Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1977) (1035538), страница 41
Текст из файла (страница 41)
4, 1957, отр. 449 — 458). з) С т а н ю к о в н ч К. П., Неустановившиеся движения сплошной среды. М., »потехи»дат, 1955; М., «Наука», 1971. В этом случае интегралы масс и адиабатичности моя«но написать в аиде 5 Ы ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ 211 5. Исследование позей интегральных кривых в плоскости а, Фг 6=1; х= —; 2.=))— м г а2 (5.1) а в случае 2 получим 1 2 (б) = ТТ ""-", 6 =- 2+э — м ЪФ г к=- —; А=)) —, ыа ' (5 2) где ~) — отвлеченная постоянная, которой в кая'дом конкретном решении моягно распорядиться.
В обоих случаях в плоскости з, 2г получаются семейства решений, зависящих только от одного существенного параметра а5. Рассмотрим теперь подробнее дифференциальные уравнения (2.1) и (2.2). Для анализа существования, единственности и способов построения решения различных краевых и начальных задач необходимо исследовать поле интегральных кривых в плоскости г, 5г. Мы рассмотрим в случае отсутствия силы тяготения обыкновенное дифференциальное уравнение (2А), которое, помимо параметра т = 1, 2, 3, содержит еще два существенных параметра н и б. Для перечисленных выше задач в 1 1 и дальнейших приложений особенно важными будут два семейства решений со следующими размерностями определяющих параметров.
1. Одна из постоянных и имеет размерность скорости, произвольную размерность второй постоянной А можно считать равной М1" 2 ()2 = «5 — 3, г = О). 2. Одна из постоянных Е имеет размерность энергии М)" 1Т 2, размерность второй А может быть произвольной, и ее также моя1но считать равной М1 К случаю 1 сводятся задачи, когда фазовые скорости постоянны: задачи о поршне, дви1кущемся с постоянной скоростью в среде с постоянными начальными давлением и плотностью (еэ = 0), задача о детонации и горении в среде с постоянной или переменной плотностью при р, = А!Г'", задача о распаде произвольного разрыва в горючей смеси с постоянными справа и слева характеристиками газа и т. п. К случаю 2 сводятся задачи о сильном взрыве (р, = 0) при постоянной начальной плотности, когда а2 = О, или при переменной начальной плотности р, = А/г", когда еэ ~ О.
В случае 1 имеем 216 ОднОмеРные неустАновивгниеся двия1ення ГАЭА (гл. 17 В случае 1 имеем 7 П л ~з(У вЂ” 1)1+ (7 — 1)(7 — '1) У (У вЂ” 1)л — ~2(У вЂ” 1)+ ы — ~ 1~ (У вЂ” 1) ) У(У вЂ” 1)л+ ( — — 7У) г ~ (5.3 ) И )в) л — (У вЂ” 1)л (5.4) И (Р— 1)л+ —" — 7У)г 1,7 Уравнение (2.3) можно заменить интегралом адиабатичности.
Согласно формуле (3.9) прн б =- 1, а = О, /1 = е7 — 3 и формуле (3.7) получим (5.5) После интегрирования уравнения (5.3) и вычисления с помощью квадратуры Х (К) из (5.4) соотношение (5.5) определяет функцию Я ()г); С, и СЗ вЂ” произвольные постоянные.
Если при Х = 1!г, = О масса Я равна нулю и нет источника массы, то С, = О. В сферическом случае при 7 .= 3 обыкновенное дифференциальное уравнение (5.3) в полуплоскости г ) О имеет следующие особые точки (см. рис. 38 — 41). Точка 0 (г = О, )г =- О) — узел, интегральные кривые входят в точку О, касаясь оси у", причем имеется одна-единственная интегральная кривая, которая подходит к точке 0 с угловым коэффициентом, равным 7/ы.
Вблизи точки 0 для интегральных кривых верны асимптотические формулы г = С(г', Х = — ' и г = 7 У; ) = =' (".5) и ' )/у При приблия1ении к точке 0 в плоскости з, г в газе мы удаляемся в бесконечность, Точка С (з =. О, Р' =- 1) — сложный узел, интегральные кривые подходят к точке С, касаясь оси у' и по направлению, перпендикулярному к зтой оси, причем во втором направлении имеются интегральные кривые при 1е ) О. Асимптотические формулы для интегральных кривых, касающихся оси 1г, при 7 ( 2 имеют вид Х вЂ” Х* = 7+ ).
(1 — )г), - =- („'7) (4 — У)', 6(7 — 1) ' 3 "/+1 6 — — 1л (5.7) Л ~-тл Б7-ю(7-Я) — (2 /) (1 — У) 1-) 67 — (7+1) и Л П2Я -г Ууы Рис. 38. Картззю поля интегральных кривых при т =- 3, 6 = 1, ы = О. Точка, соответствующие покою на прямой ОЛ, могут персйтя через ударную 7 — 1 волну в точкк параболы зз = (1 — Рз) (1 + 2 $'з) ° Стрелки указывазот направление роста ь = р г,'(иг). Эти же интегральные кривые при )<) О, ) )О и г "0 (можно принять, что моменту прихода возмущения в центр симметрии соответствует 1 = 0) описывают течении с постоянной скоростью переднего фронта слабого возмущения в случае сходящихся (и ( О) потоков.
