Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Влияние показателя Пуассона у на распределение характеристик двинсения за фронтом ударной волны для сферической симметрии представлено на рис. 80, 81 и 82. В формулах 111,16) при 7 = 2 коэффициент аа = оо, поэтому для расчета при у = — 2 характеристик движешш газа в формулах (11.15) необходимо перейти к проделу при у -~ 2. 7«1 ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВН 257 ДХ 47 г Рис. 73. Распределение плотности за ударной волпой. Я гг Рнс. 74. Распределение давления ва ударной волной: сплошная линия — сферический случай; штриховал — Пилиидрическнй случай; штрих-пунктир- ная — плоский случай.
253 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА т Гз Рис. 75. Распределение температур за ударной волной. Рис. 76. Закан движения частиц газа (7 = 1,4). т 1!) задача О сильнОм ВЭРыВе 259 е я е б е /Р ю lФ ю В 7Е Рвс. 77. Скорость частицы в функции положения ударной волны (у = т,й). е : е е г ж ~г к юу те гр Рвс. 78, Пдотность частицы в функции положения ударной волны (у =- $,4). 80 ОднОмеРные неустАнОВиВшнеся дВижения ГАЗА 1Гл. 1Р 6 6 т 6 6 Ю 16 16 16 16 г Рис. 79. Давление частицы как функция положения ударнов волны (у = 1,4). г /6 ф фу Рис.
80. Влияние постоянной у на распределение давления за франтом ударной волны для сферической симметрии. Рис. 81. Влияние постоянной 7 на распределение плотности аа фронтом ударной волны для сферической симметрии. (ГЛ. тч 262 одноиегные неустлновиввэиеся дВижения РАЗА т=3, 7=1,4 !' !х) !с !х! ир! Перейдя к пределу, найдем 3 (, 2) р1!ч~2! ~3 (1 (т+ 2) р)1 н+2 3 2) р 1))ч~2 — = (3 ((т + 2) р — 1)) '"' [3 (1 — ~ . У')] "" х (( — ~ (У + 2) У11 У+2 ( у+2 ) е!.-м — = ~ 4 (у-!-2) Р1 )3 (1 —, $)1 х 3 4У 1 — 4 (У+2)!' х ехр У+2 У+2 1— В центре симметрии (Р = 1/(т + 2)) при у = 2 му-!! 2-зч Ь(0) = 3 "" 4 "' ехр ~ — =1 Как видно иа этой формулы, давление в центре при любых у и у =- 2 конечно и отлично от нуля. 1 0,9913 0,9773 0,9622 0,9342 0,9080 0,8747 0,8359 0,7950 0,7493 0,6788 0,5794 0,4560 О,ЗО ОО 0,2960 0,2000 0,1040 0,0000 1 0,9498 0,8785 О,'8103 0,7038 0,6220 0,5320 О,'4463 0,3704 0,2983 0,2097 0,1201 0,05!9 0,0227 0',0114 0,0051 о,оооо о,оооо 0,9814 0,9529 0,9237 0,8744 0,8335 0,7872 О,7З97 0,6952 0,6496 0,5844 0,4971 0,3909 0,3086 0,2538 0,1714 0,0892 0,0000 0,8379 0,6457 0,4978 0,3241 0,2279 0,1509 0,0967 0,0621 0,0379 О,О!74 0,0052 0,0009 О,ОООЕ о',оооо О,'0000 о,'оооо о,оооо 1 0,9109 0,7993 0,7078 0,5923 0,5241 0,4674 0,4272 0,4021 0,3856 0,3732 0,3672 0,3656 0,3655 0,3655 0,3655 0,3655 0,3655 2,1666 2,0981 1,9864 1,8659 1,6548 1,4837 1,3036 1,1495 1,0395 0,96!О 0,8991 0,8662 0,858'1 0,8572 0,8572 0,8571 0,857! 0,8571 20,8333 '!6,4159 П,5610 8,1607 4, 6349 2,'95З6 1,7841 1,0716 0,6690 О'4090 0,198! 0,0679 0,0142 о,ооэ) о,ооо8 О,ООО1 о,оооо о,'оооо 11,1666 9,2305 6,9475 5,2109 3,2119 2,1425 1,3269 0,7900 0,4720 0,2669 О,!095 0,0278 0,0036 О,ООО5 о,'ооо! 0,0000 о',оооо о,'оооо 263 5 ы) ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ Отметим, что при у =- 7 решение получается особенно простым и имеет вид — — — = Х и — = Аа.
(11.21) рт ст Рт Рт В этом случае получилось, что в центре симметрии Р =-- р= р = О. Если у ) 7, то в центре получается пустая сфера радиуса г*; внутри этой сферы давление т~ равно пуд~о. Радиус г* возрастает с течением времени, так что отношение ге!г„зависящее только от у, остается постоянным. Больрпие значения показателя у можно вводить прн рассмотре- Ф нии сильного взрыва в сжимаемых у=» средах, подобных воде. Поставленная выше задача о точечном взрыве решается для любого постоянного значения отвлеченного параметра у.
Если у=/Ф у = уе = ср!с„, то процесс для у=эр кал:дой частицы газа адиабатический. Если постоянная у произвольна и не равна уе = ср!с„, то процесс будет политропический; 45,» ф в этом случае фронт скачка аналогичен фронту детонации илн фронту фазовых переходов с по- рис. 82. Влияние постоянной у на распределение скорости за глощением тепла. фронтом ударной волны для сфе- В самом деле, условие (2,6) рической симметрии. можно переписать В виде (у — ))Р ' 2 У*"1 + ~ (Р )т д У*да + 1 ( с)а (у: — 1)р, 2 т — уа ( ра р1) так как ра/рт = ЛТ, ) ттТ, = р,!рн то очевидно, что условие (11.22) аналогично условию на фронте детонации при у ) уе = == ср/с, ) 1, когда () ) О.
