Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ыа!Ь. Копят. 1п Не[де!Ьегя (1904). !.е!ря19, 1905, 8. 484 — 491 (Сея. АЬЬапй!., Вй. 2, 1951, 8. 575 — 584 (русскнй перевод: Двнженне жидкости с очень малым трением. В книге: В р а н л т л ь Л., Теория несущего крыла, ч. 1. М., ЦА!'!1, 1931, стр. 5 — 11); см. также: С е д о в Л. В., Механика сплошной среды, т. 2, няп. 3-е.
У!., «Наука», 1976. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ 123 % 3) Поэтому для рассматриваемой задачи справедливы формулы вида и = 17е7 (3.3) -~/ хи (3.4) Покажем теперь, что вследствие особеяностей уравнений (3.1) первый параметр у,'х в формулах (3.3) и (3.4) несуществен. Для этого сделаем преобразование переменных: / т) л=)с, у= 1à — т), п=-К,ип п=-1 — "пп (3.5) где 1 есть некоторая постоянная, бблыпая пуля. Если мы припишем постоянной 1 размерность длины, то величины с, т), ит, и, можно рассматривать как безразмерные, После замены переменных по формулам (3.3) уравнения (3.1) примут вид ~)и1 Ли» ЗПЧ д», Лг, — + — = О. пч Грапичные условия (3.2) в новых переменных примут вид пры $ О, т)=-Опт=от=О; (3.7) при т)= — , 'со и,=1. Уравпения (3.6) и граничные условия (3.7) моя<по рассматривать как формулировку задачи о пограничном слое в безразмерном виде.
Решение этой задачи не может зависеть от величины г7»1)т =- к, которая никак пе фигурирует в уравнении (3,6) и граничных условиях (3.7) '). С другой стороны, общие формулы (З.З) и (3.4) показывают, что х (3.8) (3.9) ') Это обстоятельство есть свокство уравнещш 1!рандтля (3.1). Если применить преобразование (3.5) к уравнениям Навье — Стокса, то в результате получим безрааьюрные ураннения, содержащие параметр Н, вследствие чего я»льнейп7пе выводы теряют свою справедливость в применении к уравнениям ))авье — Стокса. 124 ПРИЛожЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТП !Гл. К1 Так как решение не должно зависеть от к, то отсюда следует, что первый аргументу!хне может входить в правую часть формул (3.8) и (3.9).
Таким образом, мы доказали, что решение поставленной задачи должно иметь вид ') (3.10) и:= Г70У (3.11) Введем теперь новое переменное я/ е и положим 7 (й) =-:- ф' (Х). Подставляя и и и в уравнение неразрывности, выразим функцию Ф (й) через ср (Х): Ф'(Х) = —,лот" (Х) = —,, (Хр' — ср)'. 1 . „1 Пользуясь зтим равенством, формулы (3.10) и (3.11) можно написать в виде (ЗЛО') с' о яр ().) ,', (),~р (Ь) — ср(Ь)). (3.11') Подставляя полученные выражения для и и Р в первое из уравнений (3.1), для функции ср (й) подучим обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка: 2ср"' + срср" ==- О, (3.12) Из граничных условий задачи (3.2) для искомой функции ср (Х), удовлетворяющей уравнению (3,12), получаются следуюп!ие граничные условия: ср' (0) = ср (0) =- 0 и ~р (со) = 1.
(3 13) Решение нелинейного дифференциального уравнения (3.12) при граничных условиях (3.13) может быть получено приближенно '). т) доказательство справедливости формулы (ЗЛО) проведено инымспособомв книге: Л о й П я н с к и й Л. Г., Аеродинамика пограничного слоя. Л. — М., Гостехиадат, 1941, стр. 76. ') В ! а я ! и я Н., ОшпяясЬ!СЬ!еп ш у!йяя!ййе!!еп ши К1е!пег Ве!Ьппй. 2. ))!а!!с ппб. РЬуя., Вб. 56, Н1, 1, 1908, 8. 1 — 37; ТОР1ет К., ВешетЬппй тп йеш Ап1яа!я топ В1аа!пя обгепясЬ!сЬтеп !п Г!в)яя!Яйе!реп шН К1е!пег Ве!Ьвпй». Х.
Ма!Ь. ппб. РЬуя., Вб. 60, 1912, 8, 397 — 398. пОГРАничный слои нА плАстннке л 3! 125 В приближенном способе решения, данном Тепфером, используется общее свойство решений уравнения (3.12), которое заключается в следующем. Если ~р, (Х) есть некоторое решение уравнения (3.12), то функция ср (х) = акр, (аА), где а — любая постоянная, есть также решение уравнения (3.12). Непосредственной проверкой легко убедиться в справедливости этого свойства. В качестве исходного решения д,(А) возымел~ решение уравнения (3.12), удовлетворяющее граничным условиям (рз (0): гра (0):. 0 и сра (О): — 1 Функцию ср, ()) можно построить обычными приближенными методал1и. В результате приближенного решения можно вычислить предел 11ш ~рз (Х) = А'.
