Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Число а является произвольной постоянной, введенной Карманом. 1'ешение уравнения (4.19) зависит только от постоянной а. При сс = сопз1 различие в значениях р и о важно только для указания размерности постоянной А. Формула (4.17) показывает, 1-- что существенна только постоянная Ат ', которая имеет размер- ность +Р-г В'Т ' = 1.'Т'" '. Общее решение уравнения (4.19) регулярно для всех $ чь О, оо. Регулярное решение при $ = О, удовлетворяющее условию 7" (О) = = 1, представляется формулой /(е) = М(10а, 2, — — ~ = 5 8 ~ = 1 — ~+ а(10а+1) $' а(10а+11(10а+2) $" +... (4.20) 4.7 21 4э 7 9.3! где М (а, у, х) есть конфлюэнтная гипергеометрическая функ- поэтому, так как 7'(О) = 1, распределение возмущений, определяемых формулой (4.17), характеризуется нерегулярностью при 1=0.
Очевидно, что функция / гг ~ и (0,0,0,1)и~(г,О,О,О т1 /- иге % ы ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 159 ция а). Для этого решения при весьма больших значениях $ -е- + ое справедливо асимптотическое разложение ~©- 5 г( 2 — 10а) 10о(10и+ 1) 110о — ) 110о — 2 ) где Г есть символ функции гамма Эйлера. Из формул (4.17) и (4.21) легко выяснить поведение момента Ьбб при г — ~- + со или при 1-~- О.
Для всех а ) 0 справедливо предельное соотношение (4,22) Ксли 10а — — = й, т. е. а= — +й 0,1, 1 где Й есть целое положительное число, то изучаемое решение урав- нения (4.10) приобретает простой конечный вид. /51 ~-к(ат '. '. Г) - ~'! [" (к~ . )~ + 2 й 5 а(й — 1) 5т Г(~) Г(Д) Г(2 )2! ... +( — 1)т ~ 1е Г(й+ — )8а ~ П этом случае распределение момента Ьб для 1 = 0 имеет характер б источника. При г Ф 0 и 1 = 0 имеем Ьбб =- 0; при г =- 0 и 1-+- 0 имеем Ьб — т. оо.
б ') См. И и к е Е., 3 м д е Ф., Таблицы функций с формулами и кривыии. М.— Д., Гестеаиадат, 1949. 149 приложениЯ к теОРии ДВижениЯ ВЯзкОЙ жиДкОсти (гл. 111 Уравнение (4.16) можно истолковать как уравнение теплопроводности в пятимерном пространстве при наличии симметрии отно- $ сительно начала координат. Решение, соответствующее а =-— (когда /г = 0), можно рассматривать как аналог теплового источника в пятимерном пространстве ').
В этом случае решение имеет вид аа Л 1 е за1 р Ьл= Ата 3— у' га (4.23) 1-— р Постоянная Ат ' при а = '/ имеет размерность (.4Теаз. Легко проверить, что рассмотренные выше решения для = 1/4 + ОА /г, где /г > 0 — целое число, могут быть получены из решения (4.23), соответствующего простому источнику, дифференцированием по времени ( — ~) — — — ( — ~(~ — ~) ~ в 1 34" 1 Ь 2'2'2'''(2 Отсюда ясно, что эти решения соответствуют временным диполям, порядок которых определяется числом /г. В этих случаях характер изменения коэффициента корреляции / (г/)/ та1) представлен на рис. 22. Нетрудно видеть, что прн а = 1/4 параметр Л имеет конечное значение, отличное от нуля.
На основании формулы (4.17) можно написать аа 1 1' а Л = ~~ Ь;Ч. =, — „. ~ /4Д" 1~. Г Лз Ат ' (т1)" Г е е (4.25) Ото равенство показывает, что постоянство во времени Л чь О, оо несовместимо с неравенством а ~ 1/4. Из разложения (4.21) очевидно, что при 0 ( а('/4 имеем Л = — оо.
При а ) '/4 имеем Л = 0; в последнем случае /(9) обязательно меняет знак при изменении $ от нуля до бесконечности. Решения, определяемые формулами (4А7) н (4.20), дают непрерывные законы распределения для Ьа (г, ге) при любых а и йе ) О. ') См. Л о й пя н с к нй Л. Г., Некоторые основные закономерностн взотропного турбулентного потока. Труды ЦАГИ, вып. 449, 1939; М я л л во н Ж в я о в йд Д., Выроакдевве однородной язотропяой турбулеятностп в вязкой несяанаааезаой жидкости. ДАН СССР, т. 22, лй 5, 1939. изотРопные туРБулэнтныв движения 141 Очевидно,'что в этих частных случаях, а следовательно, и в общем случае закон затухания зависит существенным образом от свойств начальных возмущений. Поэтому для получения асизсптотичегких законов затухания с помощью рассмотренных решении (Ж а в га Рис.
22. Коэффициент корреляции для движений типа источника лри раз- личных й. необходимо еще воспользоваться либо допол.нитсльными гипотезами механического характера, либо опытными данна~лги. 6. Задача о турбулентном движении в аэродинамической трубе. Как мы уже указывали, игследовапие нзотропной турбулентности связывается с изучением турбулентности, вызываемой направляющими решетками в аэродинамических трубах. Рассмотрим вопрос о развитии турбулентного двинсения несжимаемой жидкости за решеткой, движущейся поступательно с постоянной скоростью и вдоль оси х. Для простоты примем, что жидкость беспредельна, а решетка образована двояко-периодической системой конгруэнтных ячеек, сдвинутых друг относительно друга в плоскости, перпендикулярной к оси х.
