Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(167) Подстановка ряда (16.6) в формулу (16.4) после интегрирования дает о'о О1 ПЪ о'а „аии и г о+и + о+и+т +'''+ о+и+лт ооо+ о11г +... + о1иГ + (16.8) Благодаря условию (16.7), при интегрировании не появляется логарифмический член. Очевидно, что скорость и (г, 1) может быть представлена вблизи г = 0 степенным рядом вида Р = г [сро (б) + <у1 (1) г +... + 1ри (г) г" + ...1. (16.9) Сравнение (16.8) и (16.9) приводит к следующей системе уравнений для коэффициентов 1р;: и Š— + 'оа ~Р1оои — 1 + о+о+ам = О.
1=о (16 10) Очевидно, что из системы уравнений (16.10) функцию бра (1) можно выРазить чеРез фУнкции юо (г), оэ, (г),..., ю„(б) и их производные первого порядка с помощью определителя О11 ЮО ° ° ° беа — 1 беи "и — 1 Юо О11 ° ° ° Юи — и Ю вЂ” 1 о + о + (л — П 1а ' 1 'ри а+1 о 0 о1о .. оои-о о)и, . (16.11) 0 ббо О1, 0 О ... 0 соо Подставив (16.6) н (16.9) в формулу (16.5), мы получим после интегрирования (в силу условия (16,7) не появятся логарифмические члены), что давление р (г, 1) представляется степенным рядом вида Р (Г 1) = 1[1- (1) + + г "' [фо (1) + ф, (Ф) г +...
+ 1[1„(1) г"" +...), (16.12) 322 ОднОмеРные неустАИОВившиеся дВижения ГАВА [Гл. 1у причем для функций ф; (1) верны следующие формулы: ф 1 =- Р (О, 1), аао (т+ а+ 1) а про — (а+ „)(а+ 2) а+2 о аа„ '+'+'+ (3 — (, (, (,„)(, ( 2 ( т) —, ( 2 ( т ( 'Раеч о+ Ра 1) аап + +1+ С' (а л- а+ тп)(а-92+ пт) а+ 2+ п>п 1 а а 1 1=о а (16.13) В общей формуле для ф„порядок суммирования можно переставить согласно равенству п и-1 и 1=К юа Л 'РДРп-1-1 = ~а 1Рп-к Х аакРк-а. 1=о а=а к=о 1 —..О Учитывая это и равенства (16.10), получим общую формулу для ф„в слодующем упрощенном виде: аап а + а + 1 + пт Ч 1 7» каак (а г-у+пт)(а+2+от) + а+2+от,Г1 а+У+от к=о (16.14) Такни образом, если 1Р„определено формулами (16.11), а ф„ формулой (16.14), то ряды (16.6), (16.9) и (16.12) удовлетворяют уравнениям (16.1) и (16.2). Подставляя теперь этн ряды в уравнение (16.3), получим (ф 1+ 7ф, ~ ~Рп(т+ пт)г' ) + п=о + г"как~ ~ф„-,'— ~~2 аРАР„1(ут —; — а+ 2+ ат(у — 1) + пт)~ г" ) = О.
п=а 1 — О (16.15) Зто соотнощение вместе с формулами (16.11) и (16.14) может служить основой для получения уравнений для функций р (О, 1), аао (1), ю, (1), ааа (1),'... Для составления этих уравнений необходимо опереться па соотнопаепне между а и т.
Уравнение (16.15) удовлетворится при произвольном а, если оба выражения, стоящие в фигурных скобках, обращаются в нуль. $12) К ОБЩЕИ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИИ ГАЭА 333 Обращение первой скобки в нуль равносильно системе уравнений Р,+ уф,р,=-О, (т -[- т) 2[2 2«рс = О, (2пг + ч) «Р 1«ро =- О, (16.16) (ит+ т)2Р 1«р„= О. Отсюда, если 2[1 1 = р (О, С) ~ О, то система (16.16) с учетом (16.11) при Уст + ъ ~ 0 (сс =- 1, 2, ...) дает О«о 'Ро =— («+ у) со«« «Р« = «ро = ° .. = «ро = ° .. — — О.
