Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ь„= —, в' = Ь. 3 и 1 — а (4.7) Рассмотрим теперь условия симметрии третьего порядка. Формулы преобразования третьего порядка при переходе от одной к другой имеют вид и,',3= Х П„„)„,1„1„, а,а,у где 1, суть направляющие косинусы новой Возьмем преобразование для тензора связи компонент тензора системы координат (4.8) системы координат. Хз= Х3, Хз= Хз, х, = — х„ сводящееся только к изменению направления оси хг на прямо противоположное. В этом случае имеем 111= 1 133 = 133= 1 13ы = О(З=,Фт)1 поэтому, если индекс единица встречается среди индексов 1, Х, й нечетное число раз, то из формулы (4.8) следует и;; = — П„„. $ /,~ изотропн1ле туРБулентные движения 199 Пусть точка М, совпадает сначалом координат, а точка Мз лежит пв осн х . Из изотропности следует, что компоненты тензора связи тротьего порядка, образованные для проекций скоростей точек М1 и Мз, не зависЯт от напРавлениЯ осей хз и хз. Отсюда следует, что компоненты, содержащие индексы 2 или 3 почетное число раз, равны нулю, так как они не могут менять знаки при перемене направления осей х, или хз.
Таким образом, если точка Мз лежит на оси х„то тензор связи (составленный из двух проекций скорости точки М1 и одной проекции скорости точки М,) имеет следующие пять компонент, ве равных нулю: л т111 = Ьл,1, т1зз = тгзз = Ью, зл тзз1 — — тзз1 —— Ь„„. Помпоненты связи третьего порядка ') при употреблении любой системы координат можно выразить через Ьль Ьзв и Ь„„с помощью л в л формул (4.8). В общем случае вместо переменной хт необходимо взять расстояние между точками Мт и ЛХю которое в дальнейшем мы будем обозначать буквой г.
С увеличением расстояния между точками их скорости становятся все более статистически независимыми, поэтому рассмотренные вьппе компоненты тензоров связи скоростейдолжны стремиться к нулю кринеограниченном возрастании г. При г = О точки М, и Мз совпадают; в этом случае имеем л,, л Ьлл = Ьла =,Ь = О. Перемена ролей точек М, и М, равносильна изменению направления осей координат на прямо противоположное; отсюда следует, что тыз (М1, Мт, Мз) = тыз (Мг Мз М1)' (4.9) Оти соотношения в другом виде можно написать так: ла Ь = — Ь а Ло Ь „= — Ь„, (4ЛО) Ь„„= — Ьл . л а!! ') С помощью общей теории симметрии легко выписать соответствующие формулы для козшопевт теваоров моментов четвертого и высшего порядков в случае иаотропиой турбулентности, а также и в случаях других условий симметрии (например, при наличии осевой симметрии и т.
п.). См. работу Лохвпа В. В. и Седова Л. И., содержащуюся в приложении к курсу Седова Л. И. С е д о в Л. И., Механика сплошной среды, том 1. М., зНауказ, 1970, 1973, 979. ) !84 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ !Гл. ПП СЛЕдОВатЕЛЬНО, МОМЕНтн СВЯЗИ Ьдш Ьаа И Ь„'а яВЛяЮтоя НЕЧЕТНЫМИ а а 1 функциями от переменной х, или переменной г. Если проекции скоростей пульсации являются регулярными функциями координат, разлагающимися в ряды Тейлора, то оче- видно, что моменты связи также разлагаются в ряды Тейлора по г. Ряды Тейлора для моментов второго порядка Ьа аи Ь„"будут содержать только четныестепени г, а ряды дли моментов третьего порядка Ьлы Ьаа и Ь„а — только нечетные степени г.
л а Покажем, что ряд для Ьаа не содержит члена с первой степе- нью г, В самом деле, имеем Ь/м=и,(0,0,0)и,(г,0,0)=и,~ — '~ г+ — и,~ .,' ) га+." а 2 т / да, 1 т/ дти, ''( дг,),.а 6 '~ д. )г=е Первый член обращается в пуль, так как т( д1г, ) а иа (г) = 0 ввиду изотропности турбулентного движения. Итак, разложение в степенной ряд момента Ь"„а может начинаться с чле- нов порядка по крайней мере га. 4. Условия нссжимаемости и динамические соотношения.
