Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Очевидно также, что при ш ) 3 энергия возмущенного движения бесконечна, так как при г = г* давление все время бесконечно,и поэтому работа, передаваемая газу на этой границе, равна бесконечности '). 9 15. Иеустановившиеся движения газа, когда скорости пропорциональны расстоянию до центра симметрии' ) Рассмотрим аднябатические неустаковившиеся движения совершенного газа в случаях сферической, цилиндрической и плоской симметрий 1т =- 1, 2, 3), для которых распределение скорости ') Точное решение задавя о взрыве, когда начальная плотность распределена по некоторому спецнальному закону, получено в работе: К о р об е й н н к о в В. П., Точное решенненелннейкой аадачн о взрыве в газеппн переменной начальной плотности.
ДАН СССР, т. 117, йй 6, 1957, стр. 947 — 949. з) Формулы для этого решенвя впервые опубликованы в наптей работе ° Об интегрировании уравненвй одномерного движения гааа>. ДАН СССР, т. 90, 34 5, 1953, стр. 735. Класснфккацня н подробное исследование атнх движений опублккованы в третьем издании этой книги в 1954 г. зов неустАновиишикся движкния ГА3А представимо формулой вида ') (15.1) и =- ГФ ()), где г — расстояние до центра симметрии. В автомодельных движениях формула для распределения скорости (15.1) верна, если независимые размерности определяющих постоянных имеют вид [а) =- М[.зТ' и [Ы .—. Т (лт == 0), с и следовательно, переменная Х -- —.
В общем случае для произ- Ь' вольных а и Ь среди соответствующих автомодельных движений существуют отдельные решения вида (15.1). В частности, решения, соответствующие )т = [ге = сопИ, имеют вид (15.1) о.=- — [г . г (15. 2) Таким образом, частные решения, соответствующие особым точкам в плоскости з, [г, с постоянными значениями хв и [ге принадлежат к рассматриваемому типу. Напомним, что решение задачи о распространения детонации А в среде с переменной плотностью р, =-..
— „при з(у+)) Зу-1 (формулы (8.4)), решение задачи о точечном сильном взрыве при р, = сопИ и у = — 7 (формулы (11.21)) и решение задачи о точечном сильном взрыве в среде с переменной начальной плотностью 7 — у при тв = ' (формулы (14.11)) характеризуются распределеу+1 пнями скорости вида (15.1). Отметим, что во всех перечисленных выше задачах решение вида (15.1) является предельным решением, отделяющим решения, продолжимые до центра симметрии, от решений с образованием расширяющегося вакуума вблизи центра симметрии. Если не учитывать сил пьютонианского тяготения, то на основании формулы (15.1) для адиабатических движений совершенного газа из уравнений (1.3) легко найдем, что решение искомого типа т) Из уравнений движения можно вывести, что из предположения в = = тт (г) (т (т) следУет, если (т ~ совз$, формула (15А).
З(О ОднОмеРные неустйновившиеся движения ГАВА (Гл. 1у представляется формулами )( =+- в (11(А ) )))г"л — О)'*' 1(г 1 Е)1 Р = — = — — — „г = -)-)1(А+ В)1'(т — и)"*г, 1(1 ч — 1 = — р'( ), (15.3) р = )1""~С-р т " В1р(нг)~, Так как в частице энтропия постоянна, то найденное решение характеризуется тем, что г" (5) г== )1 (1) где $ — лагранягева координата. Функция )1 (О определяется первым из уравнений (15.3); эта функция в зависимости от значений постоянных А и В определяет вполне закон движения всех частиц газа.
Обозначим через $ координату г частиц газа в некоторый момент вРемени Гю котоРомУ соответствУет значение )А (Це) = )1м Очевидно, что верно равенство р($) = р0$ и следовательно, закон движения различных частиц газа можно написать в следующем виде: = — $ 1 11г 1 )1а1 (1) 1 (15.5) (1(1) ' Р Е1 1 )11(1) Формула (15.5) получается также непосредственно из второго равенства в"(15.3). где А, В и С вЂ” произвольные постоянные, 1р ()гг) — произвольная функция от своего аргумента. Не ограничивая общности, функцию )А (() всегда можно считать положительной. Таким образом, формулы (15.3) определяют точное решение уравнений (1.3), зависящее от произвольной функции 1р (рг) и от трех произвольных постоянных А, В, С.
