Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Отсюда ясно„что при переходе к натуре для получения подобной по объему воронки требуется менее сильное возрастание энергии заряда, чем по закону (13.10). Таким образом, роль внешних давлений и упругих сил сцепления понижается с увеличением линейных размеров, если энергия взрыва увеличивается пропорционально четвертой степени линейных размеров, Относительное перемещение и деформации на натуре будут большими, чем на модели, если энергия растет пропорционально четвертой степени масштаба. С другой стороны, если весомость несущественна, то подобие обеспечивается условиями (13,5) и (13.6), из которых следует, что энергия пропорциональна нубу масштаба. Дополнительноевлияиие силы тяжести нарушает подобие в сторону уменьшения относительных деформаций и перемещений при переходе от модели к натуре. 294 ОДПОМЕРНЫК НКУСТАНОВИВШНЕСя дннжЕНия ГАЗА 1Гл, 1т' Следовательно, при постоянных ры р, и д, если Š— Ь', действительные относительные деформации в натуре больше, чем на малых моделях; если Š— Йз, действительные относительные деформации на натуре меныпе, чем на малых моделях.
Эти соображения полезно иметь в виду при постановке и обработке опытов, посвященных исследованиям действия взрыва. Из сказанного выше также следует, что прн использонаннн взрывов в грунтах па выброс применение очень больших сосредоточенных зарядов энергетически, по-видимому, невыгодно. Рассредоточение зарядов н другие выгодные способы проведения взрывов могут дать положительные эффекты. Выше мы рассмотрели внд общих формул для ржах, 1 итУ при взаимодействии неустановившегося движения газа и твердого тела.
При отсутствии тела можно мысленно фиксировать в газе некоторую поверхность Х, которая не взаимодействует с движением газа, и РассмотРеть аналогичные величины Рз1ах, те и Уе, пРеД- ставляющие собой характеристики поля взрыва; очевидно, они не будут равны рассмотренным вьппе соответствующим величинам )ьвзх1 1 и с7~ сутцественно обусловленным взаимодействием движения газа и твердого тела. В этом случае для каждого элемента поверхности Х можно написать формулы Рс~ах = 3 )1 ( е ~ 7) и ~l )з ( — а, 7), (13.11) где г — расстояние рассматриваемого элемента до центра взрыва, з, Функции 11 и уз зависят только от параметра г/ге (г' = — у' Ез~рт) н у.
Так как давление в идеальном газе не зависит от ориентации соответствующей площадки, то р„,х равняется значению давления за фронтом скачка в момент нрохожденпя его через рассматриваемую точку. Для сильного взрыва г/1л — 0 и, следовательно, функции у и ут сводятся к постоянным, которые легко рассчитать с помощью решения, найденного в 3 11 '). Для этих постоянных при у =- 1,4 верны следующие значения '): (13.12) ~1 = 0,157, ' )з = 0,486. 1) Исследование зависимости решения задачи о взрыве в произвольной идеальной двухнараметрической среде от параметров, определнющих движение и возможности пересчета решения на другие значения параметров, проведено в работе: К о ч и н а Н. Н., М е л ь н и к о в а Н. С., 0 свойствах решения задачи о точечном взрыве в сжимаемых средах. ДАН СССР, т.
138, )я 2, 1961, стр. 326 — 329. ) Импульстз определен формулой 1з = ~ (р — РВА; 1, — момент про1з хода ударной волны через рассматриваемую точку. 295 1 1З1 О МОДЕЛИРОВАНИИ ПРИ ВЗРЫВАХ На Рис. 94 дан гРафпк фУнкции тт (гlг'а У) (ге/г) =- Р.вах(Рт длп у = 1,4. С помощью решения, 'описанного в з 12 для точечного взрыва с противодавлением, можно вычислить давление в функции времени для каждой точки с координатой г. Это давление вначале всегда Ъг ф-Г а~~уз д туу РУД йр И 12 гк, йу га Рис, 101. Распределение суммарных полоя<ительиых и отрицательных импульсов Лля точечного взрыва в Зависимости от расстояния до центра взрыва. больше, чем начальное невозыущеппоо значение ры затеьц начиная с некоторого момента времени 7, давление становится мепыпе р„достигает минимума и потом монотонно возрастает до значения р, (см.
рнс. 97). Для ка.идой точки мы определим положительный импульс по формуле и отрицательный импульс по формуле Г = — ~ (р — р,) )1 = 1I — '"' 1; ( — "), г ~,ге /' 296 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДэижЕНИН ГАЗА ~го. ОУ На основании численного решения были определены функции !хт (Гlг~) и !а (Г!г'). СоответствУюЩие гРафики пРедставлены на рис. 101. Из этих графинов следует, что для Г!Го а 0,3 отрицательный импульс по модулю болыпе, чем положительный. Для взрыва вдоль прямой — случай цилиндрических волн— меняется размерность Ею поэтому формулы (13Л1) заменяются формулами т о ( то)т для взрыва вдоль плоскости — формулами Ртах = )т ~ о ) н ! = отттрхЕо гота Я, Го =' — (13 15) Ра где г — соответственно расстояние до прямой или до плоскости взрыва.
