Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пространственные автомодельные движения сплошных сред ??остановки задач о движении несжимаемой жидкости в зч 12 к 13, приводившие к уменьшению числа независимых переменных, можно расширить и распространить на более общие случаи. Движения сплошной среды, в которых все безразмерные харак- и рнстики зависят только от комбинаций Х Ь11 ' ЫЗ ' Ь11 где х, у, г — декартовы координаты, 1 — время, а Ь вЂ” постоянная НО пОДОБие, моделиРОВАние и ИРимеРы ПРиложений [Гь, ы с размерностью ВТ ', мы будем называть автомодельными с центром подобия в начале координат. Легко указать общую характеристику задач, для которых имеет место автомодельность.
Очевидно, что для автомодельности достаточно, чтобы система размерных определяющих параметров, задаваемая дополнительными условиями н, в частности„краевымн или начальными условиями, содержала бы пе более двух постоянных с независимыми размерностями, отличными от длины и времени. Иначе говоря, система определяющих величин должна представляться таблицей следующего вида: а, Ь,я,у,е,1,а„и„..., где а„я, — отвлеченные комбинации из размерных постоянных; число их может быть любым, а для постоянных а и Ь верны следующие формулы размерности: [а! =- М[РТ', [Ь! = 1.Т з, причем 6 ~ О, а й и г могут быть произвольными.
Не ограничивая общности, постоянную а всегда можно заменить постоянной А =- аЬ"' с размерностью [А! —. М[,и-з где ю может быть произвольно. Для автомодельности движения сплошной среды, вообще говоря, необходимо, чтобы в постановке задачи не содержалось характерных линейных и временных величин (клин, конус и т. п.). Укажем на некоторые примеры автоыодельных движений. 1.
Задача о раздвигании вначале покоящейся бесконечной массы несжимаемой жидкости внутренней полостью, которая расширяется из точки с сохранением геометрического подобия своей формы. Пусть заданные радиальные скорости внутренней границы— полости определены формулой вида . (г, О, ф) = М(0, Ф) !'-, где О и ф — полярные координаты и Ь вЂ” постоянная: [Ь! = ВТ-', при б ) 0 внутренняя поверхность расширяется непрерывно и подобно из нулевой точки. Возмущенное двнжепие несжимаемой жидкости потенциально и определяется системой параметров р,Ь,Р,О,ф,йг(О,ф), где р — плотность, г — полярный радиус; начальное давление и давление в бесконечности ра несущественны, так как мо;кно рассматривать только разности р — рю '112 ПОДОВИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ [Гз.
П имеет вид Р, Е, г, 0, 1~, а, 010 0„— угол, задающий наклон силы Р. Вследствие линейности задачи все напряжения и деформации зависят линейно от Р, поэтому зависимость от Р заранее известна; зависимость всех величин от Е и г можно найти сразу из соображений размерности. Получаются только две независимые переменные 0 и 1Р. В случае осевой симметрии (сила Р перпендикулярна к граничной плоскости) выпадет ф и позтому полное решение задачи легко получить с помощью интегрирования одного обыкновенного дифференциального уравнения. В некоторых случаях, очевидных в каждом конкретном примере, предыдущие соображения могут быть распространены на задачи о неустановившихся движениях сжимаемых сред с различными свойствами.
ГЛАВА !!! ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И К ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ й 1. Диффузия вихрей в вязкой жидкости Соображения теории размерности могут оказать большую помощь при математическом решении некоторых физических задач. В этом и следующих параграфах мы приведем примеры такого приложения теории размерности. Рассмотрим задачу о диффузии вихрей в вязкой несжимаемой жидкости в предполоткении, что движение жидкости плоскопараллельное и жидкость занимает всю плоскость '). Рассматриваемое движение неустановившееся. Пусть в начальный момент времени Г =- О ткидкость дви!кется потенциально везде, за исключением полюса О, представляющего собой след на плоскости движения бесконечного прямолинейного концентрированного вихря с циркуляцией Г.
Примем, что движение обладает осевой симметрией. Обозначим через П угловую скорость частиц жидкости. Как известно, циркуляция по кругу радиуса Я с центром в О равна из Гя .= 2 ~ ~ (зг!1г!1О.—.— 4л') гП(г) с!г (1.1) з е а В начальный момент времени для любого, в частности и для сколь угодно малого, круга имеем Г =Г. (1. 2) Уравнение распространения вихрей в рассматриваемом случае имеет вид (1.3) т) Вм.Кочин Н.В.,Кибель И.А.ирозе Н.ВмТеоретпческая гидромеханика, ч. 1!. Ме Физматгиз, 1963. В атой книге содержатся подробное описание и решение атой задачи с использованием соображений о размер- настях. ~14 НРиложения к теоРии ДВинеения ВЯзкОЙ жиДЯОсти [га.
мг где т есть коэффициент кпнематнческой вязкости (т =- р!р). Задача заключается в определении величины й как функции от радиуса г и времени й Из постановки задачи следует, что й=((Г,т,г,1). Из линейности уравнения (1.3) и начального условия следуот, что й пропорционально Г, т. е. й=Г(,(т,г,г).
(1. 4) Безразмерная комбинация йчйТ должна выразиться как функция от единственной независимой безразмерной величины г')М = $, которую можно составить иа размерных параметров т, г, й Сле- довательно, й = ф(х), Г (1.5) Из формулы (1.5) очевидно, что уравнение в частных производных (1.3) для функции й с двумя пезависимымн переменными г и г приводится к обыкновенному дифференциалыюму уравнению с одной неизвестной переменной Подставляя выражение для й из (1.5) в уравнение (1.3), имеем: ф (е) + Цф' (з) + 4 (ф' Я) — , 'Еф" ($)) = О. Интегрируя, получаем: зф ' 4$ф' = С.