Так как плотность р положительная, то функция 1р ()1г) должна удовлетворять условию 1Р ()1г) ) О. Из формул (15.3) следует, что 7 — 1 С+ з .Вт(яг)1 ((г)т — = Ф (г)А)— Р 0"") 1 151 неустоповившиеся двин1ения ГА3А Из (15.4) следует, что произвольная функция оо (11г) связана непосредственно с законом распределения энтропии по частицам газа. Из двух последних формул (15.3) следует, что давление и плотность для любого момента времени связаны соотношением — = В, У1Г'1т — 11+огр. дд т — 1 дг 2 (15.6) Градиент давления в частице и в данной точке пространства зависит от времени через )1. При В > 0 давление растет вместе с г, при В ( Π— убывает при удалении к периферии.
Для зависимости г (1) возможны три характерных случая: 1. А ) О, В ) 01 давление растет с удалением от центра 11. А (О, В) 01 симметрии; !11. А ) О, В ( 0 — давление падает с удалением от центра симметрии. В случае 1 первой из формул в (15.3) и формуле (15.5) мояоно придать следующий вид: о 1 У = — = —, ГДЕ 11о = ~ — ~М1 П' 11о " 1 А1о ( в 7' (15.
7) 1 о При т — ~ оо имеем у — о со и (о — о- 0; при этом скорость каждой частицы в пределе стремится к конечному значению. ЫУ Ы1 Г— Так как — = 1 то — = $)г А И . — )г, о. Для каждой частицы йг)А = сопэс, поэтому согласно (15.3) очевидно, что плотность и давление при 1 = 0 и 11 = со равны бесконечности, а при 1- со, когда 11- О, стремятся к нулю. Из этих формул следует, что универсальные кривые у (т) для различных у, изобраокенные на рис. 109, позволяют легко иолучнть закон движения каждой частицы прн любых А ) 0 и В ) О, При т = 1 = 0 все частицы газа концентрируются в центре симметрии, при возрастании 1 происходит разлет, который начинается с бесконечно большой скоростью.
При у = 1 для разных частиц координата >. равняется с. Соответствующий момент времени находится из соотношения 319 одномегные неустАновившиеся движения ГАЗА 1гл. Рч В случае 11 первой из формул в (15.3) и формуле (15,5) можно придать аналогичный вид: о т=)У)А~)ь1=Т-~~/ У и и с(у, о у = — — = —, где )ьо = ( — ) пт " .
р /(л(~„ ) (15.8) Соответствующие упнверсальпые кривые для различных изображены на рис. 110. Вблизи момента времени 1 =-- О случаи 1 и 11 вполне аналогичны. ЯЯ)~~~ Ф -,у -г -г п т г у е у Рис. 109. Закон движения частиц гааа в случае 1, А ) О и Е ) О. При 1 ч". Π— фокусирование в центре. При 1) Π— раалет в бесконечность. Однако в дальнейшем в процессе разлета в отличие от случая 1 координата г имеет максимальное значение, равное $ (у = 1). Это положение достигается всеми частицами одновременно в момент неустАнонившпеся дВижения ГА3А З1З времени т*, определяемый формулой ! т* == ф')А))ге1' =()1,/ ' „, н с1у. е -/ р / х,у т х у 7 к у ю я ту уд(~И~/ зуугтлу -/ 0 7 8 У Ф Х 6 7 Ю I , удфФ)т?~61 1 л/ Рнс.
110. Закон движения частиц газа е случае 11, А ч. О н В ) О. Начиная от момента т = Π— разлет нз центра, затем остановка на конечном расстояннн, после чего фокуснрозанне з центре. При дальнейшем возрастании времени можно представить себе повторение этого процесса. Получается пример пульсирующего периодического движения газа. Наконец, в случае 1П первой из формул в (15,3) и формуле (15.5) можно придать вид з = У'А ( — ") — 1= + ~ ~,' ч, „(д, 1 ! 1 у= — = —, где)ге=( ) Š— О. (,(В(1 (15.9) Соответствующие универсальные кривые у (т) для различных т изображены на рис. 111.
При т = 1 = О имеем у = — 1 ИЫфг(1 = О.Лагранжева координата $ представляет собой значение координат г в этот момент времени, причем все частицы газа покоятся в момент 1 = О. При 1 «" О частицы двигались к центру симметрии, в момент 1 = О произошла остановка, а дальше начинается разлет. В случаях 1 и Н происходит разлет газа, концентрнрующегося при 1 =- О в центре симметрии. В момент т* все частицы останавливаются, и в следующий момент времени под влиянием градиента давления возникает обратное движение к центру, в результате которого все частицы приходят ц центр симметрии одновременно в момент времени йт*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
