Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. — „, + —, =- 0 при у(0. дор а'р (13.1) » 1З! ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕСЖИМАЕМОЙ >КНДЬОСТИ Щ3 Мы удовлетворим уравнению 3[апласа, если положим: <р (х, у) = Ве и» (х + [у), (13.0) на верхнюю полуплоскость, после чего получим, что функция С(з) является однозначной во всей плоскости комплексного переменного з .— — х -'- гу. Из принятых предположений об общем характере движения жидкости следует, что особые точки С (з) лежат на действительной оси. Будем искать решения, для которых характеристическая функция»и (г) зависит линейно от размерных постояниых, входящих в добавочные условия, определяющие потенциал скоростей; вид этих ус.швий мы не будем конкретизировать. Из линейности задачи следует, что достаточно рассмотреть случай, ногда мы имеем только одну размерную постоянную а, от которой характеристическая функция и» (з) зависит линейно (постоянная а может быть комплексной).
11усть размерность по<.тоянной а представляется формулой [а) = БЕТТ. Из сделанных предположений мы получаем, что полная система определяющих параметров представится таблицей з = х + гу, г, у», а. Иоложим теперь и» = аг"дзу (г, 1, д); показатели и и р подобраны так, чтобы у было отвлеченной величиной. Так как [а) = Б'Т', то очевидно, что для этого должно бьггь р+я+ р= 2, д — 2Р= — 1, откуда !+ч 3 — 2р — л — а =- 2 ' 2 (13.8) гло и» (з, 1) (з —.= х + 1у) — характеристическая функция течения жидкости. Далее мы предположим, что характеристическая функция и» (з) однозначна, конечна и регулнрпа при г ) 0 и конечных .г и у(О.
Из условия (13.2) следует, что производная ди»»дз исчезает при у »- — оо. Граничное условие (13.3) можно представить в виде Ве( —,, + [д —.,'') = 0 при у = О. (13. 7) :Цо условие позволяет продолжить комбинацию Фм . Лм г» (э) =-- —, + су— 1О4 пОДОБие, моделиРОВАние и пРимеРы пРилОжений [го. 11 Из теории размерности следует, что функция 11 (г, 1, д) зависит только от комбинации оо Х = —" т. е.
И»=- аддгиХ (Х). На основании формулы (13.9) следуют равенства ди о, дх д, — — аддг'~' (А) —., (13.9) К" (Х) ( — „) + 2'(А) — „., ~, —.Х(1)+ Х'(1) —,," дои а,дга ~ юо дм — = араго ~ до (') = ай"" ~У" ( до )'+ 2'++ 'бФ)+ '"' 4 ' так как дХ о Х доХ Х дх Х вЂ” = 2 —,, то 6 — "- 4ааа иго"-оао-" (у" + ( —,. — — ) т'+ — 11~ .
(13.10) Функция 6 (А) является однозначной функцией комплексной переменной Х во всей плоскости. Особые точки могут находиться только на действительной оси. Так как при Х действительном функция 6 (А) чисто мнимая, то очевидно, что для любой особой точки этой функции коэффициенты в ряде Лорана чисто мнимые. Обозначим: а = аое'о и 6 =- 4аодаоЧо,-о 6 Р) Из (13.10) получим -"6,(Х) --= Ао-* ~2" + ( —,'„— —,' ) 2'+ —,', Х~. (13.11) Мы можем удовлетворить условиям внутри жидкости и на свободной поверхности, если в качестве функции 6, (А) возьмем любую однозначную функцию, имеющую особенности только на действительной оси, на которой она чисто мнимая.
Для определения характеристической функции соответствующего волнового движения необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение (13.11) для функции 11 (Х). В самом общем случае получаются волновые движения, обладающие особенностями на свободной поверхности жидкости. 2 Ы1 ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕС2КИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 1О5 Если мы примем, что при 1 > О движение жидкости на свободной границе регулярно, то из конечности комбинации дом, .
