Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Благодаря этому обстоятельству для идеального совершенного газа возможно строить автомодельпые движения с двумя произвольными независимыми размерными определя1ощими постоянными. б 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения н условия на скачках для автомодезьных движений 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Для решения указанных задач выведем уравнения, которым должны удовлетворять У, Я и Р. Подставляя в уравнения (1.3) вместо Р, р и р их выражения через У, Я, Р из (1 1) и учитывая (1.2) получим ).
~(б — У) У вЂ” — "„~ = У' — У вЂ” (й+ 1) — ', Х ~ — У'-'- (6 — У) —,' ~ = — г — (/2 — У-)-3) У, Я'ч ) (б — У) ~ — ';, — у ~~ ~ = = — г(1 — у) — 2 — (й(1 — у) -,'— 1 — Зу) У. (ВВ ОДнОмеРные ИВУОТАгговивгпиеся ДВижения ГАЗА (гл. гч Вводя вместо Р новую переменную ') г = ТР!Я, преобразуем эти уравнения к следующему виду: ам г Ц2(р — 1)+ ч(т — 1) У[(р — Ь)г — (т — 1) У(р — 1)((г — Ь)) (У вЂ” Ь) [Г (У вЂ” 1) (Р— Ь) + (х — чр) г! [2 (Р— 1) + х (т — 1)] гг (У вЂ” Ь) [У (У вЂ” 1) (Р— Ь) + (х — ч) ) г! ' П'(П А г — (У вЂ” Ь)г ИУ У((г — !)(К вЂ” Ь)+(х — чр)г (2.1) (2.2) — — )+(х — ч ) ( 3 : — (И вЂ” Ь)г (2.3) = [г -[- (й — ч + 3) [г ! где г+ 2+ Ь(А+1) 7 Для данного типа автомодельных движений размерность постоянной а можно менять путем введения новой постоянной а, по формуле а, = аЬ", где показатель )( произвольный.
Видоизмененные значения Йг и г, определяются формулами й, = 1с + )(, г, = а — 6)(. г) Теггпература г н переменная г связаны формулой гг ЛТ= —., г гг где Л вЂ” гааован постояннал. Ь[ожно также менять параметр Х введением новой постоянной Ь, = Ь . Функции Р(Х) и Я ()) и параметр Х зависят от выбора размерностей постоянных а и Ь; очевидно, что переменные г, Р, а также функция з ([г) не зависят от выбора показателей гг, з, т, а определяются вполне типом автомодельного движения, зависящего существенно только от двух параметров х и 6. После замены в выражении для х величин (г и г через йг и г, получим х = хг.
Отмеченная особенность функции з ([г) выясняет связь поля интегральных кривых уравнения (2.1) в плоскости г, [г с типом автомодельного движения, независимую от способа введения определяющих постоянных а и Ь. Легко видеть, что основная задача заключается в интегрировании уравнения (2.1). Если уравнение (2.1) проинтегрировано, то зависимости гг и Я от Х определяются из уравнений (2.2) и (2.3) с помощью квадратур.
Плоскость безразмерных переменных з, [г можно рассматривать для произвольных неавтомодельных движений. В каждый момент времени полю одномерного неустановившегося движения газа в 1 2] ОБыкнОВенные диФФеРенцнАльные уравнения 137 плоскости 2, У соответствует некоторая кривая. При наличии сильных разрывов — скачков — на этой кривой будут точки разрыва. Дли неавтомодельных движений в разные моменты времени ДВИЖЕНИЮ Гаэа СООтнвтотВУЮт РаЗЛИЧНЫЕ КРИВЫЕ В ПЛОСКОСТИ 2, )г.
Точки, соответствующие сильным разрывам в плоскости 2, 1г, движутся с течением времени. Различным фиксированным точкам в пространстве или различным фиксированным частицам в плоскости х, У соответствуют различные кривые. Если движение автомодельно, то полю движения газа в плоскости 2, р соответствует в разные моменты времени или для различных точек или частиц одна и та же кривая, которая явлвется интегральной для уравнения (2.1). Из постановки автомодельных задач следует, что координата скачка г и переменная А = гясл на скачке являются функциями времени 1 и определяющих размерных постоянных а и Ь ').