~7 .ж ж. Д зу уу гуо ПИ Рпс. 39. Картина поля интегральных кривых при т =- 3, б = 1 и 0 ( ю ( ( 2у((у + 1) (точка А лежит выше параболы г=у)<з (1 — Рз)]. Характерно, что особая точна А сдвигаетсн по параболе х = (1 — Р)з, сдвигается также точка 0 и лгеняется свойство особой точки С. 31йг ОДнОмеРные неустАЯОВившиесн ДВижениЯ ГА3А [Гл [ч и г ю Зу ф"/Гу Рис. 40. Картина поля интегральных кривых при 6 = 1 н ы = =3 (у+ 1)/(37 — 1]. Особая точка В лежит на параболе х = ура (1 — Р). Рис. 41.
Картина полн интегральных кривых при ч = 3, б = 1 и 3(у+1) ( ю С 3 ° Движению к нентру симметрии из точек парабо— 'у — 1 лы х = ура (1 — [е) соответствует движение к особой точке С. 216 ОднОмеРные неустАновившиеся двнявения ГАЗА (Гз. 1у формулы: ~ = с (р — —,'",) ы (37 — Ойз 1 277« (157 — Зуоз — 2«о) ы 37 (5.9) в1в- ) М 1 Вт«вти Я=В(~'- 3") =в), --, 37) вт« -вз Зз ~Ь вЂ” «-Вт р В,С вз-о, ~( 7 оз) )„зт- 277' (157 — 37оз — 2«о) — п оизволъные постоянные В вы ажа гдеВ,иС р р ется через В, и С. На основании(5.9) и основных формул (4.3) легко получить асимптотические формулы вблизи центра симметрии для скорости, давления и плотности. оз)з озз Точка А~в=(4 — — ) ' з' 2 ~ фокус при ю(О, узел 27 3 при О~~а(, седло нри — (ю( 7, узел прп 27< '1о 47, 47 О 37 1, 37 — 1 ( 7(7+ ., и центр при 7(7,+ ) (оз.
67 — 2 — )в 67 — 2 7з При ю — О швтегральные кривые входят в узел, касаясь оси г. Прн О ( оз ( 6 2, имеются два направления подхода 47(7+ 1) интегральных кривых к точке А; угловые коэффициенты этих направлений даются формулой И 1))1 т/ «о(7з — 67+2)+47(7+1) 1 йз,з=7 2. /~ — ° Точка А всегда расположена на параболе в =- (4 — )г)з, поэтому в точке А переменная Х может иметь конечное значение. Переход через точку А, в которой фазовая скоростьи скорость частиц различны, соответствует переходу через характеристику, и поэтому эта точка может отвечать слабому разрыву. Точка 8 (з — —.- оо, )' = 4) — узел при ю ( О и седло при О ( ( ю ( 57.
Точка С (г =- оо, г == оо) — седло при любом ю. Каждой особой точке соответствует простое точное решение уравнений газовой динамики, для которого г = сопз1 и =- сопз(; переменная )з остается свободной. Функция Я ()«) определится из (5.5), причем при С, = О получится, что Я является степенной функцией от Х, следовательно, и Р тоже степенная функция. Таким образом, это — частное решение, для которого и, р, р являются степенными одночленами от г и 1. В частности, если з == О и ~' = О, то получим покой при нулевом давлении— исходное состояние в некоторых автомодельных движениях. З Б] ИССЧКДОВАННЕ ПОЛГЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ 217 На рнс. 38 — 41 даны качественные изображения поля интегральных кривых для у =: з/, при З(у+ () 2(т+() Ст зт — ( " зу — ( -- зу Направление роста переменной ) указано стрелками.
На параболе г = (1 — )г)з параметр ) достигает максимума или минимума, поэтому непрерывный переход по интогральной кривой через эту параболу невозможен, так как это приведет к двулнстностн в пространстве движения газа — неоднозначность решения. Однако переход параболы г — -- (1 — И)' по интегральной кривой возможен, если интегральная кривая проходит через особую точку А, расположенную па этой параболе. В точке Л на параболе для Х происходит смена максимума на минимум, причем в точке А прн движении по пересекающей интегральной кривой параметр ) имеет конечное значение н меняется монотонно. Ниже мы увидим, что это обстоятельство выделяет пересекающую интегральную кривую как решение соответствующей задачи о дотонации.
При а = О в автомодельных решениях может быть р, ~ О: состояниям покоя соответствует вся прямая И = О. В исследуемых решениях вдоль интегральных кривых параметр ). должен изменяться от О до оэ, если газ беаграннчеп. В большинстве случаев соответствующее двиясепие возможно только с снльпымн скачками. Начало 2 == О и конец ), =- оо могут соответствовать только указанным выше особым точкам, границы порпсня илн пустоты могут соответствовать только точкам прямой Р = 1 (совпадение фа вовой скорости и скорости частиц) и, в частности, особым точкам С и г. В точках С и е' либо давление, либо плотность равны нулю или бесконечности. Случаи давления, равного нулю, соответствуют пустоте, случаи конечного давления и бесконечной плотности для точка С и плотности, равной нулю для точки е', соответствуют расширению сферического поршня.
Рассмотрим еще поле интегральных кривых дифференциального уравнения (2.1) для случая 2. Имеем Лз з(2(à — ()+т(т — !) Е)(К вЂ” Ы !Т1(, ()(Е Ц+,~ — ' Т) г~ сб з~(у — () У(à — 1) (Р— Ы + 2(г — () + (7 — ()) -'~ 7 (5ЛО) (Š— 6)~Г(( --()(И вЂ” Ь)+т( — — Е).1 з — ((' — С)з И)п), (5.11) ! 6 Е (у — () (Š— Ы + т ( — — У) з В(Я ОДЯОмеРные неУстАИОВНВшиеся ДВижениЯ ГАЗА [Гл 1У где 6 = 2/(2 + У вЂ” ю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