Постоянная С равняется нулю для решения, в котором ф (О) и ф' (О) конечны. Интегрируя уравнение 4 — „+ф=-0, еф иб найдем: ф=Ае Для величины вихря й это дает й = — Ае е Постоянную А определяем из начального условия.
1(нркуляцня по кругу радиуса Л равняется в яГв =-- 4я — ), ге "' е(г = 8ЛАГ(1 — е ы' ). АГ ' с о 1 21 Решения уРАВненин дВижения ВязкОЙ жидкости 115 При 1 = О для любого Л ) О имеем: Гл = ЗЯАГ. Начальное условие ГВ = Г дает 1 А=— 8л ' ГВ = 2лго. Воспользовавшись формулой (1.6), найдем закон распределения скорости по радиусу г и по времени 1: Г о = —,(1 — е "'). Влг При г = О получается закон распределения скоростей, соответствующий точечному вихрю в идеальной жидкости. При г) О и 1 = О движение жидкости потенциально н вихри отсутствуют: при г) О и 1) О движение жидкости вихревое в кан1дой точке жидкости. Формула (1.7) дает закон распространения — диффузии — вихрей. Эта формула показынает, что величина вихря в каждой точке возрастает с течением времени от нуля до максимума, равного Г,'2лг'е, и затем опять стремится к нулю.
Так как уравнение (1.3) линейное, то, исходя изполучепного решения о распространении точечного вихря, могкно построить методом суперпозиции решение задачи о симметричном движении при любом начальном распределении скоростей. й 2. Точные решения уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости рассмотрим установившееся движение вязкой несжимаемой ;кндкости, заполняющей все пространство. Уравнение Навье — Стокса и уравнение неразрывности можно написать в следующей форме: зг7о =- — етая ~ — — ((~ -1- РЛо, ( Р йчо = О.
(2.1) Окончательное решение задачи представляется формулой ! (з — е 41 (1.7) 8лт1 Обозначим через В (г, () скорость частиц жидкости. Движение жидкости обладает осевой симметрией, причем скорость частиц я;идкости направлена перпендикулярно к радиусу-вектору, проведенному в рассматриваемую точку из полюса О. Учитывая направление вектора скорости, получаем следующую связь мегкду Га и з: 1ИВ ПВИЛОжнппя К тВОГИИ дзнжспня ВяЗКОй жИдКОСтИ [Гз. ГП В дальнейшем воспользуемся сферической системой координат. Независимыми переменными и определяющими величинами будут г,б,л,т, где г — расстояние рассматриваемой точки до полюса, 0 — полярный угол, Х вЂ” долгота и т — коэффициент кинематической вязкости. Искомыми величинами будут проекции скорости п„, и„, гг и дина.
мическое давление, отнесенное к плотности, равное р)р — У. Изучим решения уравнений (2.1), которые вполне определяются параметрами г, О, ), т и еще только одной размерной постоянной А. Пусть формула размерности для А имеет вид (А! = 1."Т, где р и о — некоторые постоянные, Прн этом предположении очевидно, что все безразмерные комбинации из введенных величин будут функциями только трех отвлеченных параметров: г~'~з~т з О, )., я = Л Тогда искомые функции можно представить в виде и„= — ~ (я, )., О), оз = — ~р (я.
)., О), з р тз =. — Р (л, ), 0), и — — =- —., Г(., )., О). г а г'-' В такой форме мо'кно представить н рассматривать самое общее решение уравнений (2.1). Число независимых переменных сократится, если мы предположим, что р+ 2д — — О. Это условие означает, что размерность постоянной А представляет собой некоторую степень размерности коэффициента кинематпческой вязкости т. Помимо этого предположения, примем еще, что изучаемые движения обладают осевой симметрией, так что переменная ) несуществекна. Из сделанных предположений вытекает, что для искомых величин должны быть справедливы следующие формулы: и„= — ~(0), о, = — ~р(0), пь = — ф(0), 7У вЂ” Р = — „Р(0). г г (2 2) Эти формулы устанавливают зависимость поля скоростей и давлений от переменной г. В атом случае из уравнений (2.1) 4 "! Решения уРАВнении ДВижения ВязкОЙ жидкости 4 [7 для четырех функций 1, 4р, 41>, г' получается система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений )" + у'(с1ЯΠ— гр) ле уз -)- гре+ ф' — 2)г = О, гргр' — ~>з с1ЕΠ— 1' — г' =- О, ф" — гр4р' — гр4)4 сря 0 + 4р' г1Я 0 —, = О, ф ~ + ~р' + р с~ е 0 =- О.
После исключения функции г' и некоторых простых преобразований получим: )"'+ 2ф (4У ъе 4Р СЕЯ 0) + (~' С10 О)' — (4Р!)' + 211'+ 2У' = О, гр(4р'+ ф с!Я О) =. (4р'-1- фс1ЯО)', (2 4) 1 = — (<р' -' гр с1 я О). Общее решение этой системы уравнений зависит от шести произвольных постоянных. Перед изучением решений системы уравнений (2.4) отметим некоторые общие свойства рассматриваемых движений вязкой жидкости. Дифференциальные уравнения для проекций линий тока па плоскость меридиана можно написать в виде Ег г 440 гтг г ЕΠ— — илн О ) (01 р ~О) откуда 1 — = ~ —, г 1101ЕО Е(О~ где а — постоянная интегрирования. На основании последнего уравнения системы (2.4) получим: 1 (2. 5) а — ра О 11з общих соображений теории размерности, а также непосредственно из уравнения (2.5) следует, что различные линии тока подобны между собой. Обозначим через () объемный расход жидкости и через Х объемшей поток количества движения сквозь замкнуту4о поверхность О', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