Из трех величин а, Ь, 1нельзя образовать безразмерной комбинации, поэтому для поверхности разрыва имеем Х = Хе = сопь1, г = АзЬлл. Следовательно, для автомодельных движений скачку соответствуют фиксированные значения переменных ), Я, г, Р, 'лг. В плоскости г, лг скачкам соответствуют фиксированные точки. Для величины скорости скачка с всегда можно написать формулу следующего вида: лг г с= — = 6— с11 (2.4) ') В частных случаях возможно такоо положение: движение газа автомодельно, но движение границ, например ударной волны, определяется до. полнительными постояннылги, и поэтому координата скачка г зависит не только от л, Ь ил, но и от других размерных постоянных; в этих случанх формула А = сопз1 на скачке неверна. В соответствии с принятыми определениями такие движения, рассматриваемые в целом, мы будем называть неавтомодельными, хотя автомодельность нарупыется только на границе.
Очевидно, что для автомодельных движений 6 постоянно. Скорости распространения фаз в пространстве при г) О, 1) 0 направлены от центра при 6 ) 0 и к центру при 6 ( О. Следовательно, при 6 ) 0 ударные волны получаются расходящимися и и сходящимися при 6 (О, причем при 6 ( 0 скорость движения фаз замедляется. Если г) О, время 1 возрастает, по Г(0, то имеем противоположный характер движения скачков. На параболе 2 = (Ь вЂ” )г)з фазовые скорости по частицам равны скорости звука, выше этой параболы эти скорости дозвуковые, ниже сверхзвуковые. В общем случае неавтомодельных движений отвлеченная величина 6 есть некоторая функция от времени.
2. Условия на скачках уплотнения. В большинстве указанных выше задач в потоке возникают сильные разрывы (ударные волны, $88 Одномерные нетстановившнеся движения ГАНА йГр. 1ч фронты детонации, фронты пламени), поэтому рассмотрим в общем виде соотношения между значениями У, г н Я по обе стороны поверхности сильного разрыва. При переходе через поверхность сильного разрыва должны выполняться условия сохранения массы, количества движения и потока энергии. Отмечая индексом 1 величины по одну сторону поверхности)разрыва, и индексом 2 — по другую, можем написать Р1(П1 — С) = 02 (Рг — С), (2 ') г р, (и1 — с)' -1- р, = р, (Рг — с)' + р,; — (Рг:с) -'- — — = — (и,,— с) + — - ".
( .6) 1 - 2, т Р1 1 1 2 т Рг '1 У вЂ” ~ Р, Р2 Заменим в соотношеннях (2.5) и (2.6) величины Р, р, р их выражениями через )г, Я, Р по формулам (1.1), скорость с через Ь~Г11 согласно (2.4) н введем переменное г = 7Р~Я. Соотношелня на скачке примут вид 1 б+ ~2 б+ т (Р— б) у <Р.,— б) Из этих равенств величины 2'2 и г, выражаются через 2'1 п г, по формулам ~Р, А)2 и ~(и,— б)2+ — ", Ц вЂ” ", (Р,— б)' — г,1.
(2.7) Задавая в плоскости (1", г) точку (1;, г,) нэ соотношений (2.7), найдем точку (К„гг), в которую она переходит после скачка. й(ы примем, что частицы газа переходят через скачок от состояния 1 к состоянию 2. Из симметрии уравнений (2.5), (2.6) ясно, что в формулах (2.7) индексы 1 и 2 можно поменять местами. Точки параболы (2.8) г = (р' — б)' Этн уравнения выписаны для совершенного газа, в них прш1ято, что теплосодержание 1 единицы массы газа определено формулой срТ + сойэг = -1 сонэ! т Р т 1 1 21 ~ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФвгвнЦИАЛЬНЫЕ Угавпвния 1с99 переходят сами в себя. Этой параболе соответствуют слабые разры- вы, т. е.