С помощью операции осреднения из уравнения несжимаемости и уравнений Навье — Стокса можно установить соотношения меж- ду независимыми компонентами тензоров связи скоростей '). Из уравнения несжимаемости получаются следующие соотношения: Ьа=ь + — —, а а г 2 дг' (4.11) аа аа аа г дьа Ьа = — Ь 2 дг (4.12) Ьаа = — 2Ьа". (4 13) а а В экспериментах моменты связи Ьа и Ьа можно измерить непо- средственно и независимо друг от друга. Пользуясь эксперимен- тальными результатами Симмонса, полученными в аэродинамиче- ской трубе, Тейлор показал а), что опыты очень хорошо подтвер- ждают равенство (4.11) (рис.
21). т) К е11ег На Р г! е 6 п1 а ив А., 1)!1!егеп!!а)81е!ОЬпвлеп Рйг РИе !пгЬЗ1епге Веччеяппя е!Зег Ьошргеаа!Ье1еп Р)йеа!8Ье!т, 1п: Ргос. ! а! 1птегп. СОЗ8г. АР91. МесЬ. (!924), 1925, р. 395 — 405 (русский перевод: Диффереи- иальвые урапвеиия турбулевтпого деюкеиия сжимаемой жидкости, и книге: р и дм а и А. А., Иабраииые труды. М., вНаукаэ, !966, стр. 45 — 57); К а г ш а в ТЬ., Н о и а г ! Ь Ь., Оп !Ье Я!а1!Зг!са1 ТЬеогу о1 1еотгор1с ТагЬО1епсе. Ргос. Воу. Вос., 1овдоп, А!64, Уй 9!7, !938, р. !92 — 2!5 (К а г ш а п ТЬ., Со11. )5гогаа, ч. 3, Ьопдоп, Вп!!егччог!Ьа, !956, р.
280— 300). ') Т а у 1 о г О.1., 1. Аегопапы 8с!., ч. 4, 1чо. 8, 1937. ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ сзб Соотношения (4.12) и (4 13) показывают, что при малых г стемопные ряды по г для Ьеае и Як должны начинатьсЯ с члена поРЯдкк по крайней мере га, так как этим свойством обладает ряд для 6,',". Равенства (4,11),! (4.12) и (4.13) показывают, что определение б» 'ф 4сс Рис. 2с. Опытпые даккые хорошо подтверждают теоретическую формулу свявывающую бк и б"„. тензоров связи проекций скоростей второго и третьего порядков сводится к определению двух функций Ь~л (г, $) и Ьк (г, б).
Из уравнений Навье — Стокса для этих величин получается только едко уравнение с дтбк 4 дбк 1 С дЬ,с дб,'с ~ дгт г дг С' 2 дг дг ' г гдо т = рср. Это уравнение в несколько иной форме для функций Ье Ьсо ~= —" ИЬ= — ' Ь Ь с' получено Карманом и Хоуартом. Уравнение (4.14) в написанном виде рассматривалось Л.
Г. Лойцянским '). Умножая уравнение (414) на га, получим: (4.14') ') Л ой пя и с к ив Л. Г. Е1екоторые основкые зассокомерпостсс псо- троипого турбулентного стотока. Труды ЦАГИ, вып. 440, 1939, 138 ПГИЛОжкяня К твОГИИ дВИжвНИя ВяЗКОй жИдКОСтИ ~тл, Н1 Предполагая, что при г-+ + оо порядок исчезновения функций дЬа/дг и Ьл" более высокий, чем 1/~", и что выражение в квадратных скобках обращается в нуль при г = О, найдем — ~ Ьага дг = 0 д Г и ) а или Л = ~ дага дг = сопзЬ. з (4.15) з) Разъяснввие этих вопросов, а также реаультаты, содержащиеся в пп. б, 7, 8, были опубликованы в первом издании этой книги в 1944 т.