л —,'-~ Численные вычисления дают Ь вЂ” --. 2,0854. Ре1пение уравнения (3.12), представляемое формулой ~Р (А) = а' СР, (Я" А), удовлетворяет граничным условиям ср(0) --. ср' (0) = 0 и ср" (0) .—.:: Сс, причем !Пп ~р' (л) = Ь я'л. л Отсюда ясно, что для получения искомого решения достаточно положитга а = — „, =- 0,332. 1 а ' Определив сс = д" (0), с помощью формулы (3.10') леко найдем сопротивление трения, испытываемое пластинкой.
На пластинке для напряжения трения т имеем: / из Е!о Пользуясь этим, вычислим сопротивление И' участка пластинки шириной Ь и длиной й И' = Ь ~ т Ых = 0,664 Ь УррлЮ",. (3.13) б 128 пгилОженнЯ к теОРни ДпижениЯ ВЯзкОЙ жиДБОсти 1гл. ||| Напряжение трения т и сопротивление Н' оказались пропорциональными полуторной степени скорости обтекания. Из соотношения (3.15) для коэффициента трения сг получается следующая формула: 211' 1,3о8 гг = 95 К', У'Е где Данные экспериментов ') с плоскими гладкими пластинками хорошо согласуются с найденным законом распределопия скорости и сонротивдения нри ламинарном режиме обтекания, характеризующемся небольшими значениями числа Рейнольдса: й =- — '(3 10а.
При больших значениях числа Рейнольдса рассмотренное выше ламинарное установившееся движение неустойчиво. Возникает турбулентное движение, изменяющее существенньп| образом законы сопротивления и распределения скоростей вблизи пластинки. 9 4. Изотронные турбулентные движения неся|ннаемой нгидкости 1. Осреднение турбулентных движений. Многч|е движения жидкости, наблюдающиеся в природе, и большинство движений, с которыми мы имеем дело в технике, характеризуются наличием беспорядочного неустановившегося движения жидкости, налагающегося на основное движение жидкости, которое можно представить себе как некоторое статистически среднее движение.
Движения жидкости такого рода называются турбулентными. При турбулентном движении жидкости скорость, давление и другие величины в каждой точке потока претерпевают нерегулярные пульсирующие изменения около некоторых средних значений. Поэтому для исследования турбулентных потоков возможно целесообразно использовать понятия теории вероятности; в этом случае мгновенные значения механических характеристик рассматриваются как случайные величины, а средние значения онределяютсн как математические ожидания '). Чаще, однако, ') Н а и а е и М., В|е СеасЫг1пд18ке11агег1е1!пп3 гп дег Сгепгасп|сЫ ап е1пег епззе|апсЫеп Р!а||с. 2АММ, Вб.
8, Н| 3, 1928, 8. 185- -199, Гаце, АКС, В А- М, йй 1580, 1934. ') См., например, 31 н л л н о н щ н к о н М. д., Вырожденно однородной пзотропной турбулентности н вязкой несжимаемой н|ядкостн. ДАН СССР, т. 22, Л1 5, 1939. ! з! нзотгопные ттввулкнтныи движгнпн 127 средние значения определяются как обычные средние по времени. Промежутки времени, за которые производится осреднение, должны быть достаточно болыпими по сравнению со временем отдельных пульсаций и должны быть малыми по сравнению со временем заметного изменения средних величии, если осреднепное движение нестационарпо '). Средние значения давлений, проекций скорости, произведений проекций пульсаций скорости, взятых в одной н той же точке и !и в различных соседних точках (так пазываомые моменты связи для скорости), и т.
п. зависят в сильной с~смени от наличия турбулентного перемешивания, которое способствует выравниванию и сглаживанию изменения средних величин в зависимости от координат точек пространства. Опыт показывает, что ламнпарные установившиеся движения жидкости при болыпих значениях числа Рейнольдса, т. е. при оольших скоростях и болыпих масштабах, становятся неустойчивыми и переходят в неустаповнвшиося турбулентные движения, которые в среднем в ряде случаев могут бьыь установившимися движениями. В современной гидромехапнко и аэродинамике осповньсе и насущные проблемы движения жидкости в ограниченных пространствах и сопротивления прп движении тел в жидкости тесно связаны с исследованием турбулентных потоков.
Все теоретические исследования движения вязкой жидкости исходят из предпосылки о справедливости уравнений Навье— Стокса для истинного неустаповившегося пульсирусощего движения. Однако ввиду крайней запутанности, извилистости и сложности траекторий частиц жидкости при турбулентном движении и, по-видимому, вообще всех основных функциональных связей получение решения уравнений Навье — Стокса для таких движений представляет собой крайне громоздкую и слонсную задачу, которую можно сравнить с задачей об описании движения отдельных молекул болыпого обьема газа.
Позтому подобно тому, как поступают в кинетической теории газов, в гидромехапике основные задачи о турбулентных движениях жидкости ставятся как задачи о разыскании функциональных соотношений меясду средними величинами. Уравнения движения для средних величин можно получить путем осреднения уравнений движения для величин, описывающих мгновенное состояние движения.
Ввиду нелинейности уравнений движения после осреднения мы получаем большее число неизвестных, чем число уравнений, так как средние значения нелинейных членов, например произведения двух или нескольких '! Об осрелненнп см. К о ч н н Н. И., К и б е л ь И. А. н Р о з е И. И., Теоретическая гпаромеханнка, ч. 1!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
