Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Очевидно, что все выводы пункта 2 не связаны с автомодельностью движения. 3. Условия на фронте детонации и на фронте пламени. Рассмотрим сначала общие свойства скачков с притоком энергии, Пусть при переходе частиц газа через фронт скачка от состояния 1 к состоянию 2 возникает приток энергии к единице массы, равный (). Этот приток может осуществляться за счет химических реакцнй (фронт пламени, фронт детонации), за счет теплопроводности, излучения или других каких-либо процессов.
При наличии притока энергии на фронте скачка механические условия (2.5) сохраняются в неизменном виде, а уравнение энергии (2.6) изменяется за счет притока к состоянию 2 энергии () (приращеяне постоянной в формуле для теплосодержання). Измененное уравнение энергии имеет вид — -(- — (Рг — с)г + () = Уг Рг + — (Рг — с)г. (2 11) т,— 1 р, 2 уг — 1 рг 2 1др одномкрнык нкгстхновившикся движкния глзл 1гл. 1ч В этих формулах г„и г, определены соответственно через у, и уг, а, и аг — соответствующие величины скорости звука.
В плоскости г, У уравнению );)р = сопзс соответствует парабола. Интервалу,гсоответствующему равенствам уР тр Р 1г — с)г ' р (и — с)'" в плоскости г, )г соответствует область междутдвумя параболами г= а(У вЂ” б)' и г = 6(У вЂ” б)'. Уравнение (2Л4) представляет собой квадратное уравнение, определяющее отношение р,/р, в функции следующих четырех параметров: ум у„р,/р,и' и ()/и'. Фронт пламеяи является скачком разрежения, для которого верны неравенства! тр. - -,1 )'Р, -' )1 Рг ' Р, 1а — с)~ )Рг — Ь)г ' Р~ (т~ — с)г,1Р~ — Ь)г (2Л5) т. е.
плотность продуктов горения меньше плотности горючей смеси, а скорости скачка по частицам (р, — с) и (и, — с) за и перед фронтом пламени дозвуковые. Фронт детонации является скачком уплотнения, для которого уравнение (2Л4) имеет два корня, р,/рм и р,/р„з р,/р,п Для этих корней выполняются следующие неравенства: — "(1, ""',= ",, >1, Рм ' »(гг — Р (Г.— Ьр ы' р~(а,— с) (И,— Ь)г ~ (2Л6) т. е.
скорость скачка по частицам за скачком дозвуковая или равна скорости звука, перед скачком сверхзвуковая; Ргг ' Р (и — а)г 11'г — Ь)~ т,р~ г~ р,(г,— г)г (Р'~ — Ь)г (2.16') р ~г ьт~ — 1 р,иг т. е. скорость скачка по частицам за и после скачка сверхзвуковая. Корни уравнения (2.14), р,/р„ир,/рмя совпадают, т. е. р /р,=.р,/р,ю если выполняется равенство | 2! ОБЫКНОВРННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕН|!и 198 Так как из (2.12) и (2.13) имеем формулу — 22 72(1+ — 2) —" — 72, (2.18) то на основании уравнения (2.14) очевидно, что равенство (2.17) равносильно равенству Угггг гг —, =-1. рг !22 — с)г (У2 — 4]2 (2.19) Следовательно, равенство корней уравнения (2.14) достигается в случае, когда скорость скачка по частицам за фронтоу| скачка точно равна скорости звука. Условие (2Л7), равносильное услови|о (2.19) для скачков уплотнения, носит название правила Чепмена — Жуге. Во многих случаях это правило верно для действительных движений газа с наличием детопациоппых волн.
С помощью добавочного уравнения (2.17) при заданных характеристиках состояний газа перед фронтом волны р„р„а также заданных у,, у, и (г можно рассчитать независимо от характера частной задачи скорость фронта и=и| — с1 ') В е г | !г е ! о | М., у ! е ! ! ! е Р., С. г. Асай. 82!., Раг!2, 942, !О1 — 8, зсапсе йп |6 !апг|ег, |882. М а ! ! а г й Е., Ь е С !г а 2 е ! ! е г и., Апп. М|пез, 8, зег.
4, 274, !888. низ (2.12), (2.13) и (2Л4) величины р„р„и, — с за фронтом детонационной волны. Еще в конце прошлого вена в работах Вертело, Вьейя, Малляра, Ле-Шателье и других ') было установлено, что волны горения представляют собон скачки разреггсепия, а волны детонацни— скачки уплотнения в горючей среде с последующей очень тонной зоной, в которой быстро происходит химическая реакция, сопровождшощаяся выделением тепла. Установление основных механических эффектов, связанных с явлениями установившегося распространения детонации, можно найти уже в работах В. А. Михельсона (1889 г.), г1епмена (1899 г.), Жуге (1905 г.), Крюссара (1907 г.) и других.
Прп установившемся двиггсеннгг среды в различных точках эоны химической реакции величина (7 соответственно различна, причем каждое состояние промежуточных продуктов реакции соответствует своему значению (г' и движется с одной и той же скоростью и относительно частиц среды перед фронтом скачка. Очевидно, что для всякого промежуточного значения (г' соответствующие значения иг, р, и рг, отвечающие величине (г', связаны также соотношениями (2.12), (2.13) и (2Л4).
