Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 60
Текст из файла (страница 60)
приводились » ы] ЗАКОНЫ ЗАТУХАНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН с одним из членов порядка 2т, Зта,... Следовательно, должно быть т+1 = йти, где Й вЂ” некоторое целое число. )(риравнивание в (17 15) коэффициентов при и» нул»о дает Ф» — Ч"» + тЧг, -= О, Ф» — Ч'» — (т + 1 — У)Ф, — — О. Отсюда и из (17.16) следует, что 2н» + 1 — т — — 0 и С = О. Таким образом, находим, что в случае цилиндрических волн прн у = 2, когда т = 0,5 н й = 3, верны формулы причем функция Ф, (в) остается произвольной, функции Ф, », (з) с нечетными значениями индекса (и = 1, 2, 3,...) выражаются через функцию Ф, (з) с помощью и-кратного неопределенного ин- теграла функции Ф»и ($) — полиномы по $ степени и — 2; каждый последующий полипом получается интегрированием предыдущего по рекуррентной формуле (17.17).
В случае сферических волн при у =- 3 верны формулы ю=1, Я=2, и и (и — 3) и= и(и () и! (и =1,2,3,...), (и = 2, 3,4...:). (17.18) Функция Ф, (ч) остается произвольной; из формул (17.18) сле- дует, что и что последующие функции Ф„($) при п ) 2 — полиномы по с степени п — 3; каждый последующий полипом получается из предыдущего интегрированием по рекуррентной формуле (17.18).
Таким образом, для линеаризированных уравнений определяется класс регнений, представляемый рядами($7.12), (17.13) и (17.14), содержащими произвольную функцию Ф, ($) и произвольные постоянные, появляющиеся прн определении коэффициентов при высгаих степенях 1!и. 34О ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гз ГУ Из формул (17Л2), (17ЛЗ) и (17.14) вытекает, что для величины а + и верно следующее разложение: а+О=)/ ~~+п=аХ1+ ~ ' —,', +.... (17Л9) Р г" )1 = 1 + )г г ~(7+ 1) Ф, ($) + О (, )), а11+ СОНМ = = г — )ггпу~(у-', 1)Ф,(Ц) — ('+ Ф'1 К) + (17.20) Здесь и далыпе через О (7' (г)) обозначены величины, стремящиеся к нулю при возрастании г; порядок стремления к нулю равен 7 (г), через г* обозначена некоторая постоянная.
Из (17.2) и (17.20) для всех Ф, (з) ч~ 0 следует Аналогичные формулы в случае сферических волн при т = 3 имеют вид (17.22) а11+ сопзс =. г — ~ ~2 Ф1($))пгниг*+ О( — ) иприФ' ($) чь 0 дй~ ! 2 ( дг Л=соиы Р (т + 1) СР (1,) )а г/г В акустическом приближении уравнения (17.11) можно рассматривать независимо от уравнения (17.4), если принять (1 = 1 и $ = г — а11, что равносильно замене в уравнении (17.4) и (17.2) величины а+ и па ап Иа основании (17.10) из уравнений (17.4) и (17.2) можно найти уточпеппые выражения для ( (5, г) и )1 ($, г), соответствующие первым членам разложений для функций д, р, р в (17Л2), (17.13) и (17.14).
При решении нелинейных уравнений (17.3) разложения (17.12), (17.13) и (17.14) меняются, однако первые члены сохраняют свой внд, но связь между й г и $ и функцию р (5, г) необходимо уточнить. Зти соотнотаения в случае цилиндрических волн при у = 2 имеют внд 342 Олномкеные неустАновившиесп Движения ГА3А !Гт. съ примут вид гз — )с ')/ 1и ге1г" +..., 2а, 1с 1+ гс !с !пгзсги 2Р, 1с + " + гз )с !и гасг" Рс+,з 1 рс - *+ !и г,уг — (10) = (17.28) с) Лсяыптотические формулы с учетом членов более высокого порядка малости при ч = 2 даны я работе: Л! е ф т е р Г. М., Асимптотическое решение уравнсшгй одномерного неустаиовпзвегося дзи>кенсссс идеального газа с пплппдрпческой симметрией.
