Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Теоретическое исследование моментов высшею порядка может быть осуществлено при допущениях о наличии изотропии только для моментов второго и третьего порядков (см. сноску на стр. 130), а так1ке и в более узкой постановке задачи о наличии изотропии в моментах выстпего порядка. Гипотезы об автомодельности (4.29) и (4ЛО) можно выставлять только для моментов второго и третьего порядков и рассматривать полученное выше уравнение. При возникновении дополнительных проблем, связанных с определением моментов порядка выше третьего, для устранения Гбх ПРНЛОЖВКИЯ К ТВОРПН ДВПЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ятяДКОСТ11 1Гв, зн большого произвола обязательно нужно выставлять дополнительные предположения.
Это связано с тем, что после фиксирования мовщнтов вто)юго и третьего порядков последовательное вы1пслепие моментов высших порядков можно производить пз соответствующих уравнений в частных производных на основании дополнительных условий. Исходя из полученного решения для моментов второго и третьего порядков, можно строить различные теории, опирающиеся на различные гипотезы — условия, для описпнЙя турбулентных движений жидкости и газов, различающиеся между собой только поведением момонтов выспшх порядков. В частности, для моментов высших порядков моя;но применить допущоипя об аптомодельности, аналоги и ые гипотезам ') ('с.2с)) и (4.30), однако такого рода гипотезы не обязательны.
б 5. Установившиеся турбулентные движения В ряде случаев, в частности при движении жидкости в трубах и в каналах, мы встречаемся с турбулентными движениями, для которых осредненное движение установившееся; такие потоки называются установившимися турбулентными потоками. Рассмотрим задачу об установившемся турбулентном движении неспсимаемой жидкости в неподвижной гладкой бесконечно длинной цилиндричоской круглой трубе. Предположим, что среднее движение жидкости обладает осевой сиззлетрпей и средние око)юстм направлены вдоль оси трубы.
Пз уравнения несясимаемости следует, что величины средних скоростей пе зависят от координаты х вдоль оси трубы; по сечению трубы средняя скорость переменна и зависит от расстояния г рассматриваемой точки до центра трубы. Нетрудно видеть, что характеристики осредненного движения определяются следующей системой параметров: 1 др р,р,п,те= — 9 —.и, г=п у (5.1) 2 дв где а есть радиус трубы, др!дх — среднее значение градиента давления вдоль трубы, а те — напряжение трения на стенках трубы. Все безразмерные величины являются функциями двух параметров: (5 2) И и е где п = уст~~р представляет собой так называемую скорость касательного напряясения трения на стенках трубы.
Безразмерные величины, характеризующие свойства движения в целом, не зави- ') По этому поводу см. работу: К о р и е ее А. И., Гипотезы Бермана и степенные законы пзмепевпп энерпзп и линейного мвсппаба турбулентности. ПММ, т. 39, вып. 3, 1975. устАновившнеся туРБулентные д1И!жения х63 сят от переменной г и, следовательно, определяются только одним числом Рейнольдса. Обозначим через и величину скорости осредненного движения п через птах скорость в центре трубы. Из теории размерности вытекает, что (5.3) и атах ч Р~й а — у1 Р4) а 1 ' а Величина и,„,х — и, называемая дефектом скорости, характеризу ет распределение скорости по сечению трубы относительно движе пня в центре трубы.
Дальше мы будем рассматривать резко выраженные турбулентные двия ения, что соответствует болыпим значениям числа Рейнол ьдса. Распределение скоростей в труое тесно связано с явлением турбулентного перемешивания, благодаря которому происходит обмен количеством двн1кения между соседними слоями жидкости. Выравнивание скоростей, обусловливаемое переносом количеств движения, определяется свойством инерции жидкости.
С точки зрения кинетической теории материи свойство вязкости объясняется наличием хаотического молекулярного движения, которое способствует выравпиваяню скоростей наблюдаемого движения и приводит к преобразованию кинетической энергии наблюдаемого движения в знерги1о теплового движения. Закон сохранения энергии выражается в постоянстве суммы поханической энергии наблюдаемого движения и энергии молекулярного движения. Оба вида энергии можно рассматривать как составляющие различных видов механической энергии. Коли пренебречь внутримолекулярными силами, то свойство вязкости определяетсясредними кинематнческимихарактеристиками состояния молекулярного движения и свойством инерции молекул жидкости.
Беспорядочное турбулентное перемешивание по отношению к осредненному движению аналогично молекулярному движению по отношению к истинному турбулентному двн1кению. Турбулентные пульсации аналогичны пульсациям молекулярного хаотического движения. Различие заключается в разном порядке средних величин, характеризующих нульсационные движения. Вместо движения отдельных молекул в тепловом процессе прн турбулентном перемешивании мы имеем пульсационные движения амоле1й»вЂ” объемов жидкости, весьма больших по сравнению с размерами и массой молекул.
Кроме этого, величины средних скоростей пульсаций в турбулентном движении очень малы по сравнению с величиной средней скорости теплового движения. 164 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРПЛ дВЮКЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИдкооти ~ГЯ, 111 аюзх г.(а — з) (5.5) Равенство (5.5) указывает на существование универсального закона распределения скоростей в трубах. Опыты по измерению раснределення скоростей в трубах при турбулентном движении, произведенные при всевозможных значениях числа Рейнольдса, очень хорошо подтверждают справедливость существования подобного универсального закона распре деления скоростей, независимого от числа Рейнольдса (рис.
