Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 29
Текст из файла (страница 29)
См. К о рн е е в А. И., Прикл. матем. и мех., т. 37, вып. 5, 1973, стр. 864 — 881 и диссертацию А. И. Корнеева, защищенную в 1974 году в ИГУ. В цитированных работах А. И. Корнеев научил также аналогичные асимптотическне законы затухания однородной изотропной турбулентности при более общих допущениях — гипотезах следующего вида: ьв — ел(г) — ьз(з) ()з( ( ), ьв" = ьэвРл( 1 ) ~ выполняющихся только в некотором интервале 0 ( Хл ч г/1 ч.
Хз ~ сс где Х, и Х вЂ” некоторые предельные величины. Эти более общие допущения совпадают в этом интервале с (4.29) и (4.30), если Ь /Ь, = сонзг и Ьл/Ь, = сопеы А. И. Корнеев подчеркнул, что дальнейшая теория в значительной своей части сохраняет свое значение, если ослабить гипотезы (4.29) и (4.30) условием об их выполнимости только в интервале 0 ь. Х ~ Х ~ Хо ~ со. изотвоппыв туРвулкйтныв двнжкния Иа основании формул (4.29) и (4.30) уравнение (4.14) дает 4А(Х) 1, 1 Л 1 1 с)Ь А' (Х) + — — —.
2/' (2) — — + — 7(Х) —, — = Х 2 *" ЬЩ Ю 2 Ь'Ь о'1 = — (7" (7),ь / (" ). (4.32) Этому соотношению можно удовлетворить с помощью различных допущений. Следуя Карману и Хоуарту, рассмотрим движения, соответствующие большим значениям числа Рейнольдса )Го//ч, и поэтому пренебрежем правой частью уравнения (4.32). Тогда получим Ь' + — = — т /'/гс + —, 7с, 4/Д 1, 1 Х 2 2 (4.33) где а = — = /сс, )/е е1 — = — с.
)/Ы Лг (4.34) (4.35) Безразмерные величины /гс и с не зависят от т. Из уравнения (4.33) н из общих свойств функции / ()1) следует, что величины /сс и с являются постоянными. Интегрируя уравнения (4.34) и (4.35), получим (4.36) При й =- — '/, имеем ') (4.3 7 где через ге обозначен момент времени, которому соответствуют значения /е и Ье. Если к полученным формулам (4.37) добавить предположение, что существует инвариант Л ~ О, то из формулы (4.31) следует, что й = г/ь. Подставляя й = г/ь в формулы (4.37), получим результаты А. Н.
Колмогорова ') бе 1 Ге ) )е 21е (4.37') ') Условие л ) — '/е должно удовлетворяться для того, чтобы средняя невичнна скорости турбулентного движения не обращалась в нуль для некоторого конечного момента времени. е) Н о л м о г о р о в А. Н., Н вырождению изотронной турбулентности е несжимаемой вяакой жидкости. ДАН СССР, т. 31, М б, 1941. 148 НРиложениЯ к теОРии дВижениЯ ЕЯзкой жидкости (гл.111 найденные им с помощью ряда допущений, в том числе допущений, выражаемых равенствами (4.29) и (4.31) '). В предыдущем выводе показатель й произволен.
Если принять, что для случая аэродинамической трубы масштаб 1 имеет постоянное значение, пропорциональное размерам ячеек решетки М, т. е. 1 = сопзь М, то это дает )с = 0 и — — (1+ — ) = А+  —. )гВ 2угйс ), 1о / Я1 ' Получилась формула, совпадающая с формулой Тейлора (4.27). 3. Законы вырождения турбулентности с учетом моментов третьего порядка.
Законы развития турбулентности,представляемые формулами (4.37), получены с помощью дополнительного допущения Кармана и Хоуарта о том, что правую часть в уравнении (4.32) можно заменить нулем. Если приравнять правую часть уравнения (4.32) нулю, то это дает следующее уравнение для 1рункции «()г): «" + — =- о, 4« х которое не имеет решений, удовлетворяющих условию «(0) = 1, за исключением решения «(7) = 1, которое не удовлетворяет физическому условию « (со) = О.
Следовательно, решение Кармана и Хоуарта является приближенным, вместе с тем оно не дает соотношений для определения функций «()~) и и (,"Ь). Поэтому это решение нельзя считать удовлетворительным. Далее, мы найдем все физически допустимые точные решения уравнения (4.14) при сохранении гполько основных предположений Кармана и Хоуарта, когпорые заключаются в следующих двух формулах: (4.29) Ь" ь в /г1 (4.30) еде 1 и Ь суть некоторые функции от времени. Вследствие этих предположений уравнение (4.14) приводится к соотношению (4.32). Рассмотрим теперь более подробно точные ') В п.
