Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пользуясь этим, пайдом, что уравнения (16.10) и формулы (16Л4) для автомодельпозо движешзя примут изд 3+а+ лгл аз аз х з (16.31) (! — 1)а (а+а+1+ льа) ~Ч 1т[)а зоз (з -]-т-]- льт)(з -! 2 ! ллз) а+ 2+ лаз Х 1 а+т+ Алт з=а (16.32) где Ул == ц (3 + з + паз + у) — Ц (и = О, 1, 2„...), (16.33) ') Это равносильно видоязмонсиию смысла размерных параметров тз, рз, а, и рз при сохранении произвола в выборе настоянных а и Ь.
рз (т), Рз (т), сз, (т). В частности, если в пеустановившемся движении газа есть ударная волна, то в качестве г„рз. Оз и р, можно взять значения соответствующих характеристик движения на ударной волне. Если движение газа автомодельно и все характеристики двизкения в целом, включая г„р„г„р„определяются как функции времени Г и постоянных, из которых имеются только две с независимыми разморностями 22я одномвгныв нвгстхновивпгнвся движвния гхзх [го. Основное уравнение (16.15) в этом случае приобретает форму 7-.(Ч(Х+1) — 1 — 2+7 Х 6.( + ) Х" 1+ о=о + Хо+о ( ~о~ (( г 2) 7 + + ~ ))оу„л(77+ з -)- 2+ )т (7 — 1) + пт)) Х" ) =- О. (16.34) о=о Пусть 7, ~ О в о + 2 = йт (й )~ 1).
Уравнение (16,34) равносильно системе уравнений г)(Х + 1) — ~ — 2 -+ 77()о = О~ Д~ = О, Ро = О, Ро, = О, 77-г))о(йт + о) + ()о — 2) 7о + ро7о(йт + 7т) =- О, (16.35) 77,(пт + ъ)+ (~„о — 2)7ь а -)- о — о + ~ '))оуо о (пт — )т -( 17т + 7т) =- О. Из уравнений (16.31) и первого из уравнений (16.35) получим й (Ч(2+о+Х) — Ь) о+ т о+о 2+ ~ — Ч(Х+ 1) (16.37) о= 7о Так как согласно (16.35) (), = ро =... = ()о г -— — О, то уравнения (16.31) для и = О, 1, 2,..., й — 1 дадут (Ч(3+о+ от+ Х)' — о~ (16.38) о+о+от Отсюда следует, что при й) 1 должно выполняться равенство 1 =- (3 — т + Х)Ч (16.39) что является дополнительным условием, налагаемым на показатели в формулах размерности для постоянных а и Ь.
В этом случае показатель г остается произвольным. Если условие (16.39) не выполняется, то должно быть й == 1 и следовательно, +2 Ч(о(7 — 1)+2)(Х+1)+(о — 2)(1+2) — то~ а (Х+ 1 — то) — 4 — 2 1 ~а к овщки ткогин одномкгных движкнии гхзл Очевидно, что при ]г =- 1 постоянные ае и у, остаются произвольными, остальные постоянные коэффициенты в разложениях (16,29) легко определяются последовательно с помощью уравнений (16.31), (16.32) и (16.35).
Если условие (16.39) удовлетворяется, то т = (в + 2)%, причем Й, г, се„и„..., иг, и у г остаются произвольными, ]] == р = О; остальные коэффициенты определяются из уравнений (10.31), (16.32) и (10.35). Если у г ~ О их + 2 ~ ят, где й — целое число, то из уравнения (16.34) найдем ]]е — +, — + ]]1 = []2 = ° ° = ]] — ° ° ° =- О ]е Ь вЂ” к[3+с+2) и, кроме этого, получим , ] 1-- в[3 — е+ Х) ИШ 8+У [ — ~+ и[3+ е+ Х)] [2+ ч(у — 1)]+ 2[а+ о) в+т (и =-0,1,2,...). Формулы (16.32) в этом случае приобретают вид е]е 11 1 [у+ 8+1+ лт)!4 +2+и,)[+ +и ) (~~ + В общем случае уравненин (16.41) могут быть удовлетворены при произвольных х, т и сс„(и =- О, 1, 2,...), если показатели ь, з] удовлетворяют соотношениям ') т] =— 1 и ь = т](3 — ч+ у); (16.42) + 2 постоянная у, также может быть произвольной. Соответствующее решение представляет собой частный случай автомодельного движения в точном решении (16.26).
Если у г = О и давление р =-,й О, то показатель а определяется формулой — 2ч — [ч (3+ х) — 4] [2+ т [ г — 1Ц Ч [2+ (у — 1] ч]+ 2 Коэффициенты сее, и, и показатель т остаются неопределенными, все остальные коэффициенты определяются формулами (16.31), (16.32) и уравнением (16.34). г) Очевидно, что в некоторых специальных случаях система (16.41) может быть удовлетворена, когда соотношения (16.42) не удовлетворяются. зЗО сдпомкгпык нврстлповшлпоксп )(опжкння глзА пэь ~ь П. О производных по координате от и, р, уэ, Х, Я в характерных подвижных точках идночерного ноустановившегося движения газа.
Рассмотрим некоторую подвнн<пую точку М, движущуюся в неподвижном пространство со скоростью с. При помощи уравнений (1.3) легко выразить первые производные по координате г от р, р, р, температуры Т и энтропии Я через их значения и значения их производпых по времени 1 в подвижной точке М. Для произвольной функции 1' (г, 1) верны формулы Н' Н д!' дд — =- — !'(гл (1), () =- — (- с— юй гй ' ' дЮ дг где "гм с = —. ей На основе этого соотношения уравнения (1.3) можно представать в виде (т — 1) рг Ир д. , др — р,'- —,(и — с) = дг дг дг 1 др — (и — с) + — —.
