Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. размерности () и Х представляются формулами (()1 = — 1.'Т ', [Л = ЬАТ'. 119 ПГИЛОжВНИЯ К тКОГИГГ ДанжаНИЯ ВЯЗКОЙ жИДКОСтИ 1тя. ГП При стягивании поверхности Я к полюсу в точку получим, что величины (1 и Х могут зависеть только от коэффициента ч и от постоянной А, размерность которой выражается через размерность ч.
Так как размерности (з и ч независимы, то очевидно, что расход (з равняется либо нулю, либо бесконечности. Размерность Х выражается через размерность коэффициента ч, поэтому величина У может быть конечной. Иное положение имеет место при плоскопараллельньгх движениях.
Ксли для плоскопараллельцых движений поле скоростей во всей плоскости зависит только от координат точки и от констант, имеющих размерность, зависящую от размерности коэффициента кинематической вязкости ч, то в полярных координатах справедливы формулы, аналогичные формулам (2.2). (В этом случае г — радиус-вектор в плоскости движения,) Для плосконараллельного движения расход и поток количества движения можно определить формулами 0=1з„ДЯ, У=~ е „с(Я, где Л вЂ” некоторый замкнутый контур, охватывающий начало координат. Размерности (з и У в этом случае представляются формулами ((1) = 1.'Т ', У) = ).зТ '.
Следовательно, плоские движения рассматриваемого типа могут характеризоваться конечным расходом, а соответствующие импульсы будут равняться нулю нли бесконечности. Это обстоятельство позволило Гамелю и ряду других авторов в задаче о движении ясидкости в угле между двумя плоскостями получить точные решения уравнений Навье — Стокса путем сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям '). Переходим к рассмотрению решения системы уравнений (2.4). Первое из уравнений (2,4) можно представить в виде Г з, Э ( зц Е )1= зззезкв (2.6) где г!> =. (зр' — —, зрз ) з гпз 0 — ~р з 1п 0 соз 9. з Из уравнения (2.6) можно вывести следующий интеграл: з)заз1цз0 — а1гг0( .
) + 2Ф+ 2 оба 0 Ф' =- Р, / 1!1 '1 МеО где зг1 — постоянная интегрирования. (2.з) (2.8) ') Этк реязекяя кззежевы подробно з кинге: 11 о ч к к Н. Е., К к б е л ь И. А. и Р о а е Н. В., Теоретическая гкдремехакика, ч. 11. М., цзкзматгкз, 19ЕЭ. е ы рвшкпия угавнвппи движпппя вязкои жидкости (рз Функция ф (О) определяет собой распределение составляющих скоростей, перпепдикулнрных к плоскости меридиана. Нетрудно видеть, что при ~> = О или при ф еш 0 . = соне(, система уравнений (2А) дает для определения функций ( и <р одни и те же соотношения.
Условие ф -= с(пш О дает гх =- сч(г зш 0; поле скоростей для пх соответствует прямолинейному вихрю, совпадающему с осью симметрии. Следовательно, уравнения движения будут удовлетворены, если к любому полю скоростей рассматриваемого типа мы добавим поле скоростей от прямолинейного вихря. Если мы примем, что ф зш 0 =. сопя(, (2.0) то уравнение (2.6) можно проиптегриронать три раза, после чего решение задачи сведется к интегрированию уравнения Риккати: 1 (<р' — —. 9'-'~ з(пе 0 — <р гбп О соя О =: .У соз 20 .,'- Х соз 0+ Л, (2.10) 2 где (т, Л', Л вЂ” произвольные постоянные интегрирования ').
Если положить М = Л" =-: Л =- О, то уравнение (2.10) легко интегрируется и дает 2. гов ер =- ', откуда 1 =- — 2 + ',, (2А1) где А — отвлеченная постоянная интегрирования. Решение (2. ! !) было изучено Ландау '). Нетрудно проверить, что для этого решения при ! А ~ ) 1 расхлад жидкости через поверхность, охватывающую начало координат, равен нулю, а при ~ А ! ' 1 — оескопечности. Для потока проокции количества движения па ось симметрии сквозь любую сферу с центром в начале координат верна следующая формула: Х =- рот~О(Ае — 1))п —,, +ЯА —.) ',' —, ' 1', ~. (2,12) Л вЂ” 1 32,4 8Л (ЗЛа — )) 3 Следовательно, величина импульса Х пе зависит от радиуса сферы н дает механическую характеристику особой точки в начале координат.
Для этого течения уравнения линий тока имеют внд Л+сеаЕ ха( 9 а) Урааяенне (2.10) иным путем получено Н. А. Слезкиным (сн. С .т е эк н н Н. А., Об одном случае пнтегрнруепостп полных даффереацнальнь х ураенешп1 даиткенпа аяакей жидкости. Ученые записки МГУ, еып. 2, 1934, стр. 89 — 90). ') 31 а н д а у,)!. Д, и Л н ф ю и ц Е.
Ы., Ыехапнка сплопшых сред. М., Гостехнадат, 1953, стр. 108. 120 пннложкния к ткогин движхния вязкой жидкости [гл. гп Соответствующее движение можно рассматривать как двн>геение вязкой жидкости, заполняющей все пространство, вызванное оесконечно тонкой струей в начале координат, бьющей из конца бесконечно тонкой трубки в направлении оси х с конечным импульсом. Можно непосредственно указать ряд решений уравнения Рнккатн (2АО), соответствующих частным значениям постоянных ЛХ, Лг и Л.