1(Л!! СССР, т. 116, ссат 4, 1957, стр. 572 — 575, а прим = 3 — в работе: Л к и ы о в !О. Л., Об асимптотических рессынссях уравнений одномерного пеустанозссвыегося движения идеального газа и об асимптотических законах затухания ударных волн. ПММ, т. 19, вып. 6, 1955, стр. 681 — 692. Формулы (17.28) согласуются с формулами (17.12), (17.18) и (17.14), определясощими движение газа за скачком.
!5 обоих рассмотренных случаях (у = — 2 и у == 8) скорость из убывает быстрее, чем по акустическим закопан, поэтому при г, -~- сю имеем $ — э $з, причем должно быть Ф, (Цз) — О. Из уравпепий (17.20) и (17.22) следует, что соответствующие предельные характеристики в плоскости г, 1 стремятся к прямым липины. Ударная волна и линии характеристик, отличные от предольных, при г — г + оо уклоняются от любой фиксированной прямой па бескопочпое расстояние '). Изложенный выше метод может быть прило;кон для получения асизштотических законов или уточнения законов, найденных выше, также и в тоы случае, когда движенио газа за фронтом скачка определяется некоторыми известными законами, отличающимися от законов, рассмотренных выпсе или уточнясощих их, ГЛЛВЛ У ВВГДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН ') 4.
Об осредненин неравномерных потоков газа в каналах') 4. Ввиду невозможности точного расчета пространственных течений газа в каналах ВРД ") различной формы возникает необходимость в гидравлпчоском расчете таких течений, т. е. расчете их с использованием параметров газа, осредпеиных по сечениям канала, выбранным соответственным образом. Нроме того, даже в тех случаях, когда отдельные агрегаты ВРД (диффузор, компрессор, камера сгорания, турбина, реактивное сопло) и рассчитываются с учетом пространственного характера потока, связь между ними при анализе работы двигателя устанавливается гидравлически — по средним значениям параметров газа. В настоящее время при дальнейшем усовершенствовании агрегатов двигателя, например компрессора нли турбины, приобретает значение каждый процент к. п.
д. удельной производительности, степени повышения давления и пр. Прп различных способах осреднения значения характеристик одного и того же режима диня<ения могут отличаться такясе на несколько процентов. По- атому становится важной задача о выборе правильных и единообразных методов осреднения параметров состояния и движения газа, полученных опытным путем или определенных теоретически. ') Излагаемые з этой главе результаты были опубликованы в работах: С е д о е Л. И., О полетном коаффнцненте полеапого действия идеального знята н идеального зоадуптно-реактненого дввгателя.
Сборник статей № 13, «Теоретяческая гндромеханнка», еып. 5. М., Мнн-во авнац. промышл., 1954; Седов Л. И., Условия подобия н отвлеченные параметры, определяющие характеристики компрессоров (там же). з) Вопрос об осредненнн был изучен в работе: С е д о в Л. И., Ч е рн ы й Г. Г., Об осредненнн неравномерных потоков газа в каналах. Сборник статей № 12, зТеоретнческая гндромеханнказ, еып. 4. М., Мнн-во аенац. промышл., 1954. ') Здесь н з дальнейшем использованы общепринятые буквенные обоаначення: ВРД вЂ” воздушно-реактненый двигатель, ПВРД вЂ” прямоточный воздушно-реактнвный дзнгатель, ТРД вЂ” турбореактнзный двигатель, ТВД вЂ” турбовинтовой двигатель, ГТД вЂ” гааотурбннный двигатель. 1г.ч ВВедение В теоги10 ГАЗОВых ИА!Еип На практике часто приходится сталкиваться с осредиением потоков, однако правила осреднепмя многочисленны, разнообразны и теоретически не обоснованы, Излагаемые ниже соображения о правильном применении гидравлического расчета течений и обоснованном осреднении потоков имеют общий характер и справедливы при рассмотрении не только газовых машин, но и лвзбых других задач о течении жидкости и газа.
