Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Труды ЦАГИ, вып. 513, 1940. 93 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ (Гл. оГ Эти формулы определяют зависимость Ро,аа и 1 от массы. Постоянные с, и с, зависят от формы конуса. Интересно отметить, что в формулах (11.13) и (11.14) закон влияния массы не зависит от формы конуса. Форма конуса влияет только на значения постоянных с, ис,. Однако общий вывод о том, что максимальная сила пропорциональна ирз для тел любой формы, вообще говоря, был бы несправедлив, В самом деле, рассмотрим падение на воду длинного плоского клина с небольшим углом килеватости.
Пусть плоскость симметрии клина вертикальна, скорость падения велика. Пренебрегая свойством весомости воды и клина, получим следующую систему определяющих параметров: оо 1,Є— = тмЛ,Р, где Л есть длина клина по килю, т, — масса клина, приходящаяся на единицу длины. Коли Л очень велико, то мы можем рассматривать предельный случай Ь = оо. В предельном случае плоского бесконечно длинного клина, когда смоченная поверхность пе достигает краев клина, линейный размер исключается, благодаря чему явление определяется только четырьмя размернымн величинами Ро лоо Р Все безразмерные характеристики определяются одной безразмерной величиной ~о*о 1 ' ол Максимальные и средние значения безразмерных механических характеристик будут безразлоерныоои постоянными.
Таким Образом, в атом случае для максимальной силы удара справедлива формула о1аа А — со о' Р'~~по1 или Ршах = ОО) РЛОХ Ро / о Следовательно, для весьма вытянутых тел максимальная сила пропорциональна корню квадратному из массы тела. Постоянная сз зависит от килеватости, ее мононо расслоатривать как функцию от угла килеватости Р. Нетрудно видеть, что со увеличивается с уменыпением угла килеватости. Для малых углов килеватостн можно положить со = со/Р, где с, при малых б можно считать не зависящей от угла а Ги пОГРужение В жидкость кОнусА и БлпнА килеватости.
В общем случае конечного клина для еа можно дать формулу 1( хз Р) еа = Результаты эксперимента удобно обрабатывать, определяя функцию 1(т!рЬа, р), так как при малых р и для сильно вытянутых клиньев нли малых т эта функция будет изменяться слабо в зависимости от своих аргументов. 12. Погружение в жидкость конуса и клина е постоянной скоростью Рассмотрим задачу о неустаповившеыся движении несжимаемой жидкости, вызываемом погружением в н~идкость твердого тела, имеющего форму конуса или клина. Форма конуса в случае пространственной задачи н форма плоского клипа бесконечного размаха в случае плоской задачи интересны тем, что их поверхность фиксируется полностью одним требованием о геометрическом подобии.
Совокупность геометрически подобных конусов сводится к одному-единственному конусу. Поверхность конуса и поверхность плоского клина определяются полностью безразмерными геометрическими величинами, Примем, что жидкость запинает все нижнее полупространство, ограниченное горизонтальной плоскостьео. и что свойствами весомости и вязкости жидкости можно пренебречь. Вледовательпо, будем считать, что жидкость несжимаема, невесома и идеальна. Пусть | .= О есть начальный момент времени, в который происходит касание телом покоящейся жидкости.
Тело, погружающееся и жидкость, совершает поступательное движение со скоростью п, постоянной по величине н по направлению. Предположим, что на свободной поверхности давление р имеет постоянное значение рю Из несжимаемости нсидкости следует, что значение р, на свободной поверхности не может повлиять на возмущенное движение жидкости. Вместо давления р мы можем рассмотреть разность р — р,; в этом случае параметр р, несуществен. 11оотому механические свойства жидкости определяются единстщ пнып параметром — плотностью р.
Из сказанного следует, что все механические характеристики движения жидкости в каждой точке определяются величинами ') р,Г,п,се, б,х,у,г, О Длп простоты прпнпчаен, что отноюеппе плотности среды над жилпогтыо к плотностп жпакостп фпкспэопано. [ОО ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ' [Гл, 11 где и и б суть углы, определяющие направление скорости с относительно тела, а х, у, з — координаты рассматриваемой точки либо в неподвижной системе координат, начало которой совпадает с точкой касания острия конуса с уровнем жидкости, либо в подвижной системе координат, которая скреплена с телом и начало которой совпадает с острием конуса.
Очевядно, что все безразмерные величины, которые можно связать с рассматриваемым явлением, определяются параметрами ч 1'11' С' [Р =- Р1[~ (— (12.1) Для скорости частицы жидкости в имеет место формула вида (12. 2) Величины суммарной силы реакции Р воды и смоченной площади Я представляются формулами Р .= с1рс1[1, Я = слсл[1 (12.3) причем коэффициенты с1, с, и направление силы Р зависят только от формы конуса и от направления скорости движения конуса. Нервая из формул (12.3) показывает, что сила реакции воды пропорциональна плотности жидкости, четвертой степени скорости ПРИЧЕМ ПаРаМЕтРЫ ХОП1, У!С[, 11С[ МОГУТ ВЛИЯТЬ ТОЛЬКО На ВЕЛИЧИНЫ, зависящие от положения рассматриваемой точки внутри жидкости.
