Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Третье уравнение, определяющее А, можно заменить интегралом адиабатичностн. Из формул (3.9) при 6 = 2/(2 + у — ш), г =- О, й == ю — 3 и формул (3.7) при ю ( у получим "т — тю г = А "— ' ()г — 1 "' ' ) '"" "С, (5.12) 3+У вЂ” в/ где С вЂ” постоянная интегрирования; условие ю ( у можно заменить неравенствами ю ~ у и ю ч= у + 2. При ю ) у интеграл, определяэощий массу М = О„~ — 'Г'-1ОГ, Г .4 расходится. Постоянная в правой части (3.7) принята равной нулю на основании замечаний, указанных на стр.
201. Соотношение (5.12) определяет Я через г, У' и )(. Постоянная Е с размерностью МЬ' "Т ' является определяющей, поэтому в случае 2 имеет место интеграл энергии. На основании (3.11) получим ),~' (зг -, '[)г — ) (~ +, )1Я = С,. (5ЛЗ) Интеграл (5.13) может заменить уравнение (5ЛО). Из (5ЛЗ) моэкно определить з и подставить В уравнение (5.11), после чего получим обыкновенное уравнение, содержащее только ). и Если С, == О, то (5ЛЗ) даст интеграл уравнения (5ЛО), а уравнение (5.11) интегрируется нвадратурой.
Если С, ~ О, то для определения г (И) можно интегрировать уравнение (5ЛО), а после этого функция ) может быть вычислена с помощью (5Л3), без интегрирования уравнения (5.11). Качественная картина поля интегральных кривых в плоскости з, И для уравнения (5.10) при у = 3, ю = 0 и у ( 2 представлена на рис. 42. Направление роста Х указано стрелками. Характер особых точек виден на чертеже. Особая точка С (г = ОО, у =- 2/(2 + у — а) у) является седлом. Вдоль единственной интегральной кривой, упирающейся в точку, переменная Х стремится к нулю при удалении к точке С.
Замечательно, что уравнение этой кривой получим из (5ЛЗ) при С, = О. При рассмотрении поля интегральных кривых в плоскости з, И в зависимости от ю и у необходимо учесть, что уравнение (5.10) имеет еще особую точку 2 ч 2(т — 1)т [(2 — т)У вЂ” м) ('= Иэ [2+ у (т — ()[ ' [2+ т (т — ()]э [(2 — м) т + у — 2[ / ' гэ —— (5Л4) ИГСЛЕДОВАНИЕ 110ЛЕИ ИытЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ 249 рй,р) ей6 ~у ~У' Рис.
42. Картина поля интегральных кривых прв ч = 3, ю = О, 4 = 2/5, 7 ,у ецО) Ряс. 43. Картина поля интегральных кривых при ч = 3, 6 — 32 < ы( 12у -)-4) 2 ( —, б =, . В верхней полуплоскости появляется осо6ая у '. 15 — ы)' точка  — увел. Поле отвечает случаю 1е ) 3/у. 220 одномегкые пстстАновивпп1кся движения ГАЭА 1Гл. 1У которая может переходить через точку В из нижней полуплоскостн г ( О в верхнюго полуплоскость г ) О. Легко проверить, что особая точка 54 лежит на интегральной кривой, проходящей через особую точку С, т. е, ге и Уе удовлетворяют уравнению (5,43) при С, = О.
условие положительности координаты ге имеет впд т12 — У) =, ол == (5.15) При нижнем равенстве точка )з' совпадает с точкой В, при верхнем — с точкой С. На рис. 43 изображено поле интегральных кривых для случая, когда с' лежит в верхней полуплоскостн. Центру симметрии Х =.- О могут соответствовать только точка С и особые точки г = О, )г =- ~ оо.
Бесконечно удаленныьт точкам А = со могут соответствовать особые точки О, г" и с'. Параметр Х может иметь конечное значение в особых точках В и )7, которые могут соответствовать границам расширяющихся сферических поршней илн границе с пустотой. й 6. Задача о порптне рассмотрим картину движения газа в некоторый момент времени 1 в предположении, что газ вытесняется сферой — поршнем, расширяющимся с постоянной скоростью У.
Начальное давление р, и начальная плотность о, постоянны и отличны от нуля '). 1] Репзенке задачи о дввжонкп гааа, вытесняемого сферой, распшряющеяся с постоянной скоростью, с чксленнымн расчетами опубликовано впервые в 1945 г. в цнтнрованной выше работе Л. И. Седова 1слл. С е д о в Л. И., О некоторых нсустановкзшкхся движениях сжимаемой жидкости. ПММ, т.
9, вып. 4, 1945, стр. 293 — 341). Репленне задачи о движения газа, вытесняемого сферой, расширяющейся со скоростью, равной П = ст", со сравнптельным аналнаом для некоторых и зпРпчем в слУчае и = — Чз с Учетом вЯзкостн н теплопРоводностн) дано в дкссертацнн Н. Л. Крашензлйниковой, защкщевпой весной 1954 г. в ЫГУ 1см. Изв. АН СССР, ОТН, № 8, 1955). Для более шпрокого дяапааона чпсел и н у задача о движении газа, вытесняеыого сферой, цнлкндролл нлн плоскнм поршнем, с качественныи псследовалнем дифференциальных уравнений рассмотрена в работах: Г р и г ор я н С. С., Задача Коплк и задача о поршне для одномерных неустановквшихся движений газа 1автомодельные двпженкя). ПММ, т. 22, вьш. 2, 1958, стр.179 — 187; Кочина Н.Н., Мельникова Н.С., О неустановпвплемся двкженин гааа, вытесняемого порлпнем, без учета протяводавленкя. ПММ, т.