(16.17) Следовательпо, в данном случае скорости распределены в зависимости от г по линейному закону и = «рог, На основании (16.17) и (16.10) следует сох соо — = 1О„ «+ о+ппо («-го)соо позтому ош соо — — сою(С), ю„= с„со««' (п = 1, 2, 3, ...) (16.16) и следовательно, па основании (16.6) имеем 1 1 р = гсо [со -[- с1 (гю««") -[- со (гю ' ")2 +...
[ =- го27' [(гю "")«2[, (16.19) где ««ьч-2 2«н-522 «22 х «"2 Р(х) = — сох+(з+ 2) сс + со + (16.20) Ввиду произвольности коэффициентов со, с„..., с„, и постоянной т Р(х) является некоторой произвольной функцией своего аргумента. Далее, из первого уравнения (16.16) с учетом равенства юо =- сою следует (16.21) 2[2, = р(0, с) = с 1ю'+". 324 оциомвгныв ггвггстановивщивсн Движвнив глзл 1г . гч Для з)з„из (16.14) получим т+г+)+ит в' Вгг (г+ ч+ та)(з+2+ ти) (г+ 2+ ит) (г+т) в з+ т+ ииз отсюда на основании (16.18) найдем (г+т)(з+2+ат) ( з+т в 1 (и = О, 1, 2,...).
Таким образом, приравнивание нулю первой фигурной скобки в уравнении (16.15) приводит к решению, выражающему, согласно (16.17), (16.18), (16.21) и (16.22), все функции вз(з), г)г„(г) и з(з„(г) через одну функцию а(1), которая может быть произвольной. Покажем теперь, что полученное решение при подходящем выборе функции а (г) обращает в нуль вторую скобку в (16.15). В самом деле, в силу (16.17) соответствующая бесконечная система уравнений имеет вид — г(г„(уч + з -)- 2 -)- ит) = О (и = О, 1, 2,...).
(г+ з) в Из формулы (16.22) следует, что все эти уравнения удовлетворятся, если функция а (з) является решением обыкновенного дифференциального уравнения ззг г ( т+ г+ 1) в'з (т — г) т(з+ т) — Ва зг', (16.2. ) т+з 7 в 2 где  — произвольная постоянная. Общее решение уравнения (16.23) можно представить в виде + 1 ( з)в -+~ г+У .) З / ($.-1~» грз ~г А ( и ЧУ-Ы в ""' У А+ Вв '+" (16.24) 1 где А — произвольная постоянная и )з = в"т — величина, которую можно считать положительной при сз > О, так как езз ) О по своему физическому смыслу. Выбор нижнего предела у интеграла в формуле (16.24) несуществен, так как это влияет только на начало отсчета времени.
!2) к ОБщей теОРии Одномерных движении ГА3А 326 На основании формул (16.21), (16.22) и (16.23) разложение (16.12) можно написать в следующем виде: 1 вс2 2+2+»» — (у — 1) е св(гыв+')'+2 с, (с'»зев'в') '"' тв в-в2 в+2+2в» с (с'в~в'"') + ' о 2 что согласно (16.20) можно представить так: тв в р со вв ][с 2 ВР [(гсов-' )'"2]~ (16' 25') 2(в+ 2) Заменив ю па )2, полученное решение можно написать в следующей форме: Ыр .И— ра(А+)Зрят-'))Ч ' и = — — — г =-:]д 6 у А -]- Вйв~т-г~г, ') Ир с (в ж )2" (г(2)в Р' [(г(2)'+2], ~'~,+(,' ",;~~[(ГР)-]~ (16.
26) ") Это решение было получено первый раз с помощью указанного выше вывода. Решение (16.26) совпадает с решением, определенным форму лами (15.3) в Э 15 '), дчя этого достаточно положить сР(г)2) = Р [( )2)' ']. Возвратимся теперь к уравнению (16.15). Рассмотренное выше решение имеет место при любых т и з.