дм еы — + (у де с,ндует, что функция С, ()) сводится к мнимой постоянной, которую мы должны положить равной нулю на основании условия ( Ь.2) и добавочного условия о постоянстве по времени давления при у - — 2- — со. Таким образом, мы приходим к задаче об интегрировании обыкновенного дифференциального уравнения Х +( —.— — )2 + — „Х.=О. 1 11, 1о (2Ъ 4) 47, (13А ) В этом уравнении сс — произвольная постоянная. Нетрудно еидеть, что при сс комплексном решение уравнения (13А2) также дает некоторое волновое движение. Основное решение, рассмотренное Н. Е.
Кочиным, соответствует частному значению сс = — 1/2. Уравнение (13.12) после замены переменной 4 Х =- —. приводится к виду (13.13) 1'ешение уравнения (13.13) выражается через конфлюэнтные гинергеометрические функции у = ЛХ (Й, у, х), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению ') ху" + (Т вЂ” л) у' — )су = — О. Общее решение уравнения (13.13) имеет вид / з т == С2М( — а,—,,р , '+ Сер'ТЛХ( — а+ —,—, —,, р) . (1ользуясь этим решением для характеристической функции волнового двин ения, можно написать ш = А2и2 + Аег.',, (13.14) где Лт( О' 2 4 ) (1313) - / 1212 9 1Ф2~ и2 (с,г,а) = г" ~/ — М ~ — а+ —,, —, — ).
(13.16) 2'2'42) Произвольные постоянные Аг и Ае могут быть комплексными. 2) См. Я н к е Е., н Э м д е Ф., Таблицы функций с формулами н крннымн. Ы.— Л., Гостехиадат, 1949. (ОЕ ПОДОБИЕ, МОДЕЛПРОВАИИЕ П ПРИМЕРЫ ПРПЛОжЕНИИ (Гл. 11 „(,О, )= ', ~~,,')1 =-0 (13.17) и:,(з,О,О) = О, ( —,11 ) ~/ 4 з ~ .
(13.18) Рассмотрим теперь волновые движения, для которых характеристические функции определяются формулами ла ()1 (з, 1) = — — ~ У (та) 1Р1 (з — яа, 1, и) 1),сз ,„.. („') +- (71(з,)) =- — — (~ Р(:~'о)шз(з — 1'о (,о) 17тз (13.20) где) (х,) и Г (ха) — некоторые функции, для которых интегралы в формулах (13.19) и (13.20) сходятся. При 1 =- 0 имеем: + С )(аа)г „ЗО, (13. 21) (аа а) П. =-О,—:" =- —— а) л) 1 — — а (ао а) (13.
22) Первое из уравнений (13.21) при и = — 1 и з = х дает -ь (а ( ) )р ) аР а( ) ( )(аа)~за а Хаки11 образом, если 7' (х) действительно, то при а =- — 1 формула (13.10) дает решепие задачи о волновом движении для следующих Частные решении волновой задачи (13.15) и (13.16), зависящие от одной произвольной постоянной а, можно обобщить, заменив 1 чеРез ( — („и з чеРез з — г,. Постоаш1ые г, и еа (з, Действительно) определяют изменение начального момента времени и смещение особой точки, соответствующей началу координат в плоскости движенин н1идкости. Исходя из полученных решений, мо)кно строить суммированием более общие решения: при суммировании постоянные А, и Аз можно считать функциями от параметров а, ), из,. Из формул (13.15) и (13Л6) легко усмотреть следующие свойства функций 1Р1 и 1Р,: при ) =- 0 имеем: $ !г) Волн!1 нА повегхности несггсиыАкмой )кггдкости 1О7 печальных условий: при 1 =0 Ф,(а„) =- 7 (х),—.' =- О.
