что если ю ° 3/7, то плотность при г — а. О быстро стремится к нулю, давление получается отлич- 7 — т ным от нуля однако при ю-+ — давление в центре стремится 7+1 7 †к нулю.
При ю = 7+1 асимптотические и точные формулы совпадают и даны равенствами (14.11). 7 — т Если ю) —, то образуется расширяющаяся от центра 7+1 2 взрыва пустота, на границе которой Р = —, причем верны следующие асимптотическне формулы: 17+1 ~ — — '„,, 1 Зт+м — б ~ ., б — аа (7 + 1) — аа (. „, ) ааа -- у+1 +--.1 (т) 7аа з — аа 7+1 ~ Зт+за — 6 аа+аа1о Я =( — )= .
х 2 ) 7 — 7 7+1 7(1 — 7) ~ — (аз+а)( Га '1 — 1 а+П (7 + 1)(37+ м — 6) ) ( га ) (14.17) где 308 одномвгныв нвустлновнвшнкся движвния глчл 1гя. зт причем аы а„а„ал, аь определяются по формулам 114,15); здесь 9 г* — радиус прп $'= =„; внутри соответствующей сферырадиуса г* получается пустота. Отношение ге/гз в функции от ш представлено на рис. 108. и гз фу 7У 4л йу фт Рнс. 108, се — радиус сферы внутренней границы; сз — раднус сферы ударной волны.
Отношение гь7г з функции показателя ы для газа с начальной плотностшо, распределенной яо аакопу рь = Лlг~ пря у = 775 к у =.— 5!3. е Прн ьо ( 3 давление при г —: г* равно пулю, плотность равна 0 6 нулю прн ш( ), и бесконечности при ш) . При ш)3 Ру у+)' давление на внутренней границе равно бесконечности. Из установленных аснмптотическвх формул ясно, что энергия возмущенного движения при ш ( 3 конечна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