Краткое изложение см, С е д о в Д, И „ДАН СССР, т. 42, № 3, 1944, Существование определяемой таким образом инвариантной величины Л указано Л. Г. Лойцянским '). Заметим, однако, что конечность и инвариантность Л получаются как результат предположения о порядке исчезновения Ьа" и производной дЬа/дг. Для определения Ъ~л и Ьа" одного уравнения (4.14) недостаточно. Переход к моментам связи четвертого и высших порядков также не дает замкнутой системы уравнений. Уравнение для моментов третьего порядка содержит моменты четвертого порядка, следующие уравнения содержат моменты пятого порядка и т.
д. Кроме незамкнутости этих уравнений, мы встречаемся еще с вопросом о задании начальных условий; поэтому для теоретического изучения изотропной турбулентности требуются еще дополнительные гипотезы механической природы '). Подобные гипотезы выставлялись Карманом и Хоуартом при рассмотрении случаев малых и больших значений числа Рейнольдса. 5. Заключительная стадия вырождения изотропной турбулентности. Турбулентное движение жидкости затухает, следовательно, величина Ь = и, стремится к нулю при г, стремящемся к бесконечности, При очень малых величинах скоростей пульсации компоненты моментов связи третьего порядка малы по сравнению с компонентами моментов связи второго порядка. Это дает основание к пренебрежению в уравнении (4.14) моментами связи третьего порядка.
Заменив в уравнении (4.14) правую часть нулем, получим / зтЬ 4 дЬЛГ 1 ЗЬ1 (4,16) Для отыскания определенного решения уравнения (4 16) необходимо знать функцию Ьа (г, О), дающую начальное распределение и изотропные турвулентныВ движения гз7 А= ~~ Ь~(г,г) ',, Ф( — ')221~ 2 где Ф (г2М) есть некоторая функция. Положим Ь = У а 1 — — 1(2,1, у1 1+2+— 2 По предположению, безразмерная величина 7' (г, 8, У) зависит только от трех размерных параметров 1, 8 и у, поэтому функция Г' (г, ~, у) зависит только от комбинации $ = гЧуГ. Следовательно, справедлива формула вида 1' ++Р (У1 )' (4А7) В дальнейшем мы будем рассматривать такие движения, для которых 7'(сс) = О, а 7" (0) = 1; первое условие соответствует статистической независимости скоростей двух точек при г -э + ос, второму условию легко удовлетворить выбором численного значения постоянной А. Из формулы (4А7) при г = 0 имеем р 1-— 1 "2 АУ Ь = — з' = 3 р 1+2+— 2 дал момента связи продольных скоростей двух точек.
Мы имеем в виду получить решение уравнения (4Л6) для больших значений времени г. При больших г детали в особенностях функции Ьз ~(г, О) должны иметь второстепенное значение, поэтому при исследовании асимптотического поведения функции Ьа (г, Г) при г -2- + оо начальные условия можно учитывать в некотором упрощенном виде.
Функция Ь| (г, О), помимо расстояния г, зависит еще от размерных постоянньгх, которые обязательно дол1кны быть, так как размерности Ьз и г разные. Допустим теперь, что влияние начального распределения моментов связи сказывается на асимптотическом поведении Ьз при 1-2. + сс ПОСрвдотВОМ ТОЛЬКО ОДНОГО ПОСтОяННОГО МНОжИтЕЛя А, нмеа1щего размерность 1.РТ'.
Пта постоянная может характеризовать собой в некотором смысле суммарные свойства начального распределения момента связи Ьз В частности, значение постоянной А может быть определено формулой вида 138 пгиложкния к ткогии движкния вязкой жидкости 1гл. П1 Вследствие затухания турбулентного движения должно быть 1+7+ — >О, представляет собой коэффициент корреляции между проекциями скоростей двух точек ка отрезок, соединяющий этн точки.,В рассматриваемом случае при С =- О коэффициент корреляции равен нулю, если г ~ О, и единице, если г:= О.
Пользуясь формулой (4.17), из уравнения (4Л6) получим ,С" +( — '+ — ')У + фС=О, (4Л9) где 1+7+ 2 10 Это уравнение получено Карманом и Хоуартом непосредственно из допущения, что коэффициент корреляции зависит только от комбинации г'СтС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
