Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Рнс. 47. Скорость с ударной волны, возникающей перед поршнем, как функция скорости поршня У; а, — скорость звука в певозмущенком газе. 224 ОДБОмеРные неустАИОВившиеся ДВижения ГАВА [гл. СУ Из условия в бесконечности или начального условия получим : —, = С вЂ”, Р,; ото[ода С =- —. Урс Г УРС рс и ге .2 При в, ( 0 необходимо взять левую ветвь параболы г.=-.Ссгт при )г(0, при РС ) 0 — правую ветвь при )г ' О. Положим Х ==- гсссСС, и, =- уртссрз[ согласно формуле (гп2) этим фиксируем постоянную Пользуясь этим, из асимптотической формулы для ) получаем г [.",г г, (1.2) асс гсС ' ас гег [Веееееееяе ссгаяеееая юеяяаС гааеяегя в[г"заветна~ Соудареооевагаеее л'/ Рпс.
Асз. Псстегральвыс крввне в плоскости с, У, соотвстствусощпе: а) соуда- рению в точке и б) разлету от точки. (г = оо, тг = О). Но иа области сг ( О, в которой находится изображающая точка, на интегральную кривую, упирающуюся в точку В, перейтп вообще невозможно, а на Ось г можно перейти только скачком. Следовательно, изображающая точка движется по интегральной кривой до пересечения с параболой (2Л() г =(4 — У)~4+ — ' —,' Р), в котору[о переходят при разрыве точки оси г; после пересечения Коли начальная скорость направлена к центру (фокусирование), т.
е. тт ( О, то движению из бесконечности к центру при фиксированном С соответствует движение по интегральной кривой, входящей в точку О прн отрицательных )г. Так как скорость газа в центре при С Ф 0 равна нулю, то центр может быть достигнут или при дзпжении по интегральной кривой, упирающейся в особую точку В, или при движении по интегральной прямой [г =- О, упирающейся в особую точку П 3АдАчА о Фокуснговвнин н РАзлкте Гвзв 225 с параболов изобрвжавгщая точка скачком переходит в некоторую точку оси з. Вид интегральной кривой показан на рнс.
48, а. В физическом пространстве прн этом получается, что, двигаясь из бесконечности к центру, газ сначала адиабатически сжимается, после чего скачком переходит в состоягие покоя (р нс. 49, а) . В случае разлета (в, ) 0 — скорость частиц газа направлена от центра) при неболыпих значениях начальной скорости изображающая точка движется Уйадааз йазаа блабый~бзпый по интегральной кривой, которая определяется условием (7 1), нз зг точки О в точку А н за- .я. ъ I тем по интегральной «ааазагайаз у ааазза,айаг ) газ прямой )г=0 (рис. 48,б). 'а' ~ "з ~/ Этому соответствует в з -х.
физическом простран- зх стве при движении из бесконечности к центру а) р) в фиксированный момент времени падение гвс. 49. Схемы двкгковвя: а) к соудвревкю в плотности и давленая точке к а) к разлету от точкв. Перед ядром возникают адвабатвческое сжатие к раврегаза до некоторой определенной величины, после чего газ слабым скачком переходит в состояние покоя (рис. 49, б). Границе сферического ядра покоящегося газа соответствует особая точка А (рис. 48, б). При некоторой начальной скорости в =- в1 в плоскости (з, а) решению соответствует интегральная кривая ОВ. Центру симметрии соответствует точна В. В физическом пространстве в этом случае скорость равна нулю только в центре симметрии.
Коли и, ) в„то по интегральной кривой можно дойтя только до особой точки С, в которой параметр Х имеев некоторое конечное, отличное от нуля постоянное значение Х", а плотность и давление равны нулю. Следовательно, в газе образуется пустота, расширяющаяся с постоянной скоростью, определяемой значением Хв. Легко исследуемые поля интегральных кривых в плоскости з, )' для различных б, х (кли оз) и ) н соответствующие асимптоткческне формулы о поведении решений вблизи особых точек позволяют установить существование, качественные свойства и количественные расчеты для всех различных н многочисленных автомодельных движений газа о разлете от центра симметрии и о схлопыванни газовых каверн в центре скмметрин в интервалах времени 0(~(+ со и — со(~(0.
Эти решения могут быть непрерывными или содержать разрывы (глабые илн сильные). 220 ОДнОмеРные неустАнонившиеся Движения ГАЭА 1Гз. 1ч 9 8. Сферическая детонация где А) — теплота, выделяемая на фронте единицей массы газа; уз, у — соответствующие значения коэффициента Пуассона: 71 — перед фронтом, а у — за фронтом. Движение автомодельно и принадлежит к типу 1, определенному в т 5. Для дифференциального уравнения (5,3) (ю = 0) поле интегральных кривых в плоскости з, )гпредставлено на рис. 88; Х = ргг'у' ф. В той части пространства, до которой еще не дошла детонационная волна, газ покоится; поэтому внешней стороне волны детонации в плоскости з, И соответствует точка Нз(рис.
50), чке соответствует Аз = рс1')Г С);)1 Из условия Гюгонио (2.27) сле- Л=. / (р и Рнс. 50. Интегральные кривые в плоскости з, у, соответствующие сферической детонации. Случай р, =- = сопзс ~ 0; рт = сонат (сз = О). находящаяся на оси г. Этой то определим из условия ).з = 1. ') Сферическая детонация без поршня впервые рассматривалась О, Е. Власовым. Он установил автомодельность, вывел соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение и начал научать решения этой задачи.
