Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 56
Текст из файла (страница 56)
314 ОДномегные неусз*онов1гвшнеоп Двил~енин ГАЗА [гл. 1У В рассматриваемом случае'111 имеется распределенная в пространстве покоящаяся масса газа, которая в момент 8 = О начинает разлетаться, так как давление согласно (15.6) убывает прн возрастании г. Волина некоторой сфере прит = 3 (приу = 2 на цилиндре ипри т =- 1 на плоскости) выражение в скобках(С-)- В~р(г)г)~ 1( (7 — 1)т 1~ обращается в нуль, то на этой,'подан,кной сфере, состоящей из одних о= Ул~-~-/тбГ РЪ ДΠ— о -О -" о" г О А о" И тв / УА-/А ) У~У-~)( -гу — я — ю =о Г у у Ф Г Ю Аг Рпс.
111. Заков движения частиц газа в случае 1П, А ) О и В < О. При 1 С О вЂ” движение иа бесконечности к центру с остановкой всех частиц при 1 = Онт конечном расстоянии от цеатра. При о Π— раалет а бесконечность. и тех же частиц газа, давление всегда будет равно нулю Такуоо сферу пеобходнмо рассматривать как внешнюю границу с пустотой разлетающейся массы газа, находящегося внутри этой сферы. Таким образом, найденное решение позволяет в простой аналитической форме пайтн точное решение задачи о разлете газа в пустоту в том случао, когда начальные распределения плотности и давления связаны соотношением ((5.6).
Для примера придаднм функции гр (гр) следующий частный вид: р(г ) = —," ро (г)г)о )'о Тогда длп распределения плотности и давления верны формулы р = ро( — ~ = — „, р= ~С вЂ” Аро)хо (гр) )рт'. —.т (т — 1)т )го у" о 4 216 одпомвштыв ннустлиозивпшкся двпяшния гаэд )гл, ту Формулы (15.13) н формулы (15.3) при у =- ')в и т = 3 вполне аналогичны, различие возникает только за счет связи между функциями Ч' (9) и Ф (9), которая при наличии тяготения имеет вид — 9 -) 4п)тр (9) ~ т)а Ч' (т)) т(т) == — $в Чг $), (15 14) р = — — вЯ( — ', те ! гтт .7 = 51 ~ ) .
"Пв (г„)' (15 15) После подстановки формул (15 1 с)т г и =- — — — —, )т Лт тс ' р = —,)ь'(т), )с,' )тстав (т) Ив а 15) в уравнения движения найдем г — --— ) го 41 =- —,, )гв(т), в (15.16) где к — произвольная постоянная, а функция р (т) определяется квадратурой (15.17) Ял 4л дг 1' х+ — р+ з з(у — в) ') С т а и ю ко в и ч К. П., Аитомодельиыедвижеиил газа в поле тяжести. ДАН СССР, т. 64, утт 4, ) 949, стр. 467 — 470; см. также В о в в е 1 а и т) Б., Т)те Рп)замов Т)тесту о1 Уаг)аййе Ятагв. Ох1огй, 1949 (русский перевод: Р о с с е л а н д С., Теория пульсаций перемеииых аеевд. М.— Л., ИЛ., 1952). где А н  — произвольные постоянные, а '1' (Е) — произвольпан функция. Очевидно, что решение (15.13) является непосредственным обобщением рассмотренного выше решения (15.3). Данная выше классификация решений сохраняется н в этом случае.
Наличие силы тяготения пе меняет общего качественного типа движений газа. Если у любое, то для уравнений движения с учетом гравитации (3.1), (3.2), (3.3) и (3.4) при и = 3 легко указать автомодельное движение, в котором скорость является линейной функцией от радиуса '). Таким движением будет автомодельное движение, зависящее только от двух независимых размерных постоянных с размерностью гравитационной постоянной (7) =- М тЬвТ ', входящей в уравнение движения, и постоянной )е — некоторого характерного времени. Из общих сообра кений следует, что это решение должно иметь вид ! !1] нкуотАновив1энксл движкнйя ГАЗА здесь )! — произвольная постоянная.
