Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Скорость частиц газа во многих случаях известна; ири движении тел в неподвижном газе относительная скорость газа равна скорости тела; в астрофизике скорость частиц газа в туманностях или в звездных фотосферах можно определять с помощью изучения спектров. Например, если в водороде скорость за фронтом равна 1000 кз2/сел, то в этом случае температура за фронтом должна быть большей, чем 50 миллионов градусов по Цельсию. 5.
Условия на фронте скачка с притоком тепла для автомодельных движений. В этом случае постоянная /2 является определяющей; так как ((/) =- В'Т ', то можно припять т =- 2, и = — 2, т. е. 6 = 1 и, следовательно, рг Х= . 2 где р — некоторая постоянная, значением которой можно распорядиться. Вторую размерную постоянную обозначим через А; очевидно, что всегда можно считать, что формула ее размерности имеет внд (А) = М? '-'. Из автомодельности следует, что для плотности и давления при 1 = 0 должны быть верны формулы вида Р2 .— /'2 — „Рг =- /'2 — „ А АО (2.23) г овыкновкнпын диээвгвнцилльныв тглвннния 197 ~ лг /, и Йг — постоянные.
Если мы примем, что начальное состояние соответствует равновесию при отсутствии массовых сил, то ~ г юда вытекает, что при ы ~ О й, .=- О и, следовательно, в певозмущеппой среде, находящейся в равновесии, р, = О. (2.24) Если се == О, тор, =- сопзь и может при равновесии отличаться и пуля. Для автомодельных движений при наличии притока тепла условия на скачке примут вид Я1 ()с1 1) Яс (Ег 1) У,-1+ " = Е,-1+ — „ (и, )) — т,(и, — ~) — (У1 — 1) + — '+ —. = — (Ег — 1) + 1 х "~ 'с ~ ' г 2 т,— 1 ' сг 2 тг — ) (2.25) причем Л = Л~ =- сопеь на скачке.
Для закона движения скачка имеем Нс й С ' Лег сс Если скачков несколько, то па одном из ннх всегда можно считать, что Л* = 1. Зтпм определится постоянная р. Условие Чепмепа — )Куте (2.19) дает гг ( 112 б)~ (2.26) Я = Я ~„~ (1+ )(1 й)1 — ",(1+ — с1)(1 — Д)1, гг =- ~ (1+ 1 (1 — Л)(1+ угЛ), (тг+ г) 2 201 (тг — 1) 1 — „гг + 1 + — ) :-('" — ",)' (2.27) причем Условие Чепмена — ЛКуге равносильно равенству Л = О.
Если Таким образом, при выполнении условия Чепмена — ЛКуге фронт детонации в плоскости г, Е должен соответствовать некоторой точке параболы (2.26). Если скачок распространяется по покоящемуся газу, то ); = О; из (2.25) получим 1ЗЗ одномкрнык нкгстановивгяикся движкния газа 1гл, и условие Чепмена — Жуге не удовлетворяется, причем $', = з, = = О, то (2.28) Значения за скачком Р„г, расположены на параболе: (2.29) Точка Чепмена — Жуге соответствует точке пересечения парабол (2.26) и (2,29), в которой Л =- О. Парабола (2.29) проходит через начало координат, в котором Л =- — 1/у,. При движении по параболе (2.29) вверх от начала координат Л возрастает и обращается в нуль на параболе (2.26), при дальнейшем движении параметр Л возрастает и стремится к Л = + 1/у„соответствующему сильной простой ударной волне ((/ = О). й 3.
Алгебраические интегралы для автомодельных движений др дрр, (а — 1) ри — + — -'- =О; д1 дг ' г (3.1) д,М вЂ” = о рг'-' дг ди др 1 др — +и — + — — + д1 дг р дг — =О; ~.Ю дЯ дЮ вЂ” +р — =О, д1 дг (3.4) где а„'= 2 (т — 1)я + . (т — 2) (т — 3), т =- 3 в сферическом слу- 1 С помощью соображений теории размерностей для автомодельных двиягений можно установить независимо от частных краевых или начальных условий алгебраические интегралы для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Иначе говоря, в общем случае всегда можно понизить порядок системы обыкновенных уравнений. Ниже мы покажем, что число таких интегралов можно увеличить в некоторых частных примерах размерностей определяющих постоянных а и б.
Последующие выводы сохраняют свою силу для случаев более общих, чем движение газа, описываемое системой (1.3). Д.ля конкретности мы рассмотрим одномерные неустановившиеся адиабатические движения совершенного газа с учетом ньютонианского тяготения для сферического случая, описываемые системой уравнений АлгевРАическпг~ инткггллы 199 чае, ( — гравитационная постоянная, (() =- М '1.Ч '. Мы рассмотрим одновременно также случай цилиндрических волн ') ч =— = 2 или плоских волн ч = 1, когда ( = — О; д — масса между фиксированной и рассматриваемой координатными поверхностями, ( хг] =- М1.'-в; Я вЂ” энтропия или некоторая функция от нее.
Рассмотрим автомодельпые движения, определяемые двумя размерными постоянными а, Ь'): !а) = МВ"Т' и (Ь) = 1,""Т". При т ~= О, не ограничивая общности, можно припять, что т =- 1, н = — 6, а й =- — 3. Достаточно положить -к-з 1 аь = аЬ "' и Ьь = Ьж . В случае учета снл пьютонианского тяготения при й = — 3 необходимо припять (а) =- П l~), поэтому г =- 2 и, следовательно, единственным существенным параметром будет показатель б.