См. книгу: В л а с о в О. Е., Взрывные волны, гл. 3, и., Изд. ВИА РККА, 1937, 3 е л ь до в н ч Я. Б., О распределении давления и скорост~ в продуктах детонацпонного взрыва, в частности, прн сферическом распространении детонацпонной волны. )КЭТФ, т. 12, выв. 9, 1942, стр. 339 — 406. Рассмотрим возмущенное движение газа, вызванное возникновением в момент 1 =- 0 детонации в центре симметрии; при 1) 0 по начальному невозмущенному состоянию газа распространяется сферическая волна детонации. По предположению приток тепла ю происходит только на фронте скачка, за скачком — волной детонации, движение газа адиабатическое '). Изучим сначала случай, когда в начальном покоящемся состоянии плотность рз и давление рз постоянны и отличны от нуля.
Возмущенное движение совершенного газа определяется цараметрами 1' 1 у уы Р1 Рг гсг т м) сфкгпчкскля дктоплция ззт дует, что внутренней стороне волны детонации в плоскости 2, Гт соответствует парабола 22 = (1 — Г'2)' (8.1) при Л = 0 выполняется условие Чепмена — Луге и парабола (8А) совпадает с параболой 2=(1 — )т).
(8.2) Если Л ) О, парабола (8.1) расположена выше параболы (8.2) (см. рис. 38 и схему на рис. 50). Так как на параболе (8.2) переменное ). имеет экстремум, то при Л ) 0 из точек параболы (8А) нельзя продолжить непрерывно решение до центра симметрии; легко усмотреть также, что ретвение с дополнительным скачком уплотнения также невозможно. Однако решение можно продолжить до прямой Г=1; точки этой прямой конно рассматривать как соответствующие сферическим поршням. Таким образом, можно получить решение задачи о расширении поршня в детонирующей массе газа.
Выбор соответствующей интегральной кривой и параметра Л фиксируется значением давления или скорости ().е) па поршне, так как для каждого Л заданием параметра рт)()рт определяется точка Сллбью Ф~онв„:'в.,введи Нв на параболе (8А) (рис. 50). тв™дв'~ Если Л ( О, то парабола (8.1) расположена ниже параболы (8.2). В этом случае решение задачи пе м у)/.= ~,' одинственно. М дв) Существует целый пучок кривых, исходящих из узла А, которые могут дать решение, удовлетворяющее всем краевым условиям. Цолоятение точки за фронтом скач- Рнс о1 )1аР'нна т'ч'"нк иРи сферической детонации, Качест- ва Нв и параметр Л ч.
0 опреде- веввая схема та же, что и в сауляются заданием скорости фронта чае плоских всвн (А, А. Гриб, 1939 г.. детонации. В центре получится 1.)39 г.). ядро покоящегося газа, граница которого соответствует точке А и является слабым разрывом. Точкам ядра соответствует прямая АР. Точка Р соответствует центру ядра Х = 0 (рис. 51). Если точка Н, лежит на параболе (8.2), то удовлетворяется условие Чепмена — Жуге и скорость детонации получается минимальной. Если Л ~( О, то за фронтом детонации до покоящегося ядра следует волна разрежения.
Случаи Л 0 соответствуют второму корню р,,'р, (см, (2.16)). Опи могут исключаться дополнительным свойством монотонности функции 1)' (р,!р'в) в зоне химическон реакции. Г!ри отсутствии оДномеРные неУстаноиипшиеся Движения глзл )гл. гУ такой монотонности в зоне химической реакции такие решения можно рассматривать, причем отбор требуемого решения сводится к определению Л ( 0 с помощью данных о кинетике химических реакций и соответствующих данных о немонотонности функции Д'(рг/р'з). С другой стороны, как указано выше, при Л ) 0 изменение функций ()'(рг!р'з) не обязательно должно быть монотонным.
Следует отметить, что в случае режима Чепмепа — 7Куге (Л = 0) имеются два непрерывных регпения. Кроме решения с волной разрежения существует еще решение с волной сжатия, которое продолжается до поверхности поршня, движущегося с соответствующей постоянной скоростью (77. Если поршень движется со скоростшо, меньшей (7ю то в этом случае можно построить следующее регпение. К волне детонации, распространяющейся со скоростью Жуге, примыкает волна разрежения, соответствующая участку П,В (рис.
50), из точки В в точку С происходит скачок, после чего решение продол;кается до поверхности поршня в Р. На поршне постоянная скорость с7Р меньше сгю Расположение точки В регулируется значением скорости с7е. Таким образом, для любой скорости поршня с7Р можно построить единственное автомодельное решение '). На рис. 52, 53 и 54 даны результаты расчета для распределений давления, скорости и температуры в иллюстративном примере, когда у = 7г = 5/3 и р, = 0 при удовлетворении условия Чепмена — Н)уге (кривые, соответствующие ю = 0). Решение задачи о детонации в случаях цилиндрических и плоских волн можно получить аналогичным путем. Рассмотрим еще задачи о детонации в среде с переменной начальной плотностью ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