поверхности разрыва производных. Действительно, урав- нение (2.8) записанное в размерных величинах, дает — = (с — с), тР г Р т. е. квадрат скорости скачка по частицам равен квадрату скорости звука. Точки, лежащие под параболой (2.8), переходят в точки, лежащие над ней, и наоборот. Тан кан г по своему физическому смыслу всегда положительно, то имеют физический смысл только те случаи, когда точки верхней полуплоскости переходят в точки верхней же полуплоскостн. Точки оси 1~, соответствующие предельному случаю, когда г = О, переходят в точки параболы| ", (у-б)г.~ Следовательно, преобразование (2.7) отображает область между осью У и параболой г = (У вЂ” 6)г в область между параболой (У вЂ” 6)' и параболой г= (У вЂ” 6)', и наоборот. Далее, так как — = — = — )О, яг тгг нг — с (2.9) г)(У вЂ” 6)' или аг =~тл )(и — с)', а для точек, расположенных под параболой (2.8) г,'( (У~ — (6)г нли а' = — ( (и — с)', иначе говоря, имеем: скорость частиц газа относительно скачка дозвуковая при г ) (У вЂ” 6)' и сверхзвуковая при г ( (У вЂ” 6)'.
то очевидно, что точки на разных сторонах скачка в плоскости г,' У расположены по одну сторону от прямой У = 6. Соотношение (2.9) следует также из (2.7) для любых г1 ) О. Для точек над параболой (2.8) 196 одноыегные неустАноиившиеся дВижения ГА3А Гл гч Поэтому ") область менарду параболой з = (У вЂ” 6)з и прямой з = О соответствует состояниям, по которым могут распространяться скачки уплотнения, а область между параболами = — (У,' — 6)' т — 1 соответствует состояниям за скачками уплотнения. Точки, лежащие выше параболы з =- — (У вЂ” 6)'-, Рис.
36. В плоскости з = урЯргз, У = иг!г скачкам может соответствовать переход точек из области, заштрихованной вертикально, з область, заштрихованную горизонтально. 6 (1, 6) (1+ — ',,' У,) . "(.О) Возмогьные переходы указаны стрелЭта парабола изображена в левой нижней части рис. 36. Слева от прямой У = 6 скорости фазы Х = сопзс (в частности, скорость скачка) с = бг/г больше, а справа от втой прямой меньше, чем скорость частиц газа и = Угй в той же точке пространства. ') Анализ условий на сильных разрывах в общем случае изложен, например, в книге: С е д о з Л.
И., Плоские задачи гидродинамики н аэродинамики. М.— Л., Гостехиздат, 1960; М., «Наука», 1966. переходят согласно (2.7) в точки нижней полуплоскости и, следовательно, не могут соответствовать состоянию газа ни перед, ни за скачком. На рис. 36 области, точки которых могут изображать состояние газа перед скачном, заштрихованы вертикально, а обгг ласти, в которые переходит — — изображающая точка после скачка,— горизонтально. Направления возможных пе- ,ГМ,,',:=-,,~;='„- ~д~,' реходов от точки (У„з,) к точке ,'~~ ~г~'~'',:: .
'-' ~$'~,~~ ная волна распространяется по — покоящемуся газу, т. е. если : ~~ ~,~ г,,ф,1 точка (Ум зг) находится на оси з 4 У на лежать на параболе 1 21 овыкновенные днФФергнциАльные уРАВггення 191 В этом уравнении принято во внимание, что значения коэффи- циента Пуассона у = ср/с, перед волной у, и за волной у, могут быть различными.
Уравнения (2.5) и (2.11) можно преобразовать к виду Рг с = — г (иг — с), Рг (2.12) Рг р, = р, + (1 — Р' ) р, (иг — с)', Рг! ( р ~)г вг Рг ~, Рг 1+ Модуль разности (2.13) (с — Рг(= и представляет собой скорость скачка по частицам перед фронтом волны. В случае фронта пламени скорость и — заданная физико- химическая постоянная. Непосредственно очевидны следующие равенства: аг Ег (иг — с)г рг(ггг — с)г (Уг — (г)г иг 2 тгрг гг (ег — с)е Рг (гг — с)г (Уг — А)г Направление обеих скоростей в пространстве в первом и во втором случаях одинаково. Относительная скорость фазы по частицам в первом случае совпадает с направлением скорости частицы, во втором противоположна скорости частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