31). При турбулентном двн1кении мо1кно рассматривать преобразовапне энергии осредпенного движения в энергию турбулентного молярного движения. В этом смысле можно говорить о диссииацни энергии среднего движения, причем диссипация непосредственно не связана с переходом механической энергии в тепловую, и следовательно, этот процесс моя<ет быть независим от свойства вязкости жидкости. Перераспределение кинетической энергии между наблюдаемым средним движением и движением пульсацпонпым можно рассматривать также и для идеальной жидкости. 1(ак известно, для идеальной несжимаемой жидкости переход механической энергии в тепловую невозможен.
Следовательно, переход энергии из среднего движения в молярное турбулентное движение пульсаций в ряде случаев может определяться в основном только свойством инерции. При движении жидкости в трубе происходит потеря механической энергии, следовательно, должны быть области, в которых влияние вязкости существенно. Вследствие прнлнпанпя жидкости к стенкам трубы мгновенная и средняя скорости жидкости на стенках равны нулю. Поэтому в непосредственной близости у стенок трубы не может быть интенсивного перемешивання жидкости.
Это служит основанием для вывода, что непосредственно около стенок резкое изменение скорости должно определяться свойством вязкости И1ндкости и что около гладких стенок должен существовать слой с ламинарным движением. Опытные данные хорошо подтверх1дают этот вывод. Предположим, что в основном ядре турбулентного потока вблизн осн трубы выравнивание скоростей определяется молярным перемешиванием жидкости, в котором свойство вязкости имеет второстепенное несущественное значение.
Обозначим через 6 толщину слон жидкости вблизи стенок, в котором недопустимо пренебрегать свойством вязкости жидкости. Приближенно величину 6 можно приравнять толщине ламинарного слоя у стенок трубы. По предположению при у ) 6 вязкость несущественна н, следовательно, в формуле (5.4) при у ) 6 число Рейнольдса несущественно,т.е а! ъстлновиишикся турпулвнтныв диинскння Ц~ ЮУ Дг ЦН ДК УУ ЮГ Рг ПД буй Риа.
3!. Опытное подтверждение унпиерсальио1о аакона распределении скоростей иблиаи оси трубы. !66 пРпчожения к теОРии'движения Вязкои жидкостыС[гл. 111 Еще в 1858 г. Дарси ') предложил эмпирическую формулу 1г1 = 5,08(1 — У ) (5.6) аа ' а Графическое изображение результатов эксперимента для величины (иа„, — и)/и как функции от у1а дано также в работах Стан- тона в), Фрича а) й Никурадзе а). Эти авторы отметили существование указанной универсальной зависимости, которая оказалась справедливой в центральной части гладких н шероховатых труб независимо от шероховатости, несмотря на то, что сопротивление, и также отношение и,„а„Ье и т.
п. существенно зависят от числа Рейнольдса и от шероховатости. Приведенное истолкование справедливости закона (5.5) получилось нз анализа размерностей как следствие пренебрежения свойством вязкости для относительного движения в центре трубы. Это объяснение дано в работах Прандтля и Кармана. Рассмотрим теперь задачу об определении вида функции, дающей закон распределения скоростей в поперечном сечении трубы при турбулентном движении. Имея в виду большие значения числа Рейнольдса, что для заданных 11 и )с1р равносильно большим значениям радиуса а, рассмотрим предельный случай а — г.
оо. В этом случае получается задача о турбулентном движении в полупространстве у > О, ограниченном плоскостью у = — О. Системой определяющих параметров будет р,р,т„у Для распределения осредненных скоростей получаем формулу — = 19(Ч), где т! = — *Р (5.7) га )1 При ламинарном движении вид функции 19 (г)) легко определяется теоретически. В самом деле, при ламинарном движении в цилиндрической трубе все частицы жидкости движутся равномерно н прямолинейно, поэтому свойство инерции должно быть несущественно, и следовательно, распределение скоростей не должно зависеть от величины р. Так как определяющими параметрами яв- лЯютсЯ та, )с и У, то из теоРии РазмеРности полУчаем ") !! а г с у Н., Мешо!шв йе й!т. вагап!в етгапяегв, С.
15, 1858. ') 8 С а и С о п ТЬ., Ргос. Воу. Вос. (А), т. 85, 1911. ') Р г ! С в с Ь гЧ., Нег Е!п1!пвв йег СЧапйгапЬ!НЬе!С ап1 й!е СпгЬп!епте бевсЬи!пй!Ейе!Свтегге!!ппа !и Вшпеп. ХАММ, Вй. 8, 1928, 8. 199 — 216 (см. также: АЬЬапй!ппееп Аегойуп. 1пвС!спС АасЬеп, Вй.
8, 1928, 8. 45 — 62). а) 11' ! Ь ига й в е Л., Ргос. о1 СЬе ТЬ1гй 1псегп. Сопзтевв, 1930. установившився тугвулвнтныв двпжкнпя 167 где я есть безразмерная постоянная. Составляя соотношение 1ди1 то = )11 — ~ ~ ~!.=.' получаем я = 1. Следовательно, для ламинарпого движения справедлива формула ф (1)) = Ч. (5.8) Если мы примем, что в общем случае турбулентного движения вблизи стенки имеется ламинарный слой, то формула (5.8) определяет вид функции ф (т)) непосредственно вблизи стенок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
