Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Уравнения (4,43) можно проинтегрировать, после чего для 1/1 придем к соотношениям а — ",, ~/Ь+.Ь аэ — 2аг+ 0 (4.45) при — ~ 1/Ь ((НЬ вЂ” с,) а, — 2а, = О, (4.46) при / (Х) = 3 Полученная функция при возрастании д = г/1 колеблется, нмеет бесконечное число нулей и медленно убывает как 1/д'. Основываясь на этом, дальше мы исключим случай а, = О. где с н с, — постоянные интегрирования. Из формулы(4.45),неравенства а, ) О и из условия 1 — ~ со при Ь -а- 0 следует, что а, ) О, если с ~ О. Рассмотрим еще случай, когда с = 0 и аг = О. При аг —.— 0 уравнение (4.42) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию / (О) = 1. Это решение легко определяется и имеет вид 15О пРилОжения к теОРии дВижвния ВязкОЙ жидкОсти 1гл.
1И Пользуясь свободой выбора параметра Х, положим а„= '/,; тогда уравнение (4.42) представится в виде У" +Ж+Ф)У'+ Ф/=0 (4.47) Уравнение (4.47) после обозначения ах = 10а ) 0 и замены пере- менного переходит в уравнение (4.19), которое мы исследовали раньше при изучении затухания весьма малых пульсаций. Следовательно, для / (з) мы получаем то же решение, как и в случае малых пуль- саций; /(Р = М(10, ', — ") (4.48) но теперь 1 ~ ф' ~8 и Ь ~ О. Следовапхельно, учет моментов третьего порядка оказывает влияние на козффициент корреляции /' = Ье/Ь только через изменение зависимости оп4 времени линейного масштаба Функцию Ь (Х) на основании уравнения (4.44) (д = 0) легко выразить через функцию 7'.
Интегрируя уравнение (4.44) и принимая во внимание условие Ь = 0 при Х = О, получим х Ь = + —. ~ Хз~'(Х) бх. (4.49) 2 Х' Если а = 1/4 и Ь ~ О, то очевидно, что функция Ь (Х) исчезает при Х вЂ” 4- оо как 1/Х4; поэтому момент третьего порядка Ье при г -+- + оо имеет порядок 1/г4 и, следовательно, условия, необходимые для инварнантности Л (см. стр. 136), не удовлетворяются. Таким образом, при а '/4 имеем Л = оо, при а ) '/4 имеем Л = О, а при 44 = 4/4 и р ~ 0 (отличны от нуля моменты третьего порядка) величина Л конечна и отлична от нуля, но не является инвариантом. В самом деле, из уравнений (4 14') и (4.49) при сс /4 ПОЛучим — = — Р~ Х'~'(Х)бХ1'6" +О.
д1 4 Если р = О, то интеграл Л конечен и инвариантен, но в этом случае моменты третьего порядка равны нулю. Таким образом, если моменты третьего порядка опгличны от нуля и выполняются гипотезы, выражаемые равенствами (4.29) и (4.30), то л,ибо интеграл Л равен нулю или бесконечности и, изотРопные туРвулентные движения 15! Для определения ! и Ь в функции от времени мы имеем уравнения (4.43), которые при ах = '/ю ах =- 10и и д = 0 приобретают вид 1 Ж 1 4/Ь У вЂ” — = — — + р, — — = — 10п =. (4.51) Ьсь вг 2 Чы ' у'Р дг Ьхь) ' Нетрудно видеть, что в частном случае, когда р = О, система уравнений (4.51) и (4.47) имеет решение !=ей, Ь= —,, /=М(10а,—,— — 1 ил=О, (Уг)4 которое соответствует решению Кармана и Хоуарта для малых пульсаций. Введем теперь фигурирующий во многих работах по изотропной турбулентности тейлоровсний линейный микромасштаб ) (1) по формуле 1 дх/ (с, с) ! )44 дс» (х=» С помощью формулы (4.48) для 7($) Я = гхl!4), содержащей известную конфлюзнтную функцию, легко вывести следующую связь между ! и 2г ! = Цх а.
(4.52) Теперь рассмотрим случай, когда р =~ О, и перепишем формулы (4.45) и (4.46) с использованием вместо ! масштаба Х и следующих обозначений: )О, !Р(УЬ Ь ) — 10а 20а (4.53) причем величина Ь»» 0 при и чь О, 1 определяется с помощью следовательно, непригоден для определения масштабов согласно равенству (4.31), либо при а = '/4 величина Л изменяется с течением времени и поэтому не может рассматриваться в качестве характерной постоянной. Умножая уравнение (4.47) на )с»с()с и интегрируя, найдем х х х ~ тг/' дт = — 4т'/' — 20а ~ )!4~ ду„= — 4у4~' — 4атэ/+ 4а ~уз!' 4()!.