Суммарные безразмерные параметры (например, общая сила реакц[щ н[идкости и т. П.) или параметры, независимые от положения точки в пространстве, зависят только от углов п, Если направление скорости фиксировано (например, скорость вертикальна), то все безразмерные суммарные характеристки мы можем рассматривать как абсолютные постоянные, зависящие только от формы конуса. Обозначим через [р (х, у, з, [) потенциал скоростей возмущенного движения жидкости для случая, когда скорость конуса задана по величине и по направлению.
Ввиду того, что движение жидкости неустановившееся, задача об опреде.[елин возмущенного движения жидкости сводится к определению потенциала скоростей как функции четырех независимых переменных х, у, з, П На основании теории размерности легко свести четыре независимые переменные к трем. В самом деле, величина [рйпл[ безразмерная, поэтому справедлива формула следующего вида: ! !х! Волны па поввгхности нвсжггмакмой )кидкости 1щ и квадрату времена. Смоченная площадь пропорциональна квад!шту скорости и квадрату времени.
Очевидно, что два различных <остояния одного и того же движения динамически подобны. В случае двухмерной задачи о погружении плоского клина (плоскость движения есть плоскость ху) для потенциала скоростей и для распределения скоростей справедливы формулы (а уЛ (х в~ Для силы на единицу длины клина н для смоченной длины по щеке клина имеют хлесте формулы Р, = с,ргл1, ! = с,пй (12.4) Из формул (12.3) н (12.4) видно, что прн погружении тела в воду и постоянной скоростью зависимость величины силы реакции воды от скорости движения оказывается разной для тел различной формы. Постоянные с, и с, зависят от угла кнлеватости клина, от углов наклона плоскости симметрии клипа и скорости клина относительно невозмущепного уровня свободной поверхности.
Для плоской задачи имеются приближенные теоретические решения для вертикального потру!кения и для погружения пластинки, мало наклоненной к уровню жидкости, когда горизонтальная составляющая скорости пластинки велика "). 13. )г1алые волны на поверхности несжимаемой жидкости Рассматривая задачу Коши — Пуассона о волнах на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости, Н. Е. Кочин ') применил соображения теории размерности и придал решению этой классической задачи новую изящную математическую форму. Развивая соображения теории размерности, а!оп!но найти а) и явном и простом виде целый класс новых решений задач о волнах.
В полученном классе решений решение Н. Е. Кочина являетгя частным случаем. Этот метод и найденные решения можно распространить и обобщить на случай пространственной задачи. ') См, лт' а 9 п е г Н., СЬег 8лоаа- пвб О!емтогвепуе ап бег ОЬегййсЬе топ !г!5аа!8йе!Леп.
ХАМИ, Вд. 12, Нл 4, 1932, Б. 193 — 215; С е д о в Л. И., '!Корпя вестациоиариого глиссироваиия я движения крыла со сбегаюплими а и т рямп. Труды ЦАГИ, эй 252, 1936. а! К о ч и и Н. Е., К теории волн Коши — Пуассона. Труды МИАН ССС!', т. 9, 1935. е! С е д о в Л. И., К теории малых волн ва поверхности иесжимаелюй ишлшн:ти.
Вестник Московского уяиверсятета, Уй 11, 1948, стр. 71 — 77 роз пОдОБие, мОделиРОВАние и пРимеРы пРилоя1ении ргл. 11 Далее мы будем рассматривать такие движения, когда движение яардкости затухает при погружении в глубь жидкости„т. е. (дга1( 1р) — э 0 при у — о- — оа. (13.2) В лннеаризованной форме условие постоянства давления па свободной поверхности моноет быть представлено так: д~~р д~р — +у д .=.0 при у=-0 и1)0, (13.3) где д — ускорение силы тяжести.
Для определения потенциала скоростей р (х, у, 1), кроме условий (13,1), (13.2) и (13.3), необходимо выставлять некоторые дополнительные требования. В качестве таких дополнительных условий можно взять, например, начальные условия: при 1.=- 0 задаются форма свободной ловерхности и распределение импульсивных давлений. При формулировке начальных условий в липеаризовапной теории можно исходить из соотношений д1р Р1 — — — н — =- — р, !о=-о Р (13.4) где ~ (х, 1) — возвышение точен свободной поверхности над невозмущенным уровнео1, р1 — импульсивное давление„а о — плотность жидкости. Начальные условия можно сформулировать в следующем виде: лри 1 =.— 0 имеем — — — =1(з) 'р~ =- =)'(х) ар (13.5) Ь до и=о Коли функции р и г одновременно отличны от нуля или от бесконечности.
причем если ) ~ йх, то очевидно, что эти функции, помимо перел1енной х, должны зависеть еще от некоторых размерных постоянных. Так как задача формулируется в кинематических величинах, то очевидно, что может быть не более двух размерных постоянных с независимыми размерностями, входящих в функции ри Г. Плоскую задачу о потенциальных волнах бесконечно малой амплитуды на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости, занимающей все нижнее полупространство, можно сформулировать в следующем виде. Возьмем декартову систему координат; ось х совместюн с невозмущенным уровнем жидкости, ось у направим вертикально вверх. Потенциал скоростей 1р (х, у, 1) при у ( 0 является регулярной гармонической функцией, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