При постоянных зна- $94 одномеРные неустАновившиеся ДВижения ГА3А [Гл. 1У чениях р„р, в плоскости переменных рт/р„р,/р.; согласно (2.13) получим прямую, которая называется прямой Михельсона '). Таким образом, получим, что вдоль прямой Михельсона для данного начального состояния р„ р, п и в интервале от с)' = О до ()' = — () все характеристики движущейся среды ив, р,, р,' на основании (2.12), (2.13) и (2.14) и Т, и о, на основанииуравнений состояния можно легко вычислить через 1',)', р„р, и постоянную и. Что касается определения этих же величин в зависимости от координаты по толщине зоны химической реакции, то для этого достаточно найти одну из указанных величин в зависимости от этой координаты.
Для определения этой зависимости необходимо использовать уравнения кинетики химических реакций, Соответствующие уравнения кинетики химических реакцин во многих случаях еще неизвестны достаточно детально, и поэтому вопрос о структуре детоиациояной волны до сих пор остается неясным. Нередко из-за тонкости слоя химической реакции при решении газодинамических задач можно ограничиться расчетами скачков детонации, в которых можно посчитать волну детонации бесконечно тонкой и удовлетворять условиям на разрыве (2.12), (2ЛЗ) и (2.14) при данном (). Исследование, восходящее к работам Михельсона, показывает, что в газах верны неравенства — ( — =-.— Р1 Р1 Р1 Рт Рм Рм где р, — значение плотности за фронтом ударной волны до начала химической реакции при ()' = О, а р,/р„и р,/р„— корни уравнения (2.14) для данного ().
На прямой Михельсона в интервале (11/р„р1/рт1 по изменению плотности р,' тепловыделение ()' (рт/рт) монотонно растет от О до (). При дальнейшем непрерывном изменении р,/р,' вдоль прямой Михельсона от р,/рм до р,/р„согласно (2.12), (2.13) и (2.14) происходит немонотонное изменение ()'. сначала продолжается выделение тепла, так что (/' становится большим (), а затем происходит поглощение тепла и соответственно уменьшение (,г до значения ~ в точке (1 /Ртм Отсюда следует, что если в зоне волны детонации при химических превращениях явление происходит непрерывно, а величина ()'(рт/р,) может расти только монотонно, то за фронтом детонации не может осуществляться состояние, отвечающее корню ') р,/р„. 1) М и х е л ь с о н В. А., Уч.
Зап. Имп. моск. ун-та, отд. физ.-иат,, вып. 10, 1893. а) г)чевпцно, что Условие монотониости фУнкции ()' (Р„/Ра') есть достаточяое условие для исключения корня р,/рте. С другой стороны, для реалиаации корня РР/ре1 за фронтом детонации требование о монотонности функции О' (р,/Ра ) в вове химической реакции не является необходимым. Е М ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИааФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 195 Хааа =( ) (2 21) 9 Иеетветствуюшне примеры даны в 1 8. И точке р,/ре, за фронтом детонационной волны скорость распрост ранения детонации по частицам дозвуковая или точно равна ско1вптн звука в точке )Куге.
Очевидно, что если скорость детонации и строго дозвуковая, то в этом случае будет происходить взаимодействие детонационной волны с газовым потоком продуктов детонации, т. е. с газовым потоком, который регулируется краевыми условиями за фронтом детопационной волны. Именно зто обстоятельство, установленное впервые в диссертационной работе А.
А. Гриба, относящейся к (939 — 1940 годам, выясняет вопрос о величине возможных значений скорости детонации и при распространении волны детонации по часттщам в различных конкретных задачах. Прн малых подпорах потока сзади из-за ослабления скачка детонации, взаимодействующего с потоком продуктов детонации, возможна только минимальная скорость и распространения фронта детонации по частицам перед пим, отвечающая точке ЖКуг, при которой скорость фронта по частицам за ннм равна местной скорости звука за фронтом детонации. При болыпих подпорах за фронтом детонации '), вызываемых соответствующими краевыми условиями, возможны режимы распространения детонации, отвечающие болыпим, чем по )Куге, значениям скорости и, при которых скорость фронта по частицам за ним дозвуковая, (па — с)' ( а.' п согласии со знаком неравенства в (2.16). 4. О связи между температурой и скоростью за скачками.
Не ОРРапичиван обЩности, можно пРинЯть ат = О, т. е. можно всегДа рзссматривать движения относительно газа перед скачком. Иа механических соотношений (2.5) следует равенство р а а' ат Отпошенне р /р. для скачнов уплотнения меньше единицы. Пезразморпая функция 11 (р,/р„р,/р,с') положительна и монотонна по Обоим указанным аргументам при ~',)О н — '' (1; р са ра оъ кзш следует, что в самом общем случае, независимо от уравнепмя энергии, для скачков уплотнения величина у имеет максимум, ~ Оотч|отствующнй р,/р,са =- О и (рт/ра)ааш.' 2зз одномкгные нкустАИОВившикся движкния ГАЗА игл, гу Очевидно, что наибольшее уплотнение р,/р, достигается для простых ударных волн или для волн с дополнительным поглощением энергии.
Для волн с подводом энергии и, в частностн, для пламени или детопационных волн величины (р,/р,),„„- и К,„,„получаются меньшими. Из условий па скачке следует, что для простых сильных волн наибольшее значение отношения р,/р, равняется (у + 1)/(у — 1) и, следовательно, 2 К2222 = ° =т — 1' Дль сильных детонационных волн (р,/р,сз = О), удовлетворяющих условию Чепмепа — )Куге, нз уравнения (2.14) найдем ( Р2) У2+4 и соответственно этому 1 КП12Х = 72 Найденные верхние границы для К позволяют оценить температуру за фронтом по данным о скорости частиц газа за фронтом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