8 будет показано, что предлоложеппя (4.29), (4.30) и (4.31) протпворечпвы, если й ~ О. а если й = О, то аолучаются законы, отлпчпые от (4.37'). 1 ь) изотРопные турзулентные движения 147 решения этого уравнения '). Дифференцируя уравнение (4.32) по времени при постоянном Х, получим 2 Х«(Х) л«(1'«, «1«) 2 «(Х) е« ~,', я«) + «) 1 а 1 И 1 «)Ь +(У (Х)+ 4) (Х))+( ' )=О. (438) В связи с соотношением (4.38) проанализируем следующие возможные случаи: 4'. Функции Х(' (Х), 1(Х) и 1" (Х) + 4)' (Х)«'Х линейно независимые. 2'. Существует только одно независимое линейное соотношение с постоянными коэффициентами вида с Хг + сзг + сз(г + ! « = О Х / (4.39) в котором не все см сз, сз равны нулю, 3'.
Мегггду функциями Ху', у, уз+ — ", существует два линейно независимых соотношения с постоянными коэффициентами. Так как ) фз О, то эти соотношения всегда можно представить в виде г Х = с,у и 1 + — = с,/. 4)' Х Нетрудно видеть, что в последнем случае должно быть с =се=О и 1=попас. Зто решение пе представляет физического интереса, поэтому третий случай отпадает.
В первом случае все коэффициенты в соотношении (4.38) равны нулю, поэтому 1 Ш 1 «(Ь т 1 = — =)«с,= — = — с,— (4.40) ')ГЬ «)Г ЬГЬз «1« ' р«Ь 1 тс где )«, с и т суть некоторые постоянные числа. Система соотноше- ') В одно уравнение (4.14) и соответственно в уравнение (4.32), получаемое как следствие, входят несколько искомых функций. Ва первый взгляд нельзя определить несколько функций только из одного уравнения.
Однако подробное виикповевие в математическую структуру етого уравиеиия позволяет проанализировать все возможиые случаи и с точностью до одной существенной постояииой «х (см. ниже) иайтя все допустимме решения рассматриваемой проблемы. Это обстоятельство и соответствующий матея«зтический опалив задачи ускользали от виимавия многих авторов при построении теории и обработке экспериментов турбулентных движений жидкости. 143 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ 1Гл. 111 ний (4.40) дает 1=, )У',(1+ 1,), Ь = — "', й = — ',, (4.44) 1+1,' 2' Следовательно, получается вполне определенный закон для изменения с и Ь в зависимости от времени.
Этот закон ') совпадает с законом (4,37) при й = Чт. В атом случае для двух функций Г()Ь), Ь (у) получается только одно уравнение. Исследуем теперь второй случай. Легко видеть, что в соотношении (4.39) коэффициент са должен быть отличным от нуля, так как иначе для функции ~ (т) получается уравнение сту + са)1)' = О, которое при с, ~ 0 не имеет решения, удовлетворяющего условию У (0) = 1, а при с, = 0 получаем 1' = 0 или У = сопзь Ф О, что исключается условием 1(оо) = О. Так как са ~ О, то соотношение (4.39) можно представить в виде (4.42) где а, и ат суть постоянные коэффициенты. Из уравнений (4.38) и (4.42) находим 1 Г о 1 а1 о у — )1~' — — — — а, — —— 2 ~ )1 ~/Ь и Ю ~Ь)! 1ГИ)льл — — +ас — — 1=0.
2 ( 11 )ГР. Лс а УЬ11 Так как функции )1Ц' и ) линейно независимы, то очевидно, что выражения в квадратных скобках обращаются в нуль, отсюда следует: 4) ль = — = а, = + Р, = —, = — ае = + о. (4.43) )ГЬ ес ЬГЫ ' УЬа где р и д суть постоянные интегрирования. Подставляя соотношения (4.43) в (4.32) и приняв во внимание уравнение (4.12), найдем уравнение для определения Ь ()1) в виде " + — 1 — 2 ХГР+,2 — 1Ч = О 4Ь 1 )11 2 (4.44) Рая е мы установили, что разложение функции Ьа"(Ь'ь = Ь по степеням г)1 = )( должно начинаться с членов порядка )(а, поэтому из уравнения (4.44) следует, что т = О.
1) Очевтщко, что в этом случае величина Л не может быть конечным и не равным нулю инвариавтом, так как в противном случае равенство (4.31) противоречило бы равенству (4.41). 3 и ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 149 Таким образом, в рассматриваемом случае 2' мы нашли полную систему уравнений (4.42), (4.43) и (4.44) для определения Ь и / в функции от переменной 3 и величин 1и Ь в функции от времени ~. Эти уравнения содержат три отвлеченные постоянные а„а, и р. Нетрудно усмотреть, что одна из этих постоянных несущественна. В самом деле, преобразование т = Хд', где Х есть некоторая постоянная, приводит к умножению еще не определенного масштаба 1 на постоянную 1/Х (1 = 1'Й).
Произведя в уравнениях (4.42), (4.43) и (4.44) это преобразование, получим те же уравнения, но с преобразованными значениями Е1', а,' и д', которые определяются формулами от=а~Х, а~=юаХ, р =р). Фиксирование определенного значения для а, ~ 0 или для «т ~ 0 равносильно выбору определенного масштаба для На основании второго уравнения (4.43) из условия затухания турбулентных пульсаций (Ь -+. О при 8 -~ оо) следует, что аа > О. Далее, в качестве физического условия мы примем также, что 1 -+ + оо при Ь -а. ос или при Ь -~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
