Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 34
Текст из файла (страница 34)
статью Пракдтля Л. «Мехакика вязких жидкостей» в книге: Д ю р з н д В. Ф., Авродккамкка, т. 1П. М., Обороягяа, 1939. УСТАГ1ОВИВ!НИЕСЯ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕПИЯ 173 чины этих масштабов можно получить из рассмотрения закона распределения средних скоростей. Закон распределения средних относительных скоростей вблизи данной точки можно характеризовать последовательностью производных от средней скорости и по координате у (5.22) Любые две производные имеют независимые размерности, а из любых трех производных можно образовать безразмерную комбинацию.
Из первых трех производных можно образовать безразмерную комбинацию Так как все производные являются функциями одной и той же переменной, то очевидно, что между любыми двумя беэразмерными комбинациями, составленными из поеледовательности (5.22), имеет место функциональная связь, не содержащая размерных постоянных. Например, Следовательно, необходимым и достаточным условием подобия относительных движений для всех значений у служит условие , „, = й'= сопэФ. (5.23) Условие (5.23) представляет собой дифференциальное уравнение для и (у). Интегрируя это уравнение, найдем при я чь 1 и я ~ 2 2-Е и = А (у + В) 1-' + С, (5.24) где А, В, С суть некоторые размерные постоянные интегрирования. При я = 1 решение имеет вид и = Мем.
+ у, (5.25) и, наконец, при е = 2 имеем и= Р1п(у+~)+Я, (5.26) где М, д, Х, Р, 11, Я суть постоянные интегрирования. Таким образом, очевидно, что предположение о точном подобии приводит к вполне определенным специальным видам законов распределения средней скорости. Формула (5.26) отвечает логарифмическому закону распределения скоростей. 174 пРплОжения к теОРин дВнження ВязкОЙ жидкОсти 1гл 111 Из условия подобия для пути перемешивания 1 и для турбулентного переноса количества движения т следуют формулы (5.27) « л (5.28) ') См.
статья Т. Кармана в сборпвке «Проблемы турбулеятпостк». М.— Л., ОНТИ, 1936. ») Л я к у д в с П. С., Эксперимеятальяое изучение свойств переноса злектропроводяой среды прв турбулентном течении в присутствии магнитного поля, В сборнике «Нпзкотемпературяая плазма». М., «Мяр», 1967, стр. 513 †5. ') В а с е ц к а я Н. Г., И о с е л е в и ч В.
А., О построении полузмпярпческой теории турбулентности слабых растворов полимеров. Изв. АН СССР, М)КГ, йй 2, 1970, стр. 136 — 146. где )«1 есть безразмерная постоянная. Для законов распределения скоростей (5.24) и (5.26) формула (5.27) приводит при соответствующем выборе начала отсчета для у к соотношению 1 = )с«у, которое мы получили раньше нак следствие гипотезы о несущественности свойства вязкости. Закону распределения скоростей (5.26) соответствует т .=- т, == = сопзь. Для законов распределения скоростей (5.25) и (5.24) т получается переменным.
Условие (5.23) сильно сужает возможные законы распределения средних скоростей. Первоначальное точное условие о подобии можно ослабить и предположить наличие подобия относительных полей скорости в окрестности любых точек с точностью только до величин второго порядка малости. При таком допущении в последовательности (5.22) в качестве характерных величин сохраняются только и' и и", и поэтому уравнение (5.23) выпадает, тогда как формулы (5.27) и (5.28) сохраняются.
С помощью формулы (5.28) и равенства (5.18) можно получить теоретические формулы для закона распределения средних скоростей '). Развитие этой теории, основанное на усложнении функциональных связей для длины пути смешения 1, которое позволяет учесть влияние магнитного поля на турбулентное движение проВодящей жидкости в круглой цилиндрической трубе, было сделано в работе У)икудиса "). Присутствие магнитного поля приводит к подавлению турбулентных пульсаций. Формула для 1, учитывающая совместное сильное Влияние малых добавок полимеров, шероховатости стенок и чисел Рейнольдса на распределение скоростей и сопротивление при турбулентном движении в трубах, дана в работе Н.
Г. Васецкой и В. А. Иоселевича '). устлловившпвся тгввулкнтныв двнжвния 175 Авторы показали, что влияние добавок полимеров приводит к утолщению пристеночного слоя с резким изменением профили скорости; с этим связано уменьшение градиентов скорости на стенке и соответствующее уменьшение сопротивления трения.
