Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Горючая однородная смесь, заполняющая пространство, с одинаковыми плотностью р~ и давлением рм поджигается в момент 1 =- О вдоль плоскости (плоский случай), прямой (цилиндрическая симметрия) или в точке (сферическая симметрия). По смеси будет распространяться плоский, цилиндрический или сферический фронт пламени илн детонации. Как известно, толщина зоны горения при обычных условиях очень незначительна (порядка долей миллиметра). Если не интересоваться процессами, происходящими в самой зоне горения, то можно считать, что ее толщина равна нулю, т.

е. что газ сгорает мгновенно на некоторой геометрической поверхности. Определяющими параметрами в этом случае будут: начальная плотность смеси р„начальное давление р„количество теплоты ф, выделяющееся при сгорании единицы массы газа, и в случае распространения фронта пламени — его скорость по частицам и, являющаяся для данной смеси известной физико-химической константой. Размерность (1 в механических единицах может быть выражена через размерности р„и р,: (<~) Ь,1 (Е,1 ' Следовательно, из четырех определяющих параметров снова независимые размерности имеют лишь два.

Если начальная плотность р, переменна и изменяется по закону А Рг = .И то определяющими постоянными будут А, рм (1, и возмущенное движение газа не будет автомодельным. Из рассмотрения уравнений и краевых условий следует, что начальное давление рг входит только в условие на ударной волне; если в этом условии пренебречь начальным давлением рг по срав- [Эл ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ЦВН[КЕНИЯ ГАЗА [Гл. [У нению с большим давлением за фронтом детонацнонной волны, то величина р, исключается из числа определяющих параметров.

В такой приближенной постановке задача становится автомодельной с двумя определяющими независимыми размерными постоянными: А) = й([ л и ([[) =- 1'Т '. 6. Задача о распаде произвольного разрыва н горючей снеси. В момент [ = О слева от плоскости г = О (случай У =- 1) находится газ с постоянными скоростью гы плотностью р, и давлением р„ а справа .— горючая смесь с постоянными скоростью п„плотностью рл и давлением ргг Так как при переходе через такой разрыв условна сохранения массы, количества движения и энергии, вообще говоря, не будут выполнены, то в следующий момент времени он не может существовать изолированно, а должно возникнуть двнженне газа с одной илн несколькими поверхностями разрыва, на каждой нз которых уже будут выполнены условия сохранения (по горючей смеси при этом может распространяться фронт пламени или детонации).

Среди параметров задачи (Гы ры р„и„р„р„(~ — количество тепла, выделяемое прн сгорании единицы массы газа, и и — скорость фронта пламени) имеется всего два параметра с независимыми размерностями. Следовательно, возникающее движение будет автомодельным, Прн решении задачи Коши с плоскими волнами для произвольных значений в формулах (1.4) постоянных й, з и 6, а"„а~~, а,' прн г ) О и а„а,', а,, прн г ( О необходимо решать более общую авто- модельную задачу о распаде соответствующей особенности разрыва при [ == О. В тех случаях, когда решение существует и единственно, распад соответствующего разрыва представляет собой локальное явление, определяемое только типом особенности. 7. Задача о сильном взрыве.

В момент [ =.. Ов покоящемся газе в центре симметрии (в точке) происходит взрыв, т. е. мгновенно выделяется конечная энергия Е . В этой постановке мы пренебрегаем массой и размерами вещества, выделяющего энергшо. Поставленная таким ооразом задача о сильном взрыве отражает существенные черты явления при взрыве атомной бомбы; ниже в з 11 мы укажем на опытные данные по этому поводу.

В условия задачи входят три постоянные с независимыми размерностями: начальная плотность газа р„начальное давление р, н энергия взрыва Е,. Система определяющих параметров для аднабатических возмущенных движений газа после взрыва представится величинами рыр„Ел г,[,у. Поэтому иэ общих соображений теории размерности следует, что все зависимые безразмерные величины могут зависеть только || Автомодельные движения ГАЗА 183 от трех безразмерных параметров: .

1ч Ь р 'г р,'| Е "|" Е 'ра а е (1.5) ') Сильный взрыв вдоль прямой в некоторых случаях можно рассматрнсзть вак электрический разряд больпюй интенсивности в саве. е) В цилиндрическом н нлоскоы случаях меняется размерность Ее н соответственно пзменяются параметры Л в т; см. Ц 11, 12, 13, 14.

пз которых Л и т — переменные вели плны. Опыт и теория показывают, что при взрыве па границе области возмущенного движения газа получается резкий скачок характеристик движения, образуется так называемая ударная волна. В рассматриваемой постановке задачи это будет сфера, радиус которой растет со временем. Влияние начального давления р„ а следовательно, н параметра т возникает только за счет динамических услов|п|на ударноп волне. Однако, если взрыв сильный (Ес велико), то давление за образующейся вследствие взрыва ударной волной будет во много раз болыпе начального давления в газе, и движение газа за ударной волной на небольших расстояниях от центра взрыва практически не будет зависеть от начального давления р,.