Семейство решений (15.16) зависит существенно от двух безразморных постоянных 7 и к. Легко усмотреть, что семейство решений (15.16) можно расп1ирить, если в формулах (15.16) формулу для давления заменить новой формулой 11 р = н —,)122~'-) р —,, )!1 ' /11 (15 18) в )22) в() (15.19) где Э вЂ” лаграпжева координата: с =- г при т = та, Для различных частиц зависимость координаты г от времени выразится через одну и ту я!е функцию )2 (т). В зависимости от значений )! и х функция )2 (т) может иметь различный характор н, в частности, )2 (т) может быть положительной периодической функцией, колеблющейся мел!ду двумя положительными зпачениями п, и )2„ обращающими в пуль подкореш!ое выражение вл 4х 7'1()2, ьу) = к+ —,' и ) + з ° з)г )22(т — 1) в интеграле (15.17).
Рассмотрим поведенне функций )1(р, х, т, у). В случае у ) «)2, если х ) О, 71 ()2, х, О, у) монотонно возрастает с ростом )2 от нуля до бесконечности, поэтому при у ( 0 имеется только один положительный корень. Если х ( 0 и 7 =- О, то имеется два положительных корпи 2 2 ) 2л(т — !) 1 )21 —..
0 н )22 =. ) — )2 В интервале )22,, р,* при х(О функция 71 имеет максимум, равный 1 Вл 37-.4 ' вл! э ! — ! (, эх) в которой рг2 — новая произвольная постоянная с размерностью 2 квадрата длпвы. В самом деле, давление входит в уравнение импульсов и в уравнение адиабатичности. Добавочное слагаемое в (15.18) зависит только от времени и поэтому исключается в уравнении импульсов; в уравнении адиабатичности комбинация р1рт при введении добавочного слагаемого изменится только па аддитивную постоянную, и следовательно, уравнение адиабатичности также удовлетворится. В полученном семействе решений законы движения различных частиц представятся формулой 313 ОЦНОМИР1ГЫЕ НВУСТАНОВИВШИКСЯ ДВШГЩНИЯ ГАЗА !Гл. 1У Следовательно, если 1 > —, х(0 и 0)у) — — ( )( — — ) г то У фУнкции ) (У, и, Р) имеетсЯ Два положительных коРнЯ )44 и Р„ располон енных внутри интервала р,", р,', соответствующее движение представлнет собой периодические пульсации.
В случаях )~ == х = 0 при у ~ 4/э или )1 = 0 и х ~ — 2л (у — 1) при у =- 4!э формула (15.17) дает 1 1 (15.20) РЗ г 2л+ 1 Лддитивпая постоянная и знак перед корнем несущественны, так как определяют начало и направление изменения времени. Если У = 4)э, х =- — 2л (У вЂ” 1) и )1 ) О, то вместо (15.20) бУдем иметь (15. 21) Для у = 41э всо соответствующие формулы являются частными случаями более общего решения, определяемого формулами (15.13) и (15.14). При наличии связей (15.20) и (15.21) формулы (15.16) определяют монотонное изменение по степенным законам всех характеристик движения газа.
Рассматриваемое решение характеризуется постоянством плотности по радиусу. Согласно (15.19) формулу (15.18) в лагранжевых переменпых при х =: — ))'р, ()) > 0) можно написать в следующем виде: р =- — (г' — ~4) иэт(т). (15.22) 18е4 Если мы рассмотрим гааовый шар, радиус которого прн т == те равняется го, то из формулы (15.22) следует, что во время движения всегда на поверхности этого шара давление равно нулю и растет к центру шара по параболическому закону. Таким образом, с помощью найденного решения можно построить нелинейные пульсирующие периодические движения однородного газового шара под действием сил гравитации '). Это 4) Н. Р.