При обтекании турбулентным потоком шероховатых стенок н при достаточно больших числах Рейнольдса пристепочный слой отсутствует, и поэтому исчезает влияние полимерных добавок на профили средних скоростей и на сопротивление трения '). ') В последнее время теории, учитывающие влияние малых добавок полимеров, шероховатости стенок, чисел Рейнольдса и других факторов, получили развитие в следующих работах: И о с е л е в и ч В. А., П и л и п е нк о В. Н., О турбулентном течении жидкости с полимерными добавками в пограничном слое с продольным градиентом давления. ДАН СССР, т.
213, № 4, 1973; И о с е л е в и ч В. А., П и л и п е н к о В. Н., Логарифмический профиль скорости при течении слабого полимерного раствора у шероховатой поверхности. ДАН СССР, т. 213, № 6, 1973; П и л и п е н к о В. Н., Течение слабых полимерных растворов в пограничном слое вращающегося диска. Научные труды института механики МГУ, № 31, 1974; В а о е ц к а я Н. Г., И о с е л е в и ч В. А., Полимерные добавки в пограничном слое плоской пластины.
Научные труды Института механики МГУ, № 32, 1974; И о сел е в и ч В. А., П и л и п е н к о В. Н., О сопротивлении плоской пластины в потоке полимерного раствора переменной концентрации. Изв. АН СССР, МЖГ, № 1, 1974; Б е 6 о ч Ь., У а а е 1 а )с а у а Х., 1 о з е 1 е ч! с Ь У., Са1сп1аиов о1 Тпгьо1евт Воши1агу Ьауегз чИЬ Ро1ушег АййИ!тез.
1вгегва1ова1 Сошегепсе оп Пгаб Кебпснов 13ертешЬег 4 — 6, 1974), СашЬПбйе, Еийаапа, ГЛАВА !У ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСХАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА 6 (. Автомодельные движения газа со сферическими, цилиндрическими и плоскими волнами 1. Понятие автомодельностп. Одномерные движения жидкости или газа определяются как движения, все характеристики которых зависят только от одной единственной геометрической координаты и от времени. Можно показать, что одномерные движения возможны только со сферическими, цилиндрическими и плоскими волнами ').
Методы теории размерности позволяют найти точные решения некоторых задач об одномерном неустановивтемся движении сжимаемой жидкости '). Эти задачи представляют во многих случаях значительный теоретический и практический интерес. Но г) См. 1. 1 р э с Ь 11 х В., Ве11ган хв бег ТЬеоле бег Ве~чебввй е1всг Е1азпасЬеп Ррбээ!61се!Ь !. П!г сйе ге)ве ввб апйегг. Ма!)го !.
100, 1887, 8. 89 — 120. См. также: Л ю б н ы о в Г. А., О возможных видах одномерных веустановквшнхся движений вязкого газа. В сборнике статей № 19 гТесретяческая гндромеханякаэ (под редакцией Л. И. Седова), вып. 7. М., Оборон гнэ, 1956. э) Этот класс решений был указан в работе: С е д о в Л. И., О некоторых неустановнвшнхся двпженкях сжнмаемой жвдкоств.
ПММ, т. 9, вып. 4, 1945, стр. 293 — 311 (см. также: О неустановввшнхся дзвженнях сжнмаемой жидкости. ДАП СССР, т. 47„№ 2, 1945, стр. 94 — 96). Аналогичные решения без аспольэованвя соображелнй тсорнн равмерноств ллн теории групп э эяе свяэн с, постановками разбираемых ниже задач рассматривались в работе: В е с Ь е г ! К. ()еЬег 61е П1йегевпа181е1сЬввйев бег ЪЧе!)евавэЬге)!ввй )в Савел. Авв.
Р1туэ., Вб. 39, Н! 5, 1941, 8. 357 — 372 (Бехерт рассматривает только полнтропвческне дзнжензя) н з работе: С т а н ю к о в н ч К. П., Автомодельные решения уравнений гндродвнамвкв, обладающих центральной симметрией. ДАН СССР, т. 48„ № 5, 1945, стр. 331 — 333. Применение раэвзтых нами методов к теории фильтрации жидкости в яорнстой среде н обобщение этих методов для отыскания движений предельных к автомодельным (см. $ 4) даны в работах: Б а р е н б л а т т Г. И„Об автомодельных движениях сжнмаемой людности в пористой среде. ПММ, т. 16, выя. 6, 1952; О предельных автомодельных двзженнях в теории нестацнонарной фнльтрацнк газа в пористой среде н теории пограничного слоя. ПММ, т. 18, вьш. 4, 1954, стр. 409 — 414.
Азтомодельные движения ГАЭА $77 даже в тех случаях, когда постановка задачи не представляет самостоятельного интереса, получаемые точные решения можно использовать как примеры для проверки правильности различных приближенных методов решения задач газовой динамики. Для того чтобы охарактеризовать задачи, решение которых может быть получено методами теории размерности, рассмотрим искомые функции и определяющие параметры одномерного движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