Таким образом, существенными оказываются лишь две размерные постоянные: р, и Ез. Математически возмояы|ость пренебречь начальным давлением выражается в том, что в условиях на ударной волне невозмущенное давление р, полагается равным нул|о; благодаря этому выпадает параметр р„а следовательно, независимая переменная т, вследствие чего очевидно, что возмущенное движение газа можно рассматривать как автомодельное. При дальнейшем ослаблении ударной волны пренебрежение начальным давлением †«противодавлением» р, — становится незаконным, и следовательно, задача о возмущенном движении газа при точечном взрыве на далеких расстояниях от центра взрыва перестает быть автомодельной. Заметим, что при численном решении задачи о точечном взрыве с учетом противодавления р„достаточно произвести расчет только одного конкретного случая; этим самым можно получить зависимость всех искомых величин от безразмерных величин Л, т, после чего для того же значения 7 можно легко определить характеристики возмущенного поля взрыва для любых значений Е„любой начальной плотности р, и любого начального давления р„.

В случае цилиндрической симметрии взрыв происходит вдоль прямой '), а в случае плоских волн вдоль плоскости '). При этом величина Ез обозначает соответственно энергию, выделяющуюся па единице длины или площади. )34 олномегныу неустлноВиВшиесЯ ДВижениЯ глзА [Гл 1у Очевидно, что задачу о взрыве можно обобщить на случай переменной начальной плотности, изменяющейся о закону рг = = А(г".

Для этого вместо постоянного параметра р, в качестве определяющего параметра необходимо взять постояннуго А с формулой размерности (А! = МВ -'. В этом случае вместо переменных (1.5) можно взять переменные 5 — и ч ! )т) О 6 о При малых значениях параметра т за счет большой выделившейся энергии Е„малого начального давления р, или малого интервала времени 1 влиянием второго параметра можно пренебречь, после чего получим автомодельную задачу о распространении сильного взрыва в среде с переменной плотностью.

Решение сформулированных задач о сильном взрыве излагается в 8 11, 12, 14. 8. Свойства идеальных сред и автомодельность. Выше было показано, что если для определения одномерного неустановившегося адиабатического ') движении идеального (не вязкого) совершенного газа граничные и начальные условия содержат только две независимые размерные постояяпые, то имеет место автомодельность. Нетрудно усмотреть, что в случае, когда определяющие постоянные имеют размерности, зависимые от плотности р, и давления р,, вывод об автомодельности движении сохраняется для любой другой идеальной среды (в отсутствие касательных напряжений термодинамическое состояние определяется двумя параметрами, например р н р).

В самом деле, из общих соображений теории размерностей следует, что для внутренней энергии, отнесенной к единице массы, входящей в условия на скачках, верна формула следующего вида: -/, Р ~Р Р а для энтропии формула о" = АС11~ Р,, Р,, рг, ()т, где р", р* — ,'постоянные с размерностью давления и плотности. Размерная постоянная А несущественна, так как в условии адиабатич- ') Условие адиабатичности можно заменить другими условиями, например отсутствием градиента температуры д "11дг = 0 (бесконечная теплопроаодность). 1 21 ОБЫКнОВЕННык ДИФФЕРЕНЦНАЛьные УРАВНЕНИЯ /85 ности ее можно сократить: а„аз, ..., р1, р1, ...

— отвлеченные постоянные. Очевидно, что в общем случае для уравнения состояния верна формула следующего вида: С,т = — Н( —,—,а1,Р // Отсюда ясно, что добавление постоянных р* и р* в таблицу определяющих параметров пе нарушит автомодельности, если две определяющие размерные постоянные имеют размерности, зависящие ог р* и р". В некоторых случаях можно говорить об автомодельности внутренних свойств среды, когда некоторые из функций Г, С, 11, существенные с точки зрения поставленной задачи, зависят не от двух параметров р/рч и р/ра, а только от одного безразмерного параметра типа р"р'"'"/С.

В этом случае вместо постоянных р* и ра свойстна среды могут сказаться только через размерную постоянную С. Размерную постоянную С необходимо, вообще говоря, внести в число определяющих. Для таких сред и соответствующих задач возможны автомодельные движения, в которых размерность одной пз определяющих постоянных фиксирована и равна размерности С. В случае идеального соверптенного газа функции Г, 1Х сводятся к отвлеченным постоянным, а аддитивная постоянная у функции С для многих постановок задач несущественна.

Характеристики

Список файлов книги