Если условия (16.7) удовлетворены, то очевидно, что при з + 2 (0 решение (16.26) является общим решением уравнения (16.15). Этот вывод сохраняет свою силу также и в том случае, когда з + 2 ~ О, но з + 2 ~ йлз, где я — некоторое целое положительное число. В случаях, когда условия (16.7) пе удовлетворяются и, в частности, когда з — — 2, в формулах (16.9) и (16,12) возможно появление членов, содержащих 122 г. Если з + 2 = йт, где й > 1 — целое число, то появятся соответствующие члены одного порядка в первой и во второй фигурных скобках, начиная с члена порядка г' . Уравнения (16.16) при и = = — 1,0,..., (й — 1) сохраняют свою силу, и поэтому в этом случае при и и й верны формулы (16.17), (16.18), (16.21) и (16. 22).
ЗКЕ одпомкгнык нкъстлновивтнкся двипггнпя глзл Сто гъ 11ри и й получатся уравнения ф, +(йгп+ уо) графе+ (Согп+ т) уф ггрг =- О, (16.27) фо-о+ ~г гРг)го о г(пт — Ст+ Сут+ ут)+ г=о + (и т + т) уф ггро =- О. о фо-Б ~ фгфп г(з+ 2+ут+пгп+Оп(у — 1)) =- О, (16.28) из которой с учетом (16.11) и (16.14) последовательным интегри- рованием можно найти функции ого (С), го, (С),..., ю„(С), произвол в решении получится только за счет постоянных интег- рирования и значения показателя т. Ряды для плотности р (16.6), для скорости и (16,9) и для давления р (16.12) можно записать в виде = Х' (и, + агХ -(- аоХг" -)- ..
), Рг ~ = — =- ) (()о + ))г) + ~газ +...), ог (16. 29) й = —" = у- + ) '"' (уз+ у )г + )гг)г' + ), Рг где Х =- гlго и г.„р„г„р, — некоторые характерные и вообще зависящие от времени величины с размерностью соответственно длины, плотности, скорости и давления. Безразмерные величины ап Сгг н У; можно РассматРивать вместо ыг, фг и ф; как безРазмеР- ные функции некоторого безразмерного параметра т, который можно ввести вместо времени С.
Согласно предыдущему при з — . '2 = йт(й) 0) все коэффициенты рядов (16.29) можно выразить чорез функции г; (т), оо (т), Эти уравнения совместпо с соотношениями (16.11) и (16.14) можно рассматривать как дифференциальные уравнения для последовательного определения огг, ыго„..., ог„, ..., если функция ого (С) задана. Таким образом, все коэффициенты ог„(С), гр„(С) и ф„(С) можно выразить через одну функцию ыо (С), постоянные у, й, т и постоянные интегрирования. Указанные постоянные и функция ого (С) могут быть задаяы произвольно. Если ф г = р (О, С), в уравнении (16.15) первая фигурная скобка обращается в нуль. Обращение в нуль второй фигурной скобки равносильно системе уравнений 1 16) н ОвщеИ теОРии ОднОмеРных диижет1ии ГА3А 327 [а! = Ы[ хТХ н [6] =- 1.Т" (где 2, 1, и т) — некоторые всщественные настоянные), то доллизы быть верны формулы вида Ь Гз= 6,—, 1" ' р 6 ай-х-з1з1хзз)-С Рз = .
6,аб х '1ззх''>хе з. «6.30) Ь уз=бз — „„-, (Здесь 6„6.„6з и бз — отвлочспные постоянные.) В атом случао все коэффициенты а1, [1; и у; но зависят от времени и слодовате.ппо, являются постояинымп отвлеченными числами. При заданных 6„6.„6, и бз уравнение (16.15) приводит к алгебраическим уравнениям, позволяющим найти з, т н выразить все коэффициенты сз1, рз, уз через постонниые аз и у, (когда у ч =А 0). В самом деле, не ограничивая общности, отвлеченные числа 6„ 6„6з и бз можно положить равными единица, если видоизменить соответствузозцим образом определение постоянных коэффициентов сзз, [11 и у; ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