Так, например, с подобной точки зрения Г. А. Лгобимових1 рассмотрены вопросы осредненпя и применимости гидравлического приближения для ряда задач магнитной гидродипамики '). 2. Задачей правильного осредненпя является описание неравномерного потока газа посредством наименьшего числа параметров при сохранении всех свойств потока, существенных при оценке процессов, происходивших в потоке ранее, или имеющих значение для дальнейшего использования потока в рассматриваемом техническом вопросе.
При осредненни каждый неравномерный поток газа в некотором сечении заменяется соответствующим каноническим потоком (в общем случае вновь неравномерным), ха. рактеризующимся наименьшим' числом параметров, при котором сохраняются еще все свойства неравномерного потока, существенные для рассматриваемых задач. Правила, по которым устанавливается такое соответствие, и составляют метод осреднения. Кстественно, что при любом осреднении, т. е. прн уменьшении числа параметров, характеризующих поток, не могут быть сохрапены все свойства существенно неравномерного потока; часть этих свойств при осредненин теряется, поэтому в некоторых случаях осреднение вообще невозможно, в других я.е случаях число параметров, описывающих осредпенный поток, может быть различным.
3. Существует ряд физических величин, характеризующих течение газа в целом в данном сечении канала и обладающих свойством аддитивности (характеристики всего потока получаются суммированием тех же характеристик элементов потока). Важнейшими из таких величин явлнются следующие. Поток массы (массовый расход) (г = ') рп„д2' = ') г)(~, здесь 2 — поверхность сечения канала, ЫХ вЂ” элемент этой поверхности, р — плотность; и„— составляющая скорости газа, ') Л ю б и и о в Г. А., Об осредненни магнитогидродинамических потоков и применимости гидравлического приближения для расчета магнитогпдродинамическпх течений в каналах. Изв.
АН СССР, У1ЖГ, М 3, 1966, стр. 3 — 11. 1) ОБ ОСРЕДНКНИИ ПОТОКОВ ГАЗА В КАНАЛАХ 343 нормальная к Х. Поток импульса (векторный) Х = ~ (рй + ри„в) ых, где й — единичный вектор нормали к Х, р — вектор скорости газа, р — давление. Поток момента количества движения (векторный) 5гХ = ')(г, р55„б) 511 = ') (г, и] Й(5, Е б где б — радиус-вектор точек поверхности Х относительно' центра моментов.
Поток полного теплосодержания где е — внутренняя энергия единицы массы газа. Поток энтропии Фрол =~ В где г — энтропия единицы массы газа и т. п, Значение выписанных характеристик определяется тем, что именно онн являются существенными при расчете двигателя н при анализе его работы в целом, так как опи характеризуют расход газа через двигатель, подвод энергии к газу, потери в тракте двигателя, припоя;енные к нему внешние силы и моменты н т.
д. Кроме того, ва кно отметить, что ряд этих характеристик сохраняется прн разнообразных установившихся двнжепнях газа в каналах. Для пояснения Л 5 этих свойств обратимся к интегральным соотношениям прн движении газа в канале. Рас. 113. Слома течения 4. Рассмотрим(рис. 113) капал(трубку в канале (трубке тока). тока), в котором происходит движение газа. Обозначим через 1 расстояние вдоль средней линии канала, отсчитываемое от некоторой ее точки. Выделим элемент объема, заключенный между поверхностью канала и двумяего близкимисечениями,нормальнымик его средней линии и отстоящими друг от друга на постоянном расстоянии по нормали к Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
