Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 26
Текст из файла (страница 26)
!!!., бзнзхсатгнз, 1963. 128 пьч<ложвння к тг<оиигг даня<виня вязкой жидкости 1гя. зп величин, представляют собой новые неизвестные '). Так<газ образом, при осреднении уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости '), помимо средних значений '), для проекций скорости пм и„и необходимо вводить еще и рассмотрение средние значения произведений и;из 11, <с = 1, 2, 3). Следовательно, для математического изучения осредненных турбулентных движений одних уравнений гидромеханики, достаточных дчя изучения истинных движений, недостаточно.
Лозтому полное теоретическое исследование осредпенных турбулентных двия<ений возможно только на основании некоторых дополнительных гипотез, справедливость которых в конечном счете может быть установлена только опытом '). Содержание ряда работ по исследованию турбулентных движений сводктся к изучению справед.тнвости различных, более нли менее вероятных, простых и естественных гипотез, которые можно пронерить опытно и которые позволят поставить и решать теоретически основные задачи о турбулентпом движении жидкости.
В настоящее время еще не существует общей математической постановки задачи о произвольных осредненных турбулентных движениях и, вообще, формулировки математических реологических задач об осредненных турбулентных движениях жидкостей и газов оказываются различными, н опи приспособлены к отдельным, довольно ограниченным классаы задач.
Методы теории размерности и соображения о подобии движений много раз использовались как основные методы исследования турбулентных движений жидкости. 2. Свойства однородности и изотропности. Рассмотрим турбулентное движение вязкой жидкости, заполняющей все пространство '). Состояние движения в каждый момент времени ! определяетсп начальными возмущениями (возмущениями жидкости в момент à — 0) и свойствами инерции и вязкости жидкости, т. е.
величинами р и )з. Возьмем систему кипематически подобных начальных возмущений. Всякое отдельное возмущенное состояяне можно опреде- ') Более подробно об зтоы см. К с 1 1 е г Б., ГеЬег <Пе Ап)зге11плд етез Зузгешз топ СйагаИег)з1!Ьеп <1ег а1п<озрЬзпзйеп ТпгЬз1епз. Ж. геофиз. и метеорол., т. 2, Ж 3 — 4, 1925, стр. 275 — 290.
') Предположение о песжпмаемости жидкости мы сохраним во всех дальнейших рассуждениях. з) По принятому обычаю мы будем обоаначать средние значения величия буквами с чертой наверху. з) Мы предполагаеы, что речь идет о формулировке математической задачи с конечныы числом неизвестных. ') Все последующее можно относить к движению зкпдкости в ограниченном пространстве или в конечных объемах жидкости, если допустимо пренебречь влиянием границ. 1 а] изотРОпныы туРБулкнтныг движения 129 лить заданием масштабов для длины и для времени, указав для этого некоторую характерную скорость и и некоторую характерную величину 1е, имеющую размерность длины.
Следовательно, турбулентное состояние движения нсидкости для системы кинематически подобных начальных' возмущений определится параметрами р, р, )„и„1, х„„*„ где х„х„ха суть координаты точек пространства а). Полученная таким образом совокупность турбулентных движений содержит движения, динамически не подобные. Для подобия двух турбулентных движений необходимо и достаточно, чтобы для обоих движений число Рейнольдса имело одинаковое значение: нс 1 1 с 1Р1 иоАаРе Момент времени и координаты точек, соответствующих подобным состояниям, определятся из соотношений (1 ='т, 2, 3). 1о1 бе 1о1 1аа Значения и и 1 определятся функциями вида (4Л) Вообще для любой безразмерной механической характеристики, связанной с одной точкой жидкости, будут справедливы формулы аналогичного вида. Помимо указанных параметров, эти функции зависят еще от безразмерных параметров, определяющих законы распределения начальных возмущений.
При изучении турбулентных движений приходится рассматривать характеристики, зависящие от состояния движения в двух или в нескольких точках; эти характеристики могут зависеть от координат нескольких точек. Например, средние значения произведений проекций скорости в т точках М1(х„ х„ х ), Ме (х„х„х,),..., М (х,, хс, ха) равны ты,, и (М, М,, Ма) = мм (М„) иа. (Ме) ° па„(Ми) (4 2) ()сп 7сы..., я„= 1, 2, 3) ') Системы координат расположены относительно распределения начальных возмущений подобно. !3О ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ !КИДКОСТИ !Гл. П! и образуют тензор, компоненты которого для системы подобных начальных возмущений зависят еще от Зт координат х," (! = 1, 2, 3; (с = 1, 2,..., т).
Индексы г, г,..., 11 представляют собой некоторую определенную последовательность из номеров 1, 2,... ..., т (т ( и). В общем случае величины т зависят существенно от всех координат. Турбулентный поток называется однородным, если все средние величины в каждой точке не зависят от положения точки, а средние значения для величин, зависящих от нескольких точек, зависят только от нх относительного расположения, т.