э! р дг гй ' ию Ч ' (16. 43) Кроме этих соотношений из уравнения состояния в форме р == р (р, Я) и в форме Т вЂ”.— Т (о, Я) имеем (16.44) (ъ — 1) рг( —,) (т — 1) р г (с — з) 1 Г Ыр рг /др( р ЫЯ 3 — — ~ (с — о) р — дл р' — -(- ( — )— л ~ гй гй '(д~~р г — г д1 )' д) др (16.45) После разрешения линейной системы уравнений (16.43) и (16.44) относительно частных производных по г придем к формулам, верным в подвижной точке ЛХдля адиабатических движений любого газа: 11в) и овщкй ткогин одномквных движкний гхзх Зд( ('др 1 др (т — 1) рзг (д — ъ) ~ др 7в дг га — —.' ~( — ) р — ",', +р'ф — ( — )(( —,",) %(У) 7 дТ ~ (у — 1 ) ргу (с — к) ~ ) др гв .л дТ вЂ” — ( р' 7 — ) — + (г — в) р —— Д ( (др/в дГ д1 (16.45) дТ )1ри выводе формул (16.45) использованы слгду|ощие известные тождества дчя определителей Якоби: ( ' ° / ) ( ) др ~ )д(р р) В(рр) О(РУ) / др ) /др) ди 77(р,У) 7)(Р,У) 77(р, У) (, РУ / (др/в 77(Т, р) О(Т, р) О(Т, р) /др', / дТ ) О(р,У) 77(Т,р) О(р,з) ~ др /т (дат / аз г 7Рг г ~2 — = Ь.
Р Рз Использовав условия на ударной волне (12.6), формулы (16.45) Коли относительная скорость движения точки ЛХ по частицам и =- с — в равняется скорости звука )- )г (др/др)в, то Л == О, и следовательно, определение искомых производных становится возможным только при обращении в нуль соотверствующих числитвлей. Равенство Л = 0 выполняется на характеристиках системы уравнений (16.43) и (16.44).
Формулы (16.45) можно применить к случаю, когда точка М совпадает с фронтом сильного разрыва. На основании условий Гюгонио все величины за скачком можно выразить через параметры состояний, по которым распространяется скачок, и через скорость с (гз) =- г(г,/г((, определяемую законом движения скачка (г, — координата скачка). В частности, рассмотрим случай, когда ударная волна распространяется от центра (с ) 0) по покоящемуся совершенному газу с плотностью рг и давлением рм Обозначим, как и раньше, 332 одномегнъ|е нвгстАновнвшиеся Движения ГАЗА [Гл 1ч можно преобразовать к виду «-1 1 + гз 1 — д 21(! — т)з Ыгз ' 2 (т — 1) 7 + 1 д( Гз дг дх 1'1— дг ' [ 2 — — (1 — ч) 7-г( (16.46) г1 Ыд М вЂ”вЂ” 1 — д Юч 27 (т — 1) -(- 7+1 дь 12 дг + ст-г1 — 2(1 — д) 7+1+(7 — 1)(1 — д)1 1 — д Ыгз дг дг 2'Р (1 — Ч)' (7' — 1) дд (7 -)- 1 — 2 (1 — Е)Р (7 + 1 -)- (7 — 1) (1 — д В Ч Тем же путем можно получить формулы для вторых производных, аналогичные формулам (16.45) и (16.46).
Из (16.46) следует, что если скачок двия1ется с постоянной скоростью с в невозмущенной среде с постоянной температурой Т„ то д =- сопеЛ и, следовательно, 1+ — ",', ',(1 .,)1 — ( — 1) ',"' ' (О, 2 (т — 1) дЬ 27 (т — 1) 7+1 ' дЛ 7+! <О,— = — - (О, О, 1=в д1 дЛ (16.47) д5' дЛ Равенство нулю производных достигается только для плоских волн 7 = 1. При двин енни плоской ударной волны с постоянной скоростью производные от характеристик возмущенного двнн1ения газа за фронтом равны нулю.
В случае сферических и цилиндрических волн при д =- сопзс только д8!дг =- О; производные до(дг, др1дг, др/дг отличны от нуля, но стремятся к нулю при возрастании гз как А/г (А — соотвотствугощая постоянная; см, (16.47)). к ОБщей теории Одномерных движения ГАЭА ззз Если скорость ударной волны с убывает, то величина а = аг7сз возРастает, и поэтомУ сз!7!с!гз ) О.
В этом слУчае напРавление касательных к соответствующим кривым на рис. 112, указанное для постоянной скорости с, поворачивается против хода часовой стрелки. Очевидно, что при заданном д интенсивность затухания скачка уплотнения усиливается при увеличении значений производных д7/дХ, дузд)!, д67д),. При удалении ударной волны от центра симметрии, вблизи которого в конечный промежуток времени образовалось возмущение с конечной энергией, происходит затухание 'з й йг у=ге р=фг Рис. 112.
Элементы кривых распределения скорости газа зв фронтом ударной волны при постоянной скорости фронта в плоском, цилиндрическом и сфери- ческом случаях. скачка, причем скорость распространения скачка с стремится к скорости звука и следовательно, !7 — з. 1. Асимптотические законы затухания ударной волны могкно определить при помощи формулы (16.46), если известно предельное поведение левых частей при !7 — ~ 1.
Приближенные решения ') задач о неустановившемся движении газа внутри ударной волны (О ~( г ~( г,) в некоторых случаях можно строить прн помощи интерполяционных формул для 7, д, Ь или для'каких-либо других функций, выражающихся через 7', д, й. В интерполяционные формулы можно вводить как параметрические искомые функции ет (7) и !7 (1), определяющие поведение решения вблизи центра симметрии и вблизи ударной волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