дг Для функции Ч' (х, у) получаются следующие начальные условия: прн 1=.0 Ч",(х,О)= — ч. р. 1 " ' и =О. 1 Г ( (ха) Ыха дч ха дг диа д (Иьг+ 1""г) с .. 1 ~ х (ха) дха =.= .г'(х) — — ч. р. дг дг ( 1 гм ' х — х Отсюда следует„что если г (х) действительно, то получаются следующие начальные условия: при 1=.0 и у=о Фг-(-гч'г=-о, — =Р(х). дсгг аи Этот случай разбирался Н. Е. Иочиным.
Выясним теперь характер начальных условий в общем случае при а ~ — 1, — 1/2. Рассмотрим начальные условия для функции (гг (г, 1). Имеем: +~ 1 ггг (г, О) = — —, ) (г:е — г)" У (ха) Ате. Если а ) 0 и целое число, то очевидно, что 11г (г, 0) есть полипом степени а. Вообще, если сг > О, то функция ()г (г, 1) будет обращаться в бесконечность при г — г- оо, поэтому при а > 1 условие об исчезновении скоростей при у — +. — оо не удовлетворяется. Если сг = — — (1 + «), где г — целое положительное, то мы имеем: + (13.23) (х„— г)ьы !! редположим, что интеграл ) ) (хе) а(хе конечен '), и введем а и рассмотрение функцию ог(г) = — ) г(хе.
)( 'а) ха 13.24) ') Очевидно, что выражение для Йг (г) может иметь смысл в ряде случаев, гопда интеграл в (13.24) расходится. Если 1(х) чисто мнимо, то начальные условия имеют аналогичный вид, но только функции Ф, и Ч', меняются ролями. В случае а = — 112 второе иа уравнений (13.22) при 1 = 0 и г — х дает 108 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Ги.
11 При принятых предполояоениях о функции 1 (х,) легко видеть справедливость соотношений (13.25) — =- о1'(г) =- Г(з+ 1) 111(г, 0), о>(з) =.= Г(о+1) ~ Ызо ~ дз, 1... ~ О(г1)дз1= г (г — и)' оо, (и) 1)и. (13.26) Следовательно, для определения ) (х) имеем соотношение х и-с )ор'( ) х у( ) т Р ~ ((хо1лхо (13 22) Таким образом, из формул (13.23) и (13.24) для целых з ) 0 мы вывели уравнение (13.27). Это соотношение остается также справедливым при любых вещественных г ..х — 1.
Действительно, из (13.23) имеем: о+1 Г / [хо) Ыхо О'(и) = —— 1 (.„. ир" ' Умножая на (г — и)' и интегрируя, получим: г о)-1 Р Г (о — и) Шо Я'(и) (г — и)'1)и = — — — ' ~ 1'(хо)дхо 1хо — ид' — 1 — 1' Во внутреппем интеграле произведем замену переменных 1 и =- хо + (з —.то) —, отсюда х„— о хо —- ох хо — и = — ", г — и =-= — ' — о(1 — Л), о(и = (.то — г) —; Х Гррокзведя эту подстановку для внутреннего интеграла, получим: $1'! НРостРАнстВенные АВтомодельные дВижения 1ОВ 1!Нльзуясь этим, находим: 1 + (г — и)'??'(и) ди = — —. (?тсюда прн г — ь х следует формула (13.27).
Формула (13.25) может быть обобщена на дробные г, если дробную производную е1' (з) определить по формуле 1 !1 самом деле, ю'(г) = — 1, ~ 7(хо)ох ? 1х „р Для вычисления внутреннего интеграла сделаем замену переменных 1 и = ха + (з — хз) —. после чего получим: г 1 1 "-,' .= 1; (1 — и1 1 (. (1 ), В11 — '1, 1 — ю 1хо — х11 ( -)'11 1 1х ]''1 — 1 О з так как то т' я( ) Г(а+1) ? 11хе)йхО = ?'($+ 1)11 (3). , 1„,)1,1 $ 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