е. только от разностей координат хг — ет. В однородном турбулентном поле скоростей !(тункции (4 1) не зависят от к!Ле, хс/те, хаПе. Осредненные характеристики движения жидкости вблизи любых двух точек одинаковы. Очевидно, что в случае однородного турбулентного потока начальные возмущения должны обладать некоторыми свойствами равномерности распределения возмущений по объему жидкости. Однородный турбулентный поток называется изотропным, если тензоры связи проекций скорости, определенные равенством (4.2), для любых п и гя не зависят от ориентации в пространстве многогранника М!Ма... М и от перехода к зеркальным изображениям этого многогранника относительно координатных плоскостей !).
Компоненты тензора связи могут зависеть от положения осей координат относительно многогранника М,Ме... М и от выбора положительного направления вдоль осей. Для изотропного турбулентного потока величины та,а,..., имеют одинаковое значение в системах координат, ориентированных одинаковоотносительно различных положений одного и того же многогранника. По определению изотропное турбулентное движение обладает свойством симметрии в среднем. Предполагается, что в течение достаточно большого промежутка времени, за который производится осреднение, в каждой точке пространства все направления скорости равновероятны; это сочетается с допущением о том, что в каждое мгновение движение жидкости непрерывно и близкие точки имеют приблизительно одинаковые скорости.
Однородное изотропное турбулентное движение можно рассматривать как простейший вид турбулентного движения. Возмущенная жидкость, предоставленная самой себе, движется по инерции; под действием внутренних сил вязкости происходит диссипация кинетической энергии — движение характеризуется затуханием, происходит вырождение турбулентных возмущений.
!) Если ето условие справедливо только для 2 ~( п (л1, 2 ( т ( М где лт и М вЂ” нокоторые целые числа, то такой поток можно рассматривать как приближенно иаотропный, изотропиые туРвулентные движения Ири и четном не равны нулю только те компоненты, в которых каждая проекция скорости встречается в четной степени. В частности, при и = 1 имеем й,=й,=й,=О; прн и =- 2 имеем игиг=ииа=иаиа=О, иг=иг=из= 3 э; (4.3) при >г = 3 все компоненты равны нулю и т. д. г'ели точки ЛХ„ЛХа,..., ЛХ различны или мы имеем всего дзе точки, то в этом случае будут иметь место некоторые условия симметрии, причем в случае только двух точек тензор связи зави- ~ нт только от взаимного расстояния г рассматриваемых точек. Компоненты тг а а зависят от г и от ориентации осей коорг т''' и дипат относительно отрезка ЛХ,М,.
г) В настоящее время вопрос о существаваяяв в о воаможяых разлвчяых видах взотропяого турбулентного дввжзяяя вязкой жидкости теоретически ощо ве рааобрав.' Ири изучении изотропной турбулентности основная задача заключается в определении законов затухания '). В общем случае турбулентные движения характеризуются выравниванием †диффузией †возмущ. Изотропное турбулентное двигкение можно рассматривать в ряде случаев как своего рода предельное турбулентное движение, подобно тому как неустановившееся течение часто можно приближенно заменять установившимся предельным движением. Как показывают опыты, турбулентные движения воздуха, возникающие позади быстро продвигающихся мелкоячеистых решеток, на некоторых неблизких и не очень далеких расстояниях от решеток в области слабого влияния границ потока, практически можно рассматривать как однородные изотропные турбулентные двигконня.
К этому же случаю приводится также турбулентное движение воздуха, продуваемого через неподвижную решетку, осли добавить ко всой системе трансляцию с постоянной скоростью, С такой проблемой мы сталкиваемся при исследовании турбулентности в аэродинамических трубах. 3. Свойства симметрии тензоров моментов связи скоростей. Допущение об изотропности влечет за собой ряд соотношений между компонентами тензора тг а,.а .
Например, если компо- 12'' и ленты тензора та а, а образованы как средние значения для 12''' а проекций скорости одной и той же точки Мг = М, =... = ЛХ то очевидно, что при и нечетном имеем т к...а =О. ага' а 132 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1Гл. П3 Легко усмотреть справедливость следу3ощих соотношений, вытекающих из изотропностн движения: и, (ЛХ,)и, (М,) = и3 (ЛХ3)ит (М,) (1 = 1, 2, 3; У = 1, 2, 3). (4.4) Возьмем точку М, в начале координат, а точку ЛХ3 на оси хд, тогда будем иметь тп — — Ьз ~ О, тм — т33 = — — 6„"ФО, т„= т„- т,з =- О. (4.5) Верхние индексы соответствуют точке М„нижние — точке М,.
Очевидно, что величины 63 ~и Ь"„зависят от х, н 1 и являются четными функциями от х . Воли точка ЛХ, расположена произвольно относительно осей координат, то все компоненты тга легко выразить через Ьз~ и Ь~. Формулы, выражающие т;„через Ьз и 6"„, представляют собой формулы преобразования компонент тензора при переходе от специальной системы координат, для которой ось х, проходит через точку ЛХ„к произвольно заданной системе координат. Эти формулы имеют вид = 1,1 — я;'1 тгз = (6~3 — Ь"„)1П133+ Ь„"бд, бм,, ), (4.6) где 133 суть направляющие косинусы осей заданной системы координат относительно системы специальной. При г = О имеем Ьз =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
