Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Для определения этих функций можно использовать различного рода интегральные соотношения аналогично тому, как это делается в методах Ритца и Галеркина и в приближенных теориях пограничного слоя. 'Условия на ударной волне (формулы (16.46)) и их обобщения дчя производных по радиусу г порядка выше первого позволяют ') См. С е д о в Л. И., К общей теории одномерных движений газа, ДАН СССР, т. 85! № 4, 1952, стр, 723 †7, 334 одпомкгнык нкустановившикся движкния газа [гл. гв рассчитать движение газа за фронтом скачка, если закон движения скачка известен.
(Двгг»кение скачка — ударной волны — можно определить экспериментально, либо на основании дополнительных допущений.) 17. Асимптотнческне законы затухания ударных волн В общем случае возмущенного движения газа, ограниченного ударной волной, распространяющейся по покоящемуся газу, аси»глтотические законы поведения скорости ударной волны в функции от координаты ударной волны г„а следовательно, и изменение интенсивности ударной волны могут быть самыми разпообразныыи и зависят существенным образом от условий, определяющих движение газа внутри ударной волны.
Законы вырождения плоских ударных воля рассматривались я были установлены еще в 1919 г. Кргоссаро»г ') в предположении, что возмущенное движение газа за фронтом скачка представляет собой риманову бегущую волну, содержащую точку, в которой скорость газа равна нулю. 11ще Риманом было показано ') (для одномерных движений газа с плоскими волнами, когда газ заполняет все пространство), что если начальные возмущения были непрерывны и распределены на конечном отрезке вдоль оси х, то нри непрерывном движении через некоторое конечное время начальные возмущения трансформируются в две бегущие волны, которые распространяются в разные стороны. Если в бегущей волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, в некоторый момент времени движение газа непрерывно н имеются интервалы, па которых давление падает с ростом координаты х, то в бегущей волне за счет опрокидывания волны возникают ударные волны — скачки уплотнения. Затухание сферических и цилиндрических ударных волн установлено впервые Л.
Д. Ландау а) в 1945 г. в предположении, что возмущенное движение газа за фронтом ударной волны ослабляется и что это дви»ггение стремится к бегущей волне, в которой возмущения в фиксированный момент времени расположены г) Ск. С г о а з а г д Б., Япг 1а дМоппацоп дев опбе» Йапз 1еа зах е1 апг 1еа1пгег1егепсеа 11п1еа. С. г. Асаб. Яс1, С 156, 55 6, 1913, р.
447 — 450; Бог!а ргораза Поп ег ГаПегамоп <! ев опдев г)е сЬос. Там»гге, Л1 8, 1913, р. 611 — 613. В кинге Я. Б. Зельдовича»Введение в теорию ударных волн и газодинаынку» 11948) дана библиография работ, посвященных вопросу затухания плоских ударных волн. ') Ск. Р и н а н Б., О распространении плоских волн конечной амплитуды. Сочинения. ОГИЗ, М.— Л., 1948, стр. 376 — 395. ») Л а п д а у Л.
Л., Об ударных волнах па далеких расстояниях от места их возникновения. ПММ, т. 9, вып. 4, 1945, стр. 286--292. ВАНОН11 ЗАтухАНВВ удАВЛ11х волн (17.1) Й вЂ” (а -(- и)1И вЂ”. ВА Уравнение этих характеристик в плоскости г, 1 моисно написать в форме з (г, 8) = сопзс, причем функция 3 (г, 1) определяется на основании равенства (Аг($ =- г(г — (а + и)й. Отс1ода ЙС = дг — )1 йс, а -)- .и (17.2) где )1 — некоторый ннтегриру1ощий множитель. Вместо независимых переменных г, 1 введем независимые переменные г, $. Формулы для замены частных производных имеют вид д( (г, 1) д! (г„ г)(а + г) д1 (г, 1) д! (г„ 1) д/ (г„ г) 1 = — + — ' д1 а4 р ' дг дг дс р Пользуясь этим, уравнения движения (1.3) хюжно написать в следующем виде; дг 1 др ! да ( ()р'1 а —. — — —, = )1 ~д —.
+ — — ), д» р да ~ дг р агг' (17.3 а — — р — =— д~ д4 г~-1 дг ' д4 (, т) ' дг Условие интегрируемости (17.2) дает еще одно уравнение д(а+а) др д(а+а) (17.4) дй дг дг Легко видеть, что прн т =- 1 в случае плоских волн система (17.3) на интервале конечной длины и косорая отличается от акустической только уточненным значением скорости звука.
Впоследствии появилось много работ по этому вопросу, в которых изучено затухание сферических и цилиндрических волн в тех же изи аналогичных предположениях, что и у Ландау. В работе Ландау было показано также, что соответствугощие методы, рассуждения и результаты переносятся непосредственно Ва случай затухания криволинейных ударных волн, образу1ощихся при обтекании тел сверхзвуковым поступательным потоком газа в плоскопараллельном и осеснмметрическом случаях. 11иже дана теория затухания ударных волн па основе формул (16.46) для производных за фронтом ударной волны.