Например, при 4+У-7 гг =- 1, Лг = 0 и ЛХ вЂ”.—. ",, имеем решение гр == — (с1й О+ В+В„ 2 где О, — произвольная постоянная. В случае Лг --- О, 9 ЛГ= — — та и Л= —; — (т=', 1)а 4 имеем решение 2 а)паш В ср =- (2т — 1) с~,я О— ~а)наи'ВЛВ ' В общем случае уравнение Риккатн (2.10) можно разрешить с помощью гипергеометрических фуннций '). С помощью подстановок Ч= , , <В) , В р = соз —, н )В) уравнение (2.10) приводится к виду ,11+ й — Х +1% — 4лг) Р -)- 4ртйг Рнс. 20, Линни тока для источника нулевой ложности н конечного импульса в вяакой жидкости.
') См. Я ц е е в В. И.. Об одном классе точных решений уравнений двиекення вязкой жидкости. ЖЭТФ, т. 20, вып. 11, 1950, стр. 1031. Для А л 1 форма линий тока указана на рис. 20. При удалении в бесконечность линии тона будут приобретать параболический характер. При движении вдоль линии тона радиус-вектор г достигает минимального значения при некотором значении О =- О*, определяемом соотношением соз О* =.: — А + ~'Аа — 1. а г) гкшиния кглвнвнии двпжкяпя вязкой жглдкости Это уравнение легко интегрируется с помощью гипергеометрпческих функций; его общий интеграл можно написать в виде') 6)т,' .
61'-а-. г,,; 0) 3'(0) =- (соз —,) ! з)п — ) ' р11[и, [3, у,сочз —,) + ,, Ег- . Ет + [) [соат —, ) [г [и '; 1 — у, [3+1 — у, 2 — у, созе —,Д, (2,14) 2 ) где постоянные сс, [3, у связаны с М, )г' и 1[ формулами М =- 1 — (а — рр Аг = 1 — (и -)- [3)' + 2у(а + [3 — 1), Л =- 3 [ ! — [а -)- 5)з) 4 — ир — 2уз 2у(и --',. [3 —,'- 1).
Вместо М, [)г, гг в качестве произвольных постоянных ыоягпо взять параметры сс, [), у. Полученное решение для !р зависит от четв!рек произвольных постоянных, от трех параметров а, 6, у и от отношения Р,'!',). При М вЂ” - Х =. В - — О уравнение (2.13) вырождается в уравиепне у" (р) —.—. О, которое имеет только одну регулярную особую точку при )г = оо. Соответствующее решение было рассмотрено вы!пе. Если Х = — 4М =- — 4,'3 К то в уравнении (2ИЗ) множитель (р — 1)' в знаменателе сокращается и остаются только две особые регулярпые точки р — = О и )г =- оо.
Уравнение (2.1В) в этом случае переходит в уравнение эйлера з'ги р' — "! + Му =- О, Л)гз которое легко интегрируется '). ') Коли ! — полое число, то решение также можно написать в несколько ином виде. Для этого можно использовать представление решений гипергсомстрпческого урзвнеияя в форме, цринеденной в книге Л. И. Седова (С ел о в Л. И., Плоские задачи гидродииампки и аэродинамики. М., «Наукам ! 066), т) Аналогичпо рассьютренпым движениям вяакой жидкости меридианальные течения несжимаемой проводящей жидкости также имеют класс автомож львых движений, которые определяются однон размерной постоянной [А [ = 1зТий! прн р-)-2з+3=0; см.
Гродзовский Г. Л., Дюкал ов А. Н., Токарев В. В. и Толстых А. И., Осесимыетричиое мгридиоиальное течение проводнщей жидкости. Выраининанне параметров :шкрученного потока вязкой жидкости. Изв. АН СССР, ОТН, йй 1, !9сто, з тр. 41 — 46. 122 ПРИЛОжнНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ )КИДКОСТП [Гл. [[! дн 3. Пограничный сюй при обтекании вязкой жидкостью плоской пластинки Рассмотрим обтекание плоской бесконечно тонкой пластинки несжимаемой вязкой жидкостью. Пусть вдали перед пластинкой жидкость движется поступательно с постоянной скоростью Пластинка имеет бесконечную длину и расположена вдоль по потоку параллельно скорости 1[о. Задача плоская; движение установившееся; жидкость занимает всю плоскость вне пластинки.
Эта задача о движении вязкой жидкости является самой простой, но несмотря на зто, она пе поддается точному решению с помощью уравнений Папье — Стокса ввиду больших математических трудностей. Мы разберем зту задачу с помощью уравнений Прандтля, которые получаются из общих уравнений движений вязкой жидкости с помощью некоторых приближений '). Уравнения пограничного слоя Прапдтля в рассматриваемом случае имеют вид дв, дв дв ) ох оу оуя ди дя — + —,=О, дх дд (3.1) где и и о суть проекции скорости частиц жидкости на оси координат, а т — козффициент кинематической вязкости. Ось х направлена по пластинке вдоль потока, ось у — перпендикулярно к пластинке.
Кроме уравнений (3.1), для определения и (х, у) и н (х, у) имеем еще граничные условия прп Я~О, у=-О и=и=--О; при у =- --';- оо и = Ге. Определя!ощими параметрами будут ~'е~ т х~ у. Ввиду того, что пластинка плоская и бесконечно длинная, характерного лшгейного размера указать нельзя. Нз общих соображений теории размерности следует, что все безразмерные величины являются функциями двух безразмерных комбинаций ') Р г а и д ! ! 1., 1)еЬег Р!йяя!9 еияЬеке8ппя Ье! яеЬг К1е!пег Ве[йпня Чегйапд1. 1П !п!егп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