а о а Пользуясь этим соотношением при а ~ '/„получим У'(х) + х/ (х)! (4. 50) ИРиложения к теОРии дВижения ВязкОЙ жидкости (гл. 111 с, =1п Ь*. Вместо постоянных р и с при а ~ 0,1 или р и с, при а = 0,1 предлагаются масштабные постоянные Ха с размерностью длины и Ь* с размерностью скорости. Из (4.45) можно написать следующие соотношения: при а ~ 0,1, р (10а — 1) ) О, с ) О, 0 < и( < оо (это семойство решений обозначим через а+) — '." =- (й"",) (1+-"' (4.54) прн а ~ 0,1, с(10сс — 1) ) О, р < 0,0 - и( < 1 (это семейство решений обозначим через сс ) Л" 2)Га л( — (1 — иУ), Л (1 — 10а-) а из(4.46) найдем при а=0,1, р<0, 0<(с<1 Лл Ю вЂ” = — ~~ — 1О ж.
Л Г 10 (4.56) (4.55) Здесь выписаны связи между Х и и( с учетом условий Л" ) О, Л) 0 и Л -+. оо при и(-+.О. Этим устанавливаются неравенства р (10а — 1) ) 0 в (4.54) и р < 0 в (4.56) и (4.55) и фиксируются указанные диапазоны возмонлного изменения для и( = Ь('Ь*. С помощью второго из уравнений (4.51) связь между временем 1 и и( можно получить в следующих формах: в случае (4.54) (( а ~г(- Ш, ((.57( ) лл 40а+ в случае (4.55) а( т(1+ 1л) (10а- — 1)' Г ..., И Л*л 4(Лл (4.58) ипрна=0,1 ал ( + ) ~ (с-2)О-3 с,(ы Ллл (4,59) формулы (4.45) равенством с(аз — 2а„) ( ( с(10а — 1) ( при а = 0,1 постоянная Ьа связана с постоянной с, в формуле (4.46) формулой Здесь т — безразмерное время, а величина 1* — постоянная интегрирования, имеющая размерность времени. В формулах (бг.58) н (4.59) значение 1е зависит от выбоРа игю Длн опРеделенности принято, что иг„определяется условием т.
е. иг и йг определены уравнениями и ' (1 +- и з) а г/иг = 40о — (10а — 1)з 0 или ~иг~)п'тидггг=1 и [~ ! =! — „,! =О. ш Таким образом, выписанные системы точных решений зависят от четырех постоянных параметров а (ае или а, или а = 0,1), 5*, Хе и 1*, последние три играют роль масштабных постоянных. Семейство безразмерных функций зависит только от одного безразмерного параметра а (а„ или а , пли а = 0,1), согласно (4.53) р = ~ т/У')/ Р. Следовательно, параметр а и является единственным существенным параметром 1 / г для найденных решений. Функции/(г/Х) и — Ь г — ) для обоих сс- ~~/ мейств при ае = а одинаковы, различие возникает только для функций — (т, а) н — „(т, а). ь Х Рассмотрим еще асимптотические формулы для 5/Ь* и Х/Х* при т = т (1 + ге)/)Р -+. оо.
Эти формулы для обоих семейств имеют один и тот же вид: при а) 0,1 ,/ 1„, — Д ° ~/ —.(1+ 1') Ь ) (1Π— 1)зЛ*' " 4 (г -(- г') (4.00) % ы изотвопнын ттввхлкнтнык движкния 153 154 приложения к теОРип дВижения ВязкОЙ жидкости 1гп. Ры при а<0,1 — „, = — „, 1Г 10(1+1 )ч, Ь (10О-1)а2 ' Ее 40ит(1+ ее) (4.61) Расчеты по полученным точным и асимптотическим формулам для а = 0,05; 0,08; 0,1; 0,15; 0,2 приведены на рис.
23 — 26, и I г г и Рис. 23. Графики функции 1 (г/Х), отвечающие формуле (4.20), при рав- ных а. л 7 Рис. 24. Графики функции — — й(гй), отвечающие'формуле (4.50), при раа- 1 Р нмх а. При рациональных а интегралы в формулах (4.55) и (4.54) вычисляготся в елемеитарных функциях, Па рис. 25 и 26 пунктиром 156 ПРИЛОЖЕНИЯ И ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1Гл.
111 ствующие интегралы расходятся при а(0,1. Установленные выше аснмптотические формулы показывают, что для моментов второго, третьего и, может быть, для моментов высшего порядка г Р 7 ей+1"! Лг Рис. 26. Графики теоретической ааввсимости Х/Х» от г при равных сс. их интегральные преобразования по формулам Фурье не имеют смысла '). Соответствующие трехмерные интегралы Фурье расходятся при а ( 0,05. Медленные законы убывания различных моментов при г -ь со, полученные как результаты точного решения, с физической точки зрения вполне допустимы. При сравнении теории с опытами в качестве примера изотропной турбулентности рассматривают движения воды или воздуха за неподвижными двоякопериодическими решетками с квадратными ячейками размера М, через которые протекает возмущенный поток со средней поступательной скоростью П, перпендикулярной к средней плоскости решетки.
Этот турбулентный поток, строго говоря, неоднороден в направлении скорости 0 и неоднороден, вообще говоря, в направлениях, перпендикулярных к О, за счет влияния условий на границах поперечных сечений турбулентного потока на стенках трубы или иа пограничных слоях, отделяющих турбулентный поток от внешней среды. Первоначальные свойства потока, набегающего на решетку, также могут служить источником неоднородности и неизотропности турбулентного потока за решеткой. ') Это замечание, так же как указанное выше замечание о поведении инварианта Лойцянского, существенно для развиваемых во многих работах теорий турбулентности, основанных па применении преобразований Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