Для системы (1.3) на характеристиках, вдоль которых распространяются возмущения в сторону возрастания координаты г, верно дифференциальное соотношение 33С ОДЫОмеРные нетстАИОВиешиеся ДВижениЯ РАЗА (га. 1У 2 В =- — (а — а,), т — 1 а = — рт', а ЕРъ Рт Р = — Рт Рг г) )В (а+ г) Г г ( ) Т ЕЦ вЂ” г + ~ — 1 (а + и) = (.
+ 1Е д!В(а+а) ( 1)(й) !' г — (а + и) 1 = г'(Р) = 1) ($) или Р =,У (г — (а+ В)1) = Фф), (17.5) где г' (и) = Й ($), а следовательно, и 3 [г — (а + Р)11 = Ф ($) — произвольные функции своих аргументов (рт и р, — постоянные). В частности, в этом случае, не нарушая общности, можно положить 11 (Е) = — $ == г — (а + Р)1, (17.6) сохраняя функцию г'(и) и соответственно обратную функцию Ф ($) произвольными. Для производной (до(дг)~=аааа1 на основании (17.5) и (17.6) имеем Отсюда дг Ф'(ь) г дг 1+((У+1)/2) 1Ф'(3) (17.7) Если при г„-~ оо ударная волна вырождается в звуковую волну и движение газа за фронтом скачка вырождается в течение Римана, то д — г.
1 и а11!г -г 1. Обозначим через $а предельное значение $ на ударной волне при г, -+- оо. Так как по предположению ударная волна выронадается в звуковую, то очевидно, что при $ -г- $ должно быть Р -~ О, и следовательно, Ф($а) = О. Дальше мы найдем асимптотический закон затухания ударной волны при допущении, что 11ш гаФ' (гь) -г сю, Га-+ ас.
(17.8) и уравнение (17.4) допускают решение, в котором Р, р, р зависят только от $. Это решение является бегущей волной Римана; его можно представить в следующем виде: ЗЗ7 ЗАКОНЪ| ЗАТУХАНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 1 21! п = Ф Д) = с(с — ~е)" и -1 где с н и ) 1 постоянные, то Ф' ($) .= с (Ыс) " +..., поэтому допущение (17.8) равносильно условию в — ! Гзр е -Г оо, которое будет выполнено, если скорость п за фронтом скачка убывает медленнее, чем А 121~Ю-11 2 Дальше мы покажем, что допущение (17.8) приводит к закону убывания скорости, более медленному, чем й(гаюд" '>, поэтому в этом случае допущение (17.8) также несущественно. На основании формул (16.48) и (17.7) при у =- 1 получим асимптотическое уравнение 2аг 4а~ гз се т+ 1 7+1 '! — р ~1г~ Отсюда после интегрирования найдем Г Гт где Г, — некоторая постоянная.
На основании (17.9) и условий на скачке (12.8) получим асимитотическне формулы для закона движения скачка ') и для характеристик движения газа за скачком яь(1 12) = Г2 (1 ~,' / гр 1 Гр 1п Гягп + ...), З 2рг -2 / гп Рз =- Рт+ — ~à — + +1 Гт 212, ч/ гр Р2=Р2+ )Г + 7+1 У гз (17.10) Формулы (17.10) находятся в согласии с решением (17.5) и дают 2) Здесь н дальше через — а212 обоаначена произвольная постоянная ннтогрнровання. Если Ф' (се) ~0, то предельное соотношение (17.8) не является допущением. Если ,'133 ОДИОМЕРЫЫЕ ЫнхстАЫОЯИВШИКСЯ двпж11НЦЯ ГАЗА (Ггь 1»г искомые асимптотические законы для плоских волн.
Из (17.10) очевидно, что условие'(17.8) удовлетворяется при любом и. В случае сферических или цилиндрических волн уравнения (17.3) при р = 1 после линеаризации около невозмущенного состояния покоя с давлением р, и плотностью р, приобретают вид дг 1 др 1 др а1 — — — — = — —. дЕ р,д2 р, д.' др дг р, дг» 12 1 д( '1 д( г»-1 дг (17 11) Р Р» Р Р» — — или Р» (» Р» Р» Р» В отличие от случая плоских волн при т ---- 1 уравнения (17.11) не имеют решений, зависящих только от одной переменной $. 1'ассмотрим регяения уравнений (17.11) для бегущих волн в случае, когда скорость о возмущенного движения представима рядом Ф,(Р,) Фз(Ю д=а1 ' +; +...
+- +", г г где Ф, ($) — произвольная функция и т ) Π— постоянное число, подлеягащее определениго. Пол огкнм Ч'1(Р) Ч"2(Р ( (=Р.~ + г г ™ Последнее из уравнений (17.11) дает 1- тчЛ) + тчз(А) -- 1 Р = Р1 + т + 2»»» ~1+ + г г Подстановка этих рядов в первые два уравнения (17.11) приводит к соотношениям (17.14) Ф вЂ” Ч" 1 1 тЧ", 2тЧ"2 + — + — +...=О, г»2»»,й» +» г + 2» + 2 2 г + (т+1— „»»»»-1 Ф вЂ” Ч", (17 15) т г т) ФА (2т+1 2»)Ф2 .. = О. ,22»А1 Отсюда следует, что Ф =Чгг+С, (17.16) где С вЂ” постоянная интегрирования, Так как функция Ф, произвольна, то необходимо, чтобы в уравнениях (17.15) члены порядка т + 1, 2л1 + 1,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