22, вып. 4, 1958, стр. 444 — 451; О взрыве в воде с учетом сжкмаемостк. Труды МИАН СССР, т. 87, 1966, стр. Зо — 65. Численное решение задачи о движении газа, вытесняемого цпгпндуом прк и .— "- — л/л, дано в работе: 1' р о д з о в с к к й Г. Л., Некоторые осооенности обтекайня тел прн болыппх скоростнх. Изв. АН СССР, ОТН, №. 6, 1957. стр, 86 — 92. задача О погшне 224 Так как для частиц и'идкости, крнлегающих к поршню, и = су и г --=- И, то на поршне Следовательно, в плоскости И, г (см. рис.
44) взобраткающая точна, соответствующая поршню, должна принадлежать прямой Р .—. 1. Движению по радиусу от поршня к бесконеч- УУарввя авива ищввав / У ности соответствует движение ко интегральной кривой в сторону возрастания переменной Х. Интегральная кривая пересекает параболу г =. (т' — 1)', непрерывный переход через которую невозможен, поэтому продолжение движения до точки О, соответствующей бесконечно удаленной точке, возможно только скачком.
С другой стороны, в области, до которой еще не дошло возмущение, газ покоится, т. е. внешней стороне скачка соответствует точка оси г. Точки оси -, как было показано выше, переходят скачками в точки параболы г —.— (1 — у) (1-- ., (У) . (6.1) Итак, при движении в физическом пространстве от поршня к бесконечности изобраясающая точка движется по интегральной кривой от некоторой точки прямой у = 1 до пересечения с параболой (6.1), после чего скачком переходит на прямую И = 0 (рис. 44). В физическом пространстве этому соответствует следующая картина двнткенпя: по покоящемуся газу распространяется Рис. 44.
Интегральная кривая в плоскости з, У длв решения задачи о сферическом поршне. Переход из точки А в точку В происходит скачком через ударную волку. Точка С соответствует поршню. Кривая ВС соответствует адпабатическому сжатию между поршнем и ударной волной. 222 одномкгнык ннь становившився движкния газа [гл.
и 3 Ф к аг Рнс. 45. Давленпе на поршне р как фунвцвя скорости поршня о; Рà — давлениен а, — скорость авука в невозмущенном газе. г = (1 — Р)з, (6.9) где С вЂ” постоянная интегрирования. ударная волна; между ударной волной и поршнем происходит адиабатическое сжатие газа. Случай цилиндрического поршня качественно не отличается от сферического поршня. Для плоского поршня в случае движения поршня в цилиндрической трубе в отличие от сферического случая очевидно, что между ударной волной и поршнем возникает область движения газа с постоянными скоростью, плотностью и давлением. На рис. 45 и 46 приведены кривые, дающие отношения давления и плотности частиц газа, прилегающих к поршню, к давлению А7 и плотности в покоящемся газе как функции отношения скорости поршня к начальной скорости Пписиии паршива звука.
Л' На рнс. 47 дано отношение скорости ударной волны к скорости звука как функция отношения скорости поршня к скорости /Р звука. с)ведиишиир Из графиков видно, что при иириеии одной и той же скорости поршня в плоском случае сжатие газа оказывается большим, чем в сферическом. Ударная волна в плоском случае также интенсивнее, чем в сферическом (особенно для небольших скоростей поршня). В плоском случае в отличие от сферического и цилиндрического, кроме задачи о сжатии газа поршнем, возможны также задачи о выдвижении поршня в сторону, обратную от газа.
Решение этой задачи легко построить с помощью поступательных движений и особого решения системы уравнений (1.3) при ч = 1, которое в переменных г, в' и Х имеет вид 3АдАчА О ФОкусиРОВАнии и РАзлете гАзА 1 т7 После перехода к размерным переменным получим нелинейную прогрессивную волну разреясения в газе (простейший случай а Щ У У 1 Уи аз решения Римана): х = (п~а)1, п = +- — а + сопзь, 2 у+1 (6.3) где а — скорость звука '). 9 7. Задача о фокусировании газа в точке и разлете от точки Задачу о фокусировании и о разлете рассмотрим в случае, когда начальные скорость, плотность и давление для всех частиц одинаковы, т.
е. в = О, 6 =- 1. В плоскости г, Р' соответствующее поле интегральных кривых дано на рис. 38. Бесконечно удаленной точке соответствует точка О. Асимптотические формулы вблизи точки О согласно (5.6) имеют вид = С$тз, Х= ~'. ') Задача о движении воды, вытесняемой расширяющимся с постоянной скоростью поршнем, рассмотрена в работе: Н о ч и н а Н. Н., М е л ь н ик о в а Н. С., О расширении поршня в воде. ПММ, т. 29, вып. 1, 1959, стр. 93 — 1()0. Рнс. 46. Плотность р частиц, прилегающих к поршню, как функция скорости поршня о", рз— плотность, а, — скорость звука в невозмущенном газе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