При ) =-. О показатель в также может быть произвольным. В общем случае для автомодельшлх движений прп т -ь О можно написать Л = —; и = — У (Л); р = —, Я (Л); с ' ,е+в, (3.5) Подстановка (3.5) в уравнения (3.1) — (3.4) ярнводит к системе четырех обьпс~овенных дифференциалрных уравнений для Р (Л), Я (Л), Р (Л) и )1 (Л). Для этой системы уравнений, которую нам не нужно выписывать, мы найдем алгебраические интегралы — конечные соотношения между )г,д,р,МиЛ. 1.
Интеграл масс. Из уравнения (3.2) следует лл" с ,.4" †.1~' = ~ („~ = о, ~ рг ы )г. Рассмотрим подвижные поверхности г' (1) и г" (1), на которых параметр Л принимает постоянные значения Л' и Л", Нетрудно про- ') При ч = 2 в последующих выводах силы гравитации можно учесть. е) Выражение энтропии 8 через р и р не должно содержать существенных ровмерпых постолнных, независимых от а и Ь. Очевидно, что мультипликат ивино н аддитнвнме постоянные несущественны. 2О0 ОДНОЛ1ЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВ1ПИЕСЯ ДВИ1КЕНИЯ ГАЗА [ГЛ.
1Ч верить следующее тождество, верное для любой функции Р (г, 1)1 т" где символ 1ТЯ1 означает производную по времени, взятую для подвижного объема интегрирования, составленного из одних и тех >ке частиц газа. Так как ль -й-3 11' ' () '-~-зМ(), ) )'~-з-зМР~)) то Е).,1!" —.,Ю') ) г+б(А+3 — ч) л1 )Лт.—:-.ЕОПЛ1 М =лолз1 В силу закона сохранения масс, имеем л (,М' —,.Ф') Поэтому равенство (3.6) нри Е =- 1 дает — (,%" — ЛС) =- п,~рг"-1( — „, — Р)~ Ег' г' Отсюда после использования формул (3.5) и равенств — = 6— й 1 Й'" — =- 6 — получим интеграл Ю А' л " ((з + 6 (Й + 3 — ч))М вЂ” п,Я (К вЂ” 6)) =.
С = соозб (3.7) который является следствием закона сохранения массы и, следовательно, вереи всегда. При отсутствии снл ~ьютонианского тяготения интеграл (3.7) можно рассматривать независимо от уравнений движения как формулу, выражающую в конечном виде М (Х) через А, Е и Я. При учете сил тяготения функция М (А) войдет в обыкновенное дифференциальное уравнение, полученное из уравнения импульсов. С помощью интеграла (3.7) функцию М (А) можно исключить из этого уравнения. Если для изучаемого решения, 11 =- = — О или„ГГ =- сопч1 при 6 = — О, т. е.
в центре симметрии нет источников массы с конечным или бесконечным расходом, то, полагая ) ' = — О и г':= О, пз вывода интеграла (3.7) следует, что постоянная С в правой части (3.7) равна пулю. Если вблизи центра симметрии при г ) О обраауется каверна — пустота, причем па границе этой каверны имеем ).' =- сопМ и 71' =- О, то скорость частиц па каверне совпадает со скоростью ее расширениями = й 1111. В этом случае получим также, что С ==- О. Перечисленные случаи соответствуют решениям, в которых закон сохранения масс выполняется не только в каждой регуляр- ллгквгхичкскин инткггхлы 201 з 3) но(1 точке потока при г -ь О, но и в особой точке потока в центре симметрии при 1 ) О.
Если закон сохранения массы неудовлетворяется при г .= О, то в центре симметрии может присутствовать источник масс; в этом случае постоянная С может отличаться от нуля. При отсутствии источников массы в центре симметрии переменная,.Ф может рассматриваться как лагранжева координата, и противном случае при [г =~ 6 в качестве лаграпжевой координаты можно взять переменную „И =-- рг' ([г — 6), имеющую размерность массы. Справедливость равенства ~~~ = О легко проверить непосредственно с помощшо уравнения неразрывности. При С =-- О перемеппые.,(з и,зг отличаются только численным множителем. Случай [г = 6 соответствует частному решению с линейным по радиусу г распределением скоростей и = — бган; в этом случае в частицах Х = —.
сопзь и поэтому безразмерная переменная Х является лагранжевой координатой. 2. Интеграл адиабатнчности. Для обратимых адиабатических движений газа существует еще один интеграл ') — следствие закона о постоянстве энтропии в частице. Пусть Ф (р, р) = 7' (Я) — некоторая функция от энтропии, Зависимость энтропии Я от р и р может быть произвольной. Условие постоянства энтропии (3.4) в частице равносильно соотношению вида Ф (р, р) = Е ((7, а, Ь, а„, а„...), где а„а, — отвлеченные постоянные, а и' — лагранжева координата.
Отметим формулу размерности для Ф. Пусть [Ф) — Ми) ртх Если при любом х нет равенства [аЬ",) = [.М[з), то из трех раз- ') Л и д о в М. Л., Конечный интеграл уравнений одномерных автомодсльных эдиабэткческих движений газа. ДАН СССР, т. 103, М 1, 1955, стр. 35 — 36. з) Тах как з 5 — з — 3 — из<к+э-1 5 51 (5) то равенство [аь,"[ = [,Х[ возможно, если г + 5 (й + 3 — т) = 0 и х = т -- гг — 3; в этом случае интеграл (3.7) дает Х' г зЯ, (р — 5) = С. Если С = О, то р = 5, и, следовательно, э = бгйь Такое частное решение мы изучим в 1 15. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 203 сил давления на этих поверхностях; поэтому — = — о, (р Р'г"'-' — Р'Р'г" ы). Ж Далее для любых автомодельных движений (и ~ О) из сообрая«ений размерности следует, что для величины с', имеющей размерность ЫП' 'Т ', верна формула следующего вида: «-«1«м — г-«)-« — з~(Ъ„ где ( (Ъ", Ъ, ам ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