Возьмем совокупность движений,' решеток с геометрически фиксированной формой. Движение жидкости в плоскости, перпендикулярной к оси"х, определяется системой параметров р,р,и,М,х=и(1 — 1э) гдо дХ ость характерный размер решетки, а х — координата 142 пвиложзнпн к твории движвння вязнои жндКОСтн !гл. Гп рассматриваемой отсчета для х. Безразмерные раметров; плоскости; постоянная 1е определяется началом характеристики движения зависят от двух ') па- риМ вЂ” н М р Предположим, что для достаточно больших значений х/ЛХ монсно принять, что турбулентное движение изотропно и что в различных плоскостях, перпендикулярных к оси х, развитие изотропной турбулентности отличается только по фазе.
В этом случае характеристики турбулентного движения жидкости определяются параметрами р,)г,и,ЛХ,Ь Коэффициенты корреляции /=Ьл~/Ь и Ь = Ьй /Ь' зависят от безразмерных параметров риМ ис гз М Формула (4.17) получается как следствие допущения, что для достаточно больших значений параметра и1/ЛХ этот параметр становится несущественным. гс мк Из формулы (4.18) вытекает, что = = =~ — /1; полагая 1= 1е + х/и, получим: Формула (4.26) дает закон затухания турбулентных пульсаций вдоль оси трубы. На основе ряда экспериментальных данных, полученных в аэродинамических трубах, Тейлор ') предложил эмпирическую формулу вида (4.26) == А+ —, (4.27) где А и В суть постоянные. г) В опытах с турбулентными движеннлми жидкости за решетками поток не беспределен, поэтому на некоторых характеристиках движении жидкостей могут скаватьсл, различным образом, форма канала трубы или струи, и частности, через их поперечный размер Ь и соответственно чррев число риЬ/р,.
з) Т а у 1 о г С. 1., 81а11змса1 ТЬеогу о1 Твгьв1епсе, П1 — т'. Ргос. Воу. 8ос. Ьопбоп, А151, №. 873, 1935, р. 421 †4; А!56, №. 888, 1936, р. 397— 317 (см. также: Т а у1о г О. 1., ТЬе Вс!епс!Вс Рарегз, ч. 2. СашЬг!Йбе, СашЬг!68е !)п)т. Ргеэз, 1960, р. 288 — 335, 356 — 364). ~ ы изотропнын тргврлзнтньгк движкния $43 Для согласования формул (4.26) н (4.27) необходимо положить а = '1м При а = 'lь имеем р (Ат '!=Ы 7. Турбулентные движения с болыпими пульсациями.
Если параметр и11М несуществен, то коэффициенты корреляции сохраняют постоянное значение при Влияние времеви сводится к изменению масштаба для г. В рассмотренных решениях измоненнг масштаба определяется соотношением (4.28) Из формулы (4.28) следует, что при х = сопзс, т. е. в фиксированной точке относительно решетки, масштаб 1 постоянен во времени. Вместе с тем формула (4.28) показывает, что этот масштаб зависит от скорости и. В цитированной работе Тейлор приводит некоторые опытные данные, которые не подтверждают последнего вывода.
Это обстоятельство привело к необходимости усовершенствования и видоизменения теории применительно к случаю больших пульсаций. При больших пульсациях основное значение приобретает обмен количествами движения мея<ду перемешивающимися массами жидкости. В этих процессах главную роль играет свойство инерции жидкости. Свойство вязкости играет большую роль в развитии движений весьма малых пульсаций, в которых осуществляется основной процесс диссипации кинетической энергии. Имея в виду изучение большихпульсаций, допустим, следуя Карману и Хоуарту, что для достаточно больших значений г справедливы формулы вида (4.29) (4.30) где 1 есть некоторая линейная величина, которая может зависеть аг времени и от постоянных параметров, определяющих изот- 144 ПРИЛОЖВНИя К ТЗОРИИ ПВНЖЕННИ Вязнсз "КИДКОСтн Плгглг ропное турбулентное движение ').
Формулы (4.29) и (4.30) показывают, что влияние времени на коэффициенты корреляции сводится к изменеппго масштаба для расстояния л. Свойство вязкости па явление диссипации энергии влияет неявно через величины Ь и й Величине / мы пс будем придавать конкретного геометрического или механического смысла. Определение / можно рассматривать как дополнительную гипотезу. В частности, если допустить, что инварианлл Л ~ О, оо, т.
е. существует соответствующий интеграл и удовлегворнются условия, сформулированные на стр. 436, то это дает зависимость между / и Ь, В самом деле, Л = Ь ~' ./( — '; ) . д = Ь/ ~ /(Х) Х' дХ. о о Отсюда находим а(Ь) где а есть постоянная. Если еще принять, что Ь = )/ тг, что соответствует вышерассмотренному решению для малых пульсаций, то мы получим сразу закон затухания, соответствующий и = л/, аоА (чз)ла ' ') Дальнейшие выводы, опубликованные еще в 1944 году в первом издании этой книги (см. также Се д о в зи И., ДАН СССР, т. 42, № 3, 1944), опиаются существенным образом пэ сформулированные выше предположения толыоо для двухточечных моментов второго и третьего порядков, см.
сноску на стр. 130) об однородности и изотропнп турбулентного движения несжимаемой жидкости с вытекающим отсюда уравнением (4.14) и еще только на допущения, заключенные в формулах (4.29) и (4.30). В течение тридцати лет вопрос о согласовании с опытами гипотез (4.29) и (4.30) оставался открытым. Неоднократно высказывались сомнения о доиустимости этих гипотез для описания результатов опытоз. В последнее время А. И. Корнеевым после кропотливой обработки опубликованных данных опытов покааано, что предположения (4.29) и (4.30) при соответствующем выборе постоянных, возникающих в процессе ллатематического регпения задачи, хорошо отвечают измерениям в опытах не только качественно, но и количественно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