Сибгатуллин научил устойчивость этого решении (см. С и б г ат у л л и н Н. Р., Об устойчивости однородных нелинейных пульсаций гравитирующих газовых шарОв. Иэв. АН СССР, МЖГ, тй йл, 1976). 1 15] НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА 319 движение непрерывно, без ударных волн. Максимальные и мини- мальные значения р (т) определяются как корни подкоренного выражения под знаком интеграла в (15.17).
Соответствующее зна- чение периода колебания те определится формулой 9, (А'1/ + '" ~м~ — н + — „ 3(т — П 3 Обозначим через б)1 всю массу газового шара и через р, плотность газа в момент т, и ра =- р (т,). Так как р, = р,11'1е и % = = 4пге)АВ~/ЗЩ то формулу для размерного периода колебаний г* можно написать в виде ~1*1з ~Ъ„. зв !— 4ягз о (15.23) Параметры т, (), у определяют амплитуду и форму колебаний. Зависимость периода колебаний от гравитационной постоянной 7', от массы % и от РадиУса г, полУчаетса в Явной фоРме. Если ге = = г 1„, то р, = р, — известная функция от )(, )) и у. Рассмотренное решение о колебаниях газовых шаров использовалось различными авторами для анализа пульсации звезд— цефеид (см.
главу Ч1). В случае применимости формулы (15.20) имеем 2 г 4м Аю.з Я О 3 1' 112 ' "' 3 11з р = — ~кг'( — ',' ) + ()ге~~ —,') 110 (15.24) Здесь для сокращения введено обозначение «чо = 1 3(3я+ —,) В главе у'1 мы используем решение (15.24) для построения неустановившихся движений гравитирующих газовых масс взрывного типа с наличием ударных волн. При х = 0 давление зависит только от времени.
Решения рассмотренного типа с законом движения г = $1)А (8) можно найти для газов — сжимаемых сред с более общими физическими свойствами — и в некоторых случаях для уравнений магнитной газовой динамики. 829 одномкгнык нкхстлновнвшикся движкння глзл [гл. ст 9 16. К общей теории одномерных движений газах) др , др ~ да с 1 — -Р сс —. + ур ~ — Р (т — 1) — 1 = О. Ш д, ( дг г (16.3) Из уравнений (16.1) и (16,2) можно выразить и (г, 1) и р (г, 1) через плотность р (г, 1).
В самом деле, из (16.1) при условии, что сс = О прн г .== О, имеем непосредственно 1' „др н =- — — )г" ' — ссг. г а-с ) дс О Из (16.2), учитывая (16.4), следует р(г,с) =- р(0,1) — рссз— с — (т — 1) ~ — ссс -'; ) — с~ с7' — ' д".,' ссс7с($, (16.5) е з Рассмотрим класс движений газа, когда вблизи центра симметрии плотность может быть разложена в степенной ряд вида Р (г, 1) = г' (ю~(1) -, 'сос(1) г +...
+ ю„(1) г" +...), (16,6) где осз ~ О, г н ся — постоянные числа, удовлетворяющие ') С е д о в Л. И., 11 общей теории одномерных движений газа. ДАН СССР, т. 85, № 4, 1952, стр. 723 — 728; О неустановившихся одномеуных движениях хааа вблизи центра симметрия. ДАН СССР, т. 87, № 1, 19о2, стр. 4. Решение краевых задач для нелинейной системы уравнений (1,3) при отсутствии автомодельности наталкивается на значительные трудности.
Для получения требуемых результатов обычно необходимо применять численные методы с привлечением современных счетных мантии. Для разработки таких способов расчета и для построения аналитических приближенных приемов решения могут оказаться полезными различного рода общие соотношения, которые имеют место для некоторых общих классов движений газа. 1. Поведение решений уравнений одномерных неустановившихся движений газа вблизи центра симметрии. Рассмотрим одномерные пеустановившиеся движения совершенного газа при помощи уравнений, получающихся путем простых преобразований из уравнений (1,3), дрс ', др ° ' О (16.1) дс ' дс ",; + ",,"' +(, 1) — '" + —," = О (16.3) $1б] К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИИ ГАЗА 321 неравенствам б+т+птт-О, б+2+птэьО (п=О, 1, 2, 3, „,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