Если для сильного взрыва импульс уо определить по формуле !' =~ро(о'= ~ р — "' т,=т то в плоском н цилиндрическом случаях получим !о = ОО. Б этих случаях конечные предельные значения для 1' получатся, если воспользоваться определением от !о ~ ""а где )о — некоторое число, большее единицы. 9 14. Задача о сильном взрыве в среде с переменной плотностью Постановку, метод и результаты решения задачи о сильном взрыве легко обобщить на случай, когда начальная плотность р, зависит от начальной координаты частицы г, по следующему закону: Л Ра = о (14.1) Если для сильного взрыва пренебречь начальным давлением рх где ю — отвлеченная постоянная, которая может быть положительной или отрицательной, и А — положительная постоянная с размерностью [Л) =-= М! 2 !Я СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В СРЕДЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ 297 и рассматривать адиабатическое движение совершенного газа, то система определяющих параметров представится таблицей ю,у,А,Е2,г,1. (14.2) Отсюда следует, что соответствующее возмущенное движение газа автомодельно.
Дальше мы рассмотрим только случай сферической симметрии, поэтому размерностью характерной энергии будет (Е2) - М[,2Т 2, 1 (Аа) 5-а (14.3) 2 где а — постоянная, которой можно распорядиться (б = ) . Из постановки задачи следует, что на состояниях с одинаковой <уазой (Х = сонары) н, в частности, на ударной волне верны соот- ношения 1 2 12= Х,®) 1 5-2З / ЕО 5 — 22 г' Аа Х Х2 СОНЗС (14.4) К22 2 с=.— == К1 Ь вЂ” 21 Постоянную и определим из условия, что 12 = 1 на ударной волне.
При таком определении а очевидно, что для )2 верна формула Ударная волна будет двигаться с замедлением, если ю (3, и с ускорением, если ю ) 3, Случай ы ( 3 соответствует конечной массе внутри любой конечной сферы, содержащей центр симметрии; при ю >~ 3 эта масса будет равна бесконечности. Из формулы (14.4) следует, что образующаяся при 1 =- О вблизи центра симметрии ударная волна распространяется с конечной скоростью при 1) О к периферии только в том случае, когда ю ( 5. В дальнейшем мы примем, что ю ( 5.
В з 5 было показано, что в этом случае задача сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения (5.10). Из рассмотрения поля интегральных кривых, изображенного для различных 2З на рис. 42 и 43, следует, что, как и в случае р, = сопзь, область возъ1ущенпого движения отделена от невозмущенной Области сферической ударной волной, распространяющейся Все безразмерные величины можно рассматривать как функции следующих параметров: 295 ОднОмеРные неустлновившиеся дВижения РА3А (гл. гч Как было показано в 5 3, в этом случае имеет место интеграл энергии (3.11).
После подстановки значений на фронте волны (14.5) в левую часть интеграла энергии (3.11) получим, что постоянная справа равна нулю. Отсюда следует, что уравнение интегральной кривой, проходящей через точку Ию г, в плоскости г, $', имеет вид 2 ) 5 — е, (т — () Ул(Р— 5] Из физических соображений ясно, что г » )О, поэтому допустимые значения у" расположены на отрезке 5 2 2 — ( У' ( —, = Ь; у(5 е) 5 — е (14.7) так как у ) 1, то очевидны неравенства 1 2 7 ( т+( <1' поэтому значение 1', согласно (14.5) попадает в интервал (14.7).
Концы интегральной кривой (14.6) 2 1 2 г = О, ч' = — и г = ОО, У = —— 5 — е у 5 — е/ являются особыми точками дифференциального уравнения (5.10). Нетрудно также проверить, что особая точка ') е с координатами 2(т — !) (5 ( — Ь) !5 2 ~;Ф Зу — 1 = принадлежащая интегральной кривой (14.6) при значениях у = = 1,4 или у =- 5/3 и значениях о, близких к нулю, лежит вне интервала (14.7). При ю = 6 — 37 эта особая точка совпадает ") См. 1 5 в рис. 43. по покоящимся частицам с переменной скоростью с, определяемой формулами (14.4).
Из условий на сильной ударной волне (11.2) на основании формул (14.4), (14.5) получим, что за скачком величины ч, Я и г = = уР(Я имеют следующие постоянные значения: 4 25 я ч+'( 8У(т — () (5 — е)(Ч+() Ч+( ' т — ( ' л (5 — е)'(т+(р' (14.5) 1 1З) СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В СГЕДГ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ 29В с правым концом интервала (14.7) и при дальнейшем увеличении ю поднимается вверх по интегральной кривой (14.6). При значении аз, определяемом из уравнения 4 2 7 — 7 (Ь-м)(7+1) 27 — ( нлп " 7+( (при у = 1,4 оз = 7, при у =- 513 оз = 2), рассматриваемая особая точка совпадает со значениями ('„гз за фронтом скачка. Легко видеть, что особой точке )г*, г* при любом оз соответствует следующее простое точное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.1) — (2.3): 1 — ЗН- )г = зге = сопзс, г —.— г* =- сопзь, Я = ВХ ~' з ( -азу* В= — ~ 7 (14.9) которому отвечает точное решение уравнений с частными производными в размерных переменных: 1ч — з) Зг' г АВ 1Р -з> Р=$™ —, р= — Х з ' 1п з>т' р =,, )з ~ ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