На фронте будет происходить поглощение тепла (Д < 0), если у ) 1 и у ( у*, О другой стороны, для обратимого процесса внутри потока за фронтом скачка для каждой частицы газа верно равенство Ы() = ТИ8 = Тс„(()п — =-Тс„4.!п Р рт т"; от Рт 264 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. 17 отсюда, так как для частицы р!рт = совз1 и Р = ЕрТ, получим до =Тс,(7 7*) Ф = 7 7," с„4)т. (11.23) В изученных решениях мы имели для фиксированных частиц 2)р ( 0 и г1Т ( 0; поэтому в частице имеем процесс с выделением тепла й',) ) 0 при 7 (74 и с поглощением тепла г)() < 0 при 7>7 ° В полученные выше формулы для размерных характеристик движения входит постоянная Е, которую надо выразить через энергию заряда Е, (равную в пргнштой постановке задачи полной энергии возмущенного газа).
Безразмерные характеристики двия ения представляются универсальными кривыми, независимыми от энергии взрыва Ел или от пропорциональной ей величины Е. Для полной энергии имеем формулы О Ж Е, = ~ — "" 4яг24)г+ ) —,4яглдг в сферическом случае, л о О рл2 г Ел — — ~ — 2лг44г+ ~ 2лгй в цилиндрическом случае, 0 э 2 О 4 о 1 Г рля Г л1 — Ел = ) — й + ~ — й' для плоских волн. 2 ) 2 ) 7-1 о о Первый член есть кинетическая, а второй — тепловая энергия газа. Вводя безразмерные величины, найдем Ел = а (7) Е, (11.24) где 2я ~ЯУ2Х4Ю+ — Я ) Р).4й'А в сферическом случае; (7 — 1) о о 1 1 я~ЯУ2)зЮ+ )РХ221)2 в цилиндрическом случае; 2л (7 †.,1) 4 4 1 1 2 1 1 ЯУ2) 2 Ю+ — ) Р) 2 Ю для плоских волн.
17-1) з На рис. 83 представлена зависимость а (7), вычисленная для сферической, цилиндрической и плоской симметрий. В частности, в случае сферической симметрии при, 7 = 1,4 имеем Е,= (0,186 + 0,665) Е= 0,851Е илн Е = 1,175ЕЗ. ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ 285 Если воспользоваться значением Е по формуле (11.7) согласно опытным данным для взрыва атомной бомбы в Нью-Мексико и принять у =- 1,4, то для энергии взрыва ') получим Ее = = — 7,19 'х 10" эра, что соответствует энергии, выделятощейся при взрыве 16 800 лт тринитротолуола.
Можно рассмотреть движение газа с примесями очень мелких твердых или дсидких частиц, движущихся вместе с частицами са Г гг хг у гг Рис, 83. Отноп|ение ле1о' = и в функции величины у. газа (запыленная атмосфера) е). Плотность взвешенных частиц в газе бывает достаточно большой; действительно, в 1 ела воздуха в большом промышленном городе содержится в среднем 20 000 пылинок, в 1 сма облаков или тумана находится 100 †6, а иногда до 1400 капелек.
Поэтому можно считать, что наличие частиц в газе увеличивает инерцию среды, которая остается однородной ') При оценке полной анергии, выделяющейся при вврыве атомной бомбы,необходимо иметь в виду, что значительная часть энергии расходуется на иалучение. т) С и д о р к и н а С. И„О некоторых яви~пениях аэроаоля. ДАН СССР, т. 112, № 3, 1957, стр.
398 — 399. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ Даижквнл ГАЗА сгл. 1Ч С ПЛОТНОСТЬЮ р = р(1+й), где р — плотность газа, а Й вЂ” положительная постоянная. Рассмотрим систему уравнений гидродинамикн для адиабатических движений. В уравнения движения будет входить плотность р' = р (1 + й), в уравнение неразрывности — р, однако, поскольку оно однородно относительно плотности, умножением на постоянную величину (1 + й) приводим его к уравнению неразрывности для непрерывной среды плотности р'. Особого внимания требует условие аднабатнчности, которое в рассматриваемой среде имеет внд рс„йТ + сйр йТ + р'р й (1/р') = — О, где с — теплоемкость частиц, предполагаемая постоянной, а с„ и далее ср — удельные теплоемкости газа. После интегрирования получим с,сзс е„~-Вс р=Ар' где А — постоянная, зависящая от частицы среды.
Выралсение с,+ Ас — обозначим через у'. Прн этом уравнение адиабатнчности с +ас и вся система уравнений гидромеханики приобретают обычный вид. В нее входит р' — плотность рассматриваемой среды и у', представляющее собой отношение удельных теплоемкостей среды: с,, Рс, + асс ° Рс + ЬРс с Р(1+ )с) Р () + Е) Теперь рассмотрим условия на скачках уплотнения.
По-прежнему не меняют своего вида условия сохранения массы и количества движения при переходе через ударную волну. Третье условие — условие сохранения потока энергии — тоже сохраняется в старом виде. Это связано с тем, что в него входят плотность среды р' и удельная внутренняя энергия, которая для данного случая записывается так же, как для идеального газа, с отношением теплоемкостей у'. Действительно, йзр (1 + й) =- сср йТ + сйр йТ, где с +Ьс з= " Т= сТ=- 1+ь = т — ) р 1 с" у'(у Йс и у' приолижается к единице при возрастании —, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